2011年广东李培华中考方程大盘点

中考方程大盘点 李培华 广东省化州市文楼中学 525136 类型一：一元一次方程 知识点归纳： 一定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方 程，其标准形式为 （ 为已知数，且 ） 。使方程左右两边成立相cbax,0a 等的未知数的值叫做方程的解（又叫做方程的根） 二等式的基本性质： 等式两边加上或减去同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即 若 ，则 。bamb 等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为 0 的数） ，所得结果仍是等式，即： 若 ，则有 ， )0(da 若 ， ，则有 （传递性）c 三解一元一次方程的一般步骤： 去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为 1。 温馨提示：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意等式性质成立的条件 四列一元一次方程解应用题的一般步骤： 审：分析题意，弄清题目中的数量关系； 设：用 x 表示题目中的一个未知数； 找：找出一个能够表示应用题全部意义的相等关系； 列:对照这个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程； 解：解所列出的方程，求出未知数的值； 答：检验所求出的解是否符合题意，写出答案。 温馨提示：列方程解决应用题的关键是找到“等量关系” ，在得到方程的解后，还要 检验它是否符合实际意义。 五典题训练： 1 已知方程 是关于 的一元一次方程，则 ， 。023mxx_mx 2 在 2006 年德国世界杯足球赛中，32 支足球队将分为 8 个小组进行单循环比赛，比 赛规则如下：胜一场得 3 分，平一场得一分，负一场得 0 分。若小组赛中某队的积分 为 5 分，则该队必是（ ） 两胜一负 一胜两平 一胜一平一负 一胜两负ABCD 3 小王在解方程 （ 是未知数）时，误将 看作 ，得方程的解为152xax2 ，请求出原方程的解。x 4 先阅读下列一段文字，然后回答问题： 已知：方程 的解是 ， ； 的解是 ，2 2x21x3122x31x 2 ； 的解是 ， ；问题：观察上述方程及其解，再312x4122x41x2 猜想出方程 的解。0 22 5 某水果批发市场香蕉价格如下表： 购买香蕉数（千克） 不超过 20 千克 20 千克以上但不超过 40 千 克 40 千克以上 每千克价格 6 元 5 元 4 元 张强两次共购买香蕉 50 千克（第二次多于第一次） ，共付出 264 元，请问张强第一次， 第二次分别购买香蕉多少千克？ 类型二：二元一次方程（组） 知识点归纳： 一 定义： 含有两个未知数，并且所含未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程； 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组； 二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。 温馨提示：二元一次方程的每一组解都是一对数值，而不是一个数值，应用“”表示； 在没有非负性限制或取整要求的情况下，一个二元一次方程的解有无数种； 二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个 数也可以超过两个，其中有的方程可以是一元一次方程；但在二元一次方程组 的各个方程中，相同的字母必须代表同一个数量，否则不能将两个方程合起来。 二 二元一次方程组的常用解法： 代入消元法，在求解时应注意：先观察方程组未知数的系数，选择系数为 1（或 1）的方程进行变形比较简单；当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反 时，可进行整式代入；当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程 求出baxy 另一个未知数的值比较简单； 加减消元法，即若方程组中有同一个未知数的系数相同或互为相反数时，将两个方程 两边分别相加或相减，消去一个未知数，但要注意当方程组不能直接加减消元时，应根 据等式性质把方程两边同时乘以一个适当的数，使方程组中的某一个未知数的系数相等 或互为相反数，再把方程进行加减消元。 三 列二元一次方程解应用题问题： 列二元一次方程组解实际问题时，一般情况下，有几个未知量就列几个方程，所列方 程应满足：方程两边表示的是同类量，同类量的单位要统一，方程两边所表示的 数量要相等； 列二元一次方程组解应用题的关键是认真审题，把握题意，找出等量关系。 求解后要对求出的解进行验证，看它是否使实际问题有意义。 四 典题训练： 3 1 下列不是二元一次方程组的是（ ） A2yx B1xy C1D0y 2 已知方程组 的解 满足 ，则 的取值范围是（ ）132mxyyx,2m A4B34C1134 3 若方程 ， 和 有公共解，则 的取值为_yx02yx 4 解方程组： 1745y 152 83yx 5 定义运算“ ”： ，已知 ，求 的)1(BAyxBA 432, 值 6 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组 时，我们如果直接考虑消元，那将是繁不胜繁的，而采用下面156789yx 的方法则是轻易而举的。由得 即 ，由16 得2yx1yx ，再由得 ，从而得 ，所以原方程组的解为 16yx1 21yx 请你用上述的方法解方程组 ，并猜测关于 的方程组202034yxx, （ ）的解是什么？并利用方程组的解加以验证。byxbaa)1()2( 7 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演。甲、乙两所学校共 92 人（其 中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够 90 人）准备统一购买服装参加演出，下面是某 服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1 套至 45 套 46 套至 90 套 91 套及以上 每套服装的价格 60 元 50 元 40 元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付 5000 元 如果甲、乙两所学校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ 4 甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？ 如果甲校有 10 名同学抽去参加书法绘画比赛不能参加比赛，请你为两所学校设计一种最 省钱的购买服装方案。 类型三：一元二次方程 知识点归纳： 一 定义： 1 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元一次方程，其一般 形式为 （ 为已知数，且 ） 。其中 叫做二次项， 叫做一02cbxacba,0a2axbx 次项， 叫做常数项， 分别是二次项和一次项的系数。 温馨提示：在一元二次方程的一般式中要注意 2 使方程左右两边成立的值相等的未知数的值叫做方程的解（又叫做方程的根） 。 二 一元二次方程的根存在情况与系数的关系： 1 一元二次方程 是否有实数根，关键由 的值的符号)0(2acbxa acb42 来确定。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。4 2 一元二次方程的根的存在情况与判别式的关系： 当 时，方程有两个不相等的实数根；02acb 当 时，方程有两个相等的实数根；4 当 时，方程没有实数根；反之亦然。2c 温馨提示：若一元二次方程有实根，则有 042acb 3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 若 是一元二次方程 的两个根，则有21,x )(02cbxa ，b21 三 一元二次方程的解法： 直接开平方法，即利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法。 温馨提示：这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程， 即形如 的方程。)0()(2nmx 配方法，即以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 化二次项的系数为 1，即方程两边同时除以二次项的系数； 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边是常数项； 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； 5 化原方程为 的形式；nmx2)( 如果 就可以用开平方来求出方程的解；如果 ，则原方程无解。0n 0n 温馨提示：配方法适用于解二次项系数为 1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程。 配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数。 因式分解法，即用分解因式的方法求一元二次方程的根的方法。 因式分解法的步骤：将方程右边化为 0； 将方程左边分解为两个一次因式之积； 令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。 温馨提示：用因式分解法解一元二次方程的本质是将一元二次方程降次变形为两个一元 一次方程，从而得到一元二次方程的解。 用因式分解法解题的理论依据是：若 ，则 或 。0ba0b 公式法，即用求根公式求出一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 的求根公式是)0(2acbxa )4(22acax 温馨提示：用求根公式求一元二次方程的解时应注意： 先化方程为一元二次方程的一般形式； 确定 的值，并求出 的值；cba, acb42 若 ，代入求根公式求出 的值；若 ，则原方程无04221,x042acb 解。 四 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审清题意，明确问题中的已知量、未知量以及各种量之间的关系； 设未知数，有直接设未知数和间接设未知数两种，无论怎样设未知数，一定要注意题目 的未知量必须用所设的未知数表示出来； 列方程，找出题目中的相等关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式即方程； 解方程，并对求出的解进行检验，看是否符合题目中的实际意义； 作出答案。 五 典题训练： 1 方程 的解是（ ）03x A,B1,C1,0D1,0 2 若关于 的方程 有实数根，则（ ）x02kx 1kkk 3 若 是一元二次方程 的根，则判别式 与完全平方式t )(2acba acb42 的关系是（ ）2)(bM 6 大小关系不能确定AMBCMD 4 已知 为一元二次方程 的两个根，那么 的值为（ ）ba, 092xba2 7071 5 若方程 的两根互为相反数，则 的取值为_)1(2mxm 6 已知关于 的方程 的一个解与方程 的解相同，2k412x 求 的值；求方程 的另一个解。k01x 7 已知下列 个关于 的一元二次方程： ； ；为 正 整 数 ）n( 02 02x ；(n) 032x)(2nx 请解上述一元二次方程、(n)； 请你指出这 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。n 类型四：分式方程 一 知识点归纳： 1 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2 解分式方程的基本思想：设法将分式方程转化为整式方程。 3 解分式方程的基本方法去分母法，即在方程两边同时乘以各分式的最简公分母， 约去分母，使分式方程转化为整式方程。 4 用去分母法解分式方程的一般步骤： 化简，找出最简公分母； 去分母，将分式方程转化为整式方程； 解所得的整式方程； 验根作答。 温馨提示：解分式方程时，必须将整式方程得到的解代入原方程进行检验，如果最简 公分母等于 0，它就是原方程的增根，必须舍去；增根有两个重要特征：增根能使 最简公分母等于 0，增根是通过去分母所得到的整式方程的根，但不是原方程的解； 有些分式方程，如按常规用去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续 求解，有时甚至会转化成高次方程，更让人束手无策，对于其中一部分在构造上有一定 特点的分式方程，我们可以采用换元法求解。 5 列分式方程解应用题的一般步骤： 审题；设未知数；找出能够表示全部意义的相等关系，列出分式方程；解分式 方程；验根:先检验是否有增根，再看是否符合题意；写出答案。 二典题训练： 1 如果 ，则 等于（ ）062xx ABC2D3 2 已知方程 有增根，则242xk_k 7 3 若 的值为 ，则72y41_162y 4 当 时， 的