2009年中考数学第二轮专题复习(一)-规律探索型问题

专题一 规律探索型问题 【专题诠释】 规律探索型问题是近几年来中考的热点问题，能比较系统的考 查学生的逻辑思维能力、归纳猜想能力及运用所学的知识和方法分 析、解决数学问题的能力，是落实新课标理念的重要途径，所以备 受命题专家的青睐，经常以填空题或选择题的形式出现，在全国各 地中考中，出现了不少立意新颖、构思巧妙、形式多样的规律探索 型问题，虽然分值不大，但是学生不易找出其中存在的规律，容易 丢分，因此必须加大此项内容的学习力度。 【重点、难点突破】 规律探索型问题是指给出一系列数字、一个等式或一列图形的 前几项，让学生通过“观察-思考-探究-猜想”这一系列的 活动逐步找出题目中存在的规律，最后归纳出一般的结论，再加以 运用。解决此类问题的关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认 真验证，从而得出问题的结论。 【典型例题】 【题型一】数字规律问题 例 1：观察下面两行数： 根据你发现的规律，取每行数的第 10 个数，求得它们的和是（要求写出最后 的计算结果） 分析：第一行数字是 2 的正整数次幂的值，第二行数字均比第一行 2， 4， 8， 16， 32， 64， 5， 7， 11， 19， 35， 67， - 2 - 相应的数字大 3，所以猜想第一行第 10 个数为 210，即 1024，所以 第二行的第 10 个数字为 1027，它们的和为 2051. 答案：2051 【题型二】图形规律问题 例 2：下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第 1 个图案需 4 根小木棒，拼搭第 2 个图案需 10 根小木棒，依次规律，拼搭第 8 个图案需小木 棒 根 分析：主要考查学生的规律探究能力、归纳能力和递推能力，因为 4=1（1+3） ，10=2（2+3） ，18=3（3+3） ，28=4(4+3),所以第 n 个为 n（n+3） ，当 n=8 时，n（n+3）=811=88，第二种方法是可 以根据规律画第 8 个图形，其规律，第一个图形为第一排一个，第 二个图形为第一排 2 个，第 2 排 1 个，第 3 个图形为第一排 3 个， 第 2 排 2 个，第 3 排 1 个，所以第 8 个图形为第一排 8 个， 第 2 排 7 个，第 3 排 6 个，第 8 排 1 个，所以共有 88 根 答案：88 【课堂检测】 1.如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来 的图形是（ ） 。B 2.按右边 3方格中的规律，在下面 4 个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（ ）A 第 1 个 第 2 个 第 4 个 第 3 个 (第 01 题图) A B C D 黄牛课件网 精品资源 黄牛打造 3.为庆祝“六 A一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示： 按照上面的规律，摆 n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）A A 26B 86C 4nD 8n 4.某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时分裂成 6 个并死去 1 个， 3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，按此规律，5 小时后细胞存活的个数是（ ）C A. 31 B. 33 C. 35 D. 37 5.将图所示的正六边形进行进行分割得到图,再将图中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图, 再将图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,则 第 n 个图形中,共有_个正六边形. (3n2) 6.有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确 定第 8 个数为 50 7.把正整数 1，2，3，4，5，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15， 按此规律，可知第 n 行有 个正整数2 n-1 8.将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（ n，m ）表示第 排，从左到右第 m个数，如（4，3）表示实数 9， 则（7，2）表示的实数是 。23 9.试观察下列各式的规律，然后填空： 1)(12xx 图 图 图 (第 5 题) - 4 - 1 1 2 3 5 . 1)(132xx43 则 )(910xx _。 1x。 10.观察下列各式：2215()5106223()1 依此规律，第 n个等式（ 为正整数）为 22(105)(1)05n 11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现 以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 再分别依次从左到 右取 2 个、3 个、4 个、 5 个,正方形拼成如下矩 形并记为 、.相应矩 形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形， 则序号为的矩形周长是。466 12.如图 6， 45AOB，过 A上到点 O的距离分别为13579， ， ， ， ， ， 的点作 的垂线与 B相交，得到并标出 一组黑色梯形，它们的面积分别为 1234S， ， ， ， 观察图中的规律，求出第 10 个黑色梯形的面积 10 76 序号 周长 6 10 16 26 0 1 3 5 7 9 11 13 S1 A B S2 S3 S4 图 6 黄牛课件网 精品资源 黄牛打造 13.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序 按图中“ ”方向排列，如（1，0） ， （2，0） ， （2，1） ， （3，2） ， （3，1） ， （3，0） 根据这个规律探索可得， 第 个点的坐标为_ (48)， 14.一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 59， 126，215 ， 36，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的 大门，请你按照这种规律，写出第 n（n1）个数据是_ 解： )4( 2n 或 4)(2 15.已知： , ，若 符合前面式子的规律， 则 a + b = _ _109 16.观察下列等式： 第一行 3=41 第二行 5=94 第三行 7=169 第四行 9=2516 按照上述规律，第 n 行的等式为_ （答案：2n+1=(n+1) 2-n2） 17.如图 8，对面积为 1 的ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长 AB、BC 、CA 至点 A1、B 1、C 1，使得 A1B=2AB，B 1C=2BC，C 1A=2CA，顺次连接 A1、B 1、C 1，得到A 1B1C1，记其面积为 S1；第二次操作，分别延长 A1B1、B 1C1、C 1A1 至点 A2、B 2、C 2，使得 A2B1=2A1B1，B 2C1=2B1C1，C 2A1=2C1A1，顺次连接 A2、B 2、C 2，得 到A 2B2C2，记其面积为 S2； ；按此规律继续下去，可得到 A5B5C5，则其面积 S5=_ . 2476099. 19.如图， 1P是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 1P的左下端剪去一个 半径为 2的半圆后得到图形 2P，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半 圆的半径）得图形 34,n ，记纸板 n的面积为 nS，试计算求出 2S ；3S ；并猜想得到 1S 2。 图 8 第 13 题图 - 6 - 解： 131,824n 20.填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = 108 21.古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，根据它的规律，则第 100 个三角形数与第 98 个三角形数的差为 199 22.观察下列等式： 239410 ， 24850， 25640， 265705，87 请你把发现的规律用字母表示出来： mnA 22mn 23.观察下列各式： 1112,3,4,.345 请你将发现的规律用含自然数 n(n 1)的等式表示出来 12n 1()2n 24.下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第 5 个图 案中小正方形的个数为_。41 25.根 据 下 列 图 形 的 排 列 规 律 ， 第 2008 个 图 形 是 (填 序 号 即 可 ). ( ； ； ； .) 答 ： 26.按如下规律摆放三角形： （第 19 题） CB A5 567 53 205 31 黄牛课件网 精品资源 黄牛打造 则第（4）堆三角形的个数为_；第(n)堆三角形的个数为 _.14；3n+2 27.柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有 23听罐头， 第二层有 4听罐头， 第三层有 5听罐头， 根据这堆罐头排列的规律，第 n（ 为正整数）层 有 听罐头（用含 的式子表示） 解： 2(3)n 【08 年中考真题演练】 1. 根据如图 2 所示的（1） ， （2） ， （3）三个图所表示的规律，依次下去第 n个图中平行四 边形的个数是（ ）A A 3nB ()nC 6nD (1)n 2. 课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分 别标号为 1，2，3）的生长情况进行观察记录这三个微生物第一天各自 一分为二，产生新的微生物（分别被标号为 4，5，6，7，8，9） ，接下去 每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物 （课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录） 那么标号为 100 的微生 物会出现在（ ）C A第 3 天 B第 4 天 C第 5 天 D第 6 天 3. 一组按规律排列的式子： 2ba ， 53 ， 8 ， 14ba ，（ 0） ，其中第 7 个式子是 ，第 n个式子是 （ n为正整数） 207 ； 31()n 4. 1766 年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循下表所示的规律： 颗次 1 2 3 4 5 6 行星名称 水星 金星 地球 火星 谷神星 木星 距离/天文单位 0.4 0.7 1 1.6 2.8 5.2 根据表格，第 7 颗行星到太阳的距离是 天文单位10 5. 观察下列图形的排列规律（其中，分别表示五角星、正方形、圆） 若第一个图形是圆，则第 2008 个图形是 （填名称） 正方形 （图 2） （1） （2） （3） 1 12 11 1 10 1 21 20 19 1817 16 15 14 13 5 4 9 87 6 2 3 （第 2 题） - 8 - 6. 如 图所示，中多边形（边数为 12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形 “扩展”而来的， ，依此类推，则由正 n边形“扩展” 而来的多边形的边数为 (1)n 7. 搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图， 图的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要 根钢管83 8. 如图是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个 22 的正方形图案 （如图 ） ，其中完整的圆共有 5 个，如果铺成一个 33 的正方形图案（如图） ，其中完 整的圆共有 13 个，如果铺成一个 44 的正方形图案（如图） ，其中完整的圆共有 25 个， 若这样铺成一个 1010 的正方形图案，则其中完整的圆共有 个.181 9. 将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四 个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 n 正三角形个数 4 7 10 13 an 则 an （用含 n 的代数式表示） 10.有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众” 、 “志” 、 “成” 、 “城” 四个字牌，如图 1若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌 对调，再将转盘顺时针旋转 90，则完成一次变换图 2，图 3 分别表示第 1 次变换和第 2 次变换按上述规则完成第 9 次变换后， “众”字位于转盘的位置是（ ） C A上 B下 C左 D右 11. 如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周 围是正三角形和正方形的地板砖从里向外的第 1 层包括 6 个正方形和 6 个正 三角形，第 2 层包括 6 个正方形和 18 个正三角形，依此递推，第 8 层中含有 正三角形个数是（ ） B 众 志 成 城 图 1 成 城 众 志 图 2 志 成 城 众 第 1 次变换 城 众 志 成 图 3 成 城 众 志 第 2 次变换 图 1 图 2 图 3 (第 7 题图) 黄牛课件网 精品资源 黄牛打造 A54 个 B90 个 C102 个 D114 个 12. 有一长条型链子，其外型由边长为 1 公分的正六边形排列而成。图表示此链之任一段 花纹，其中每个黑色六边形与 6 个白色六边形相邻。若链子上有 35 个黑色六边形，则此链 子共有几个白色六边形？( ) B (A) 140 (B) 142 (C) 210 (D) 212 。 13. 对于任意的两个实数对 ),(ba和 ,dc，规定：当 dbca,时，有 ),(ba,dc； 运算“ ”为： ),(；运算“ ”为：,),(cdba 设 p、 q都是实数，若 )4,2(,)2,1(qp，则_21qp （3，0） 14. 让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数 n1=5 ，计算 n12+1 得 a1； 第二步：算出 a1 的各位数字之和得 n2，计算 n22+1 得 a2； 第三步：算出 a2 的各位数字之和得 n3，再计算 n231 得 a3； 依此类推，则 a2008=_26 15. 如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边 形，则第 n 层有 白色正六边形。6n 16. 观察表一，寻找规律表二、表三分别是从表一中选取的一部分， 则 a+b 的值为 ；37 表一 表二 表三 17. 观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20 个图形共有 个60 18. 阅读下列材料，按要求解答问题： 如图 91，在 ABC 中， A2B，且A60 小明通过以下计算：由题意， B30，C 90，c2b，a 3b，得 a2b 2( 3b)2b 22b 2b c即 a2b 2 0 1 2 3 1 3 5 7 2 5 8 11 3 7 11 15 11 14 a 11 13 17 b - 10 - bc 于是，小明猜测：对于任意的 ABC，当A2B 时，关系式 a2b 2bc 都成立 （1）如图 92，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的 猜测是否正确，并写出验证过程； （2）如图 93，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说 明理由； （3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且A2B，请直接写出这个三角 形三边的长，不必说明理由 解 (1) 由题意，得A=90， c=b，a= 2b， a2b2=( b)2b2=b2=bc (2) 小明的猜想是正确的 理由如下：如图 3，延长 BA 至点 D，使 AD=AC=b，连结 CD， 则 ACD 为等腰三角形 BAC=2ACD，又 BAC=2B，B=ACD=D ，CBD 为等腰三角形，即 CD=CB=a， 又DD， ACDCBD， ACB即 baca 2=b2bca 2b2= bc (3) a=12，b=8，c=10 19. 如图（十六） ，正方形 1OABC的边长为 1，以 O为圆心、 1A为半径作扇形A1O， 与 1相交于点 2，设正方形 与扇形 1C之间的阴影部分的面积 为 S；然后以 2B为对角线作正方形 2，又以 为圆心， 、 2为半径作扇形2C ， 与 1相交于点 3，设正方形 2OAB与扇形 之间的阴影部分面 积为 ；按此规律继续作下去，设正方形 nC与扇形 n之间的阴影部分面积为nS （1）求 123S， ， ； （2）