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文档简介

2013 届高三第五次月考数学(理) 本试卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在 答题卡“ 考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上. 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改 液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 5、不可以使用计算器. 参考公式:回 归 直 线 ybxa,其中 1122 (),nniiiii iixyxybaybx . 锥体的体积公式: 13VSh,其中 S 表示底面积 , h 表示高 乘法公式: 223()abab 一选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1已知 i 为虚数单位,则复数 i 23(i)对应的点位于 A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 4,10,集合 ,2|Anx,则 B A B , C 4 D 4,20 3已知函数 203xflog, 则 1f的值是 A 9 B 19 C 9 D 19 4.设向量 a2x,, b4x,,则“ 3x”是“ a/b”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数 )(xfy的图象向右平移 6单位后与函数 xy2sin的图象重合, 2 则 )(xfy的解析式是 A )32cos( B fx)62cos( C fx6 D 3 6已知四棱锥 PABCD的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 的四个侧面中面积最大的是 A 3 B 25 C D 8 7在区间 1,和 4,分别取一个数,记为 ab, 则 方程 2xyab 表示焦点在 x轴上且离心率小于32 的椭圆的概率为 A 1 B 1532 C 1732 D 312 8在 R 上定义运算 ).(:yx若对任意 x,不等式xa 都成立,则实数 的取值范围是 A 17, B 3,C 7, D 17, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(913 题) 9. 已知等差数列 na的前 项和为 nS,若 34512a,则 7S的值为 . 10.若 291()x-的展开式的常数项为 84,则 的值为 . 11.若直线 ym是曲线 lyx的切线,则实数 m的值为 . 12.圆 24150xx上到直线 20xy的距离为 5的点的个数是 . 13.图 2 是一个算法的流程图,则输出 S的值是 . 3 图3 PC B A O (二)选做题(1415 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 如图 3,已知 AB是 O的一条弦,点 P为 AB上一点, PCO, 交 于 C, 若 4P, 2, 则 C的长是 15 (坐标系与参数方程选讲选做题) 已知圆 的参数方程为 2xycos,in(为参数), 以原点为极点, x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 1incos, 则直线 l截圆 C所得 的弦长是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤 16 (本大题满分 12 分) 已知函数 (cos2,1)(,cos2),(1.3axbxfxab设 (1)求函数 f的最小正周期及单调递减区间; (2)设 x为三角形的内角,且函数 kxfy)(恰有两个零点,求实数 k的取值范 围 4 17 (本大题满分 12 分) 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验, 收集数据如下 (1)在 5 次试验中任取 2 次,记加工时间分别为 a、b,求事件 a、b 均小于 80 分钟的 概率; (2)请根据第二次、第三次、第四次试验的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa (3)根据(2)得到的线性回归方程预测加工 70 个零件所需要的时间, 18.(本小题满分 14 分) 某市 ,ABCD四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 ,ABCD四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 名学生中,从来自 ,AC两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 表示抽得 A中学的学生人数,求 的分布列和数学期望。 中学 A B C D 人数 30 4 20 1 5 图4 M N BCDA P y xOM CB A 19. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 PABCD-,底面 是正方形, A面 BCD, 点 M是 的中点,点 N是 的中点,连接 M, N. (1) 求证: /面 ; (2)若 5=, 3,求二面角 B-的余弦值. 20.(本小题满分 14 分) 如图, 已知抛物线 2Pyx:,直线 AB与抛物线P 交于 AB,两点, OB, C,OC 与 交于点 M. (1) 求点 的轨迹方程; (2) 求四边形 的面积的最小值. 21.(本小题满分 14 分) 在数 1和 2之间插入 n个实数,使得这 2n个数构成递增的等比数列,将这 2n个数的 乘积记为 nA,令 2aAlog, N *. (1)求数列 的前 项和 nS; (2)求 244622n nnTaatatttntt . 6 参考答案 4. A 分析:当 /ab 时,有 24(1)0x-+=,解得 3x; 所以 3/x ,但 /3ab,故“ ”是“ /ab ”的充分不必要条件 5. B 分析:逆推法,将 sin2yx的图象向左平移 6个单位即得 ()yfx的图象, 即 ()si()()cos(2)cos2cos(2)63366fx xx 6. C 分析:三棱锥如图所示, PM, 145PDCS , 123PBCADS, 362PAB 7. B 分析:方程 2xyab+= 表示焦点在 x轴且离心率小于 的椭 圆时,有 23cea , 即 24b ,化简得 2ab,又 1,5,,b , 画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示, 求得阴影部分的面积为 154,故 15243SP阴 影 8. C 7 分析:由题意得 ()()1xax-=-,故不等式 ()2xa-+化为()12xa-+ , 化简得 ()20, 故原题等价于 21xa在 (2,)上恒成立, 由二次函数 ()()fxa图象,其对称轴为 12ax,讨论得12()0af 或 21()0af ,解得 3 或 7, 综上可得 7 二、填空题 9. 28 分析:方法一、 (基本量法)由 34512a+=得 11342adad+=,即139ad , 化简得 1d=,故 71167()82S 10.1 分析: 2991831C()()C rrrrrraxaxA- -= ,令 6,得其常数项为 639(1)C84a-=, 即 384,解得 11. e 分析:设切点为 00(,ln)x ,由 1(ln)llnyxxA得 0ln1kx, 故切线方程为 001y,整理得 0()y, 与 2xm比较得 0l2x,解得 0ex,故 em 8 x-2y=07535B(-1,2)O POCBAD503(1920)53(91203) x+y=1 xydO12-112 12. 4 分析:圆方程 24150xy化为标准式为 22(1)() ,其圆心坐标 (1,), 半径 25r,由点到直线的距离公式得圆心到 直线 0xy的距离 2|()|351d, 由右图 所 示,圆上到直线 20xy的距离为 5的点有 4 个 13. 3018 分析:由题意 1cos12a , 2cos1a, 3cos12a,45 , 52, 65,7cs , 8cs9, 2091a , 2019a, 201a, 2013a; 以上共 503 行, 输出的 21S 8 14. 分析:如图,因为 PCO ,所以 P是弦 D中点, 由相交弦定理知 2AB, 即 28,故 15. 分析:圆 C的参数方程化为平面直角坐标方程为 22()xy, 直线 l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为 1, 9 如右图所示,圆心到直线的距离 |021|d, 故圆 C截直线 l所得的弦长为 2 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (1)解: 13()+1cos2()cos2in13fxxxxab 2 分 ()1 3 分 最小正周期为 4 分 由 223kxk ,得 63kxk (kZ) 函数 f (x)的单调递减区间是 (), (kZ) 6 分 (2)解: cos)23ykx 因为 x 是三角形的内角,所以 7 8 分 由 2cos()203k得: cs()12kx 函数 y = 2f (x) + k 恰有两个零点,即在(0 , )有两个根 11或 1 10 分 即3 k 0 或4 k 3 实数 k 的取值范围是 k |3 k 0 或4 k 3 12 分 17(1)解:a、b 构成的基本事件( a,b)有(62,67) ,(62,65),(62 ,80),(62,89), (67,75) ,(67 ,80),(67,89),(75 ,80),(75 ,89)共有 10个 2 分 其中“a、b 均小于 80 分钟”的有(62,67),(62 ,75),(67,75)共 3个 3 分 事件 “a、b 均小于 80 分钟”的概率为 310 4 分 (2)解: 1(2034)x 5 分675873y 6 分 222()()(03)(754)(03)(874)1320b 8 分A174054.2a 9 分 y 关于 x 的线性回归方程为 A1354.20y 10 10 分 18 (本小题满分 14 分) (本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识,考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) (1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为 5012. 应从 ,ABCD四所中学抽取的学生人数分别为 ,05. 4 分 (2)解:设“从参加问卷调查的 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所 中学”为事件 M, 从参加问卷调查的 50名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C 2501种, 5 分 这两名学生来自同一所中学的取法共有 C 215C 0C 21C 53. 6 分 35012P7. 答:从参加问卷调查的 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率为 . 7 分 (3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的 50名学生中,来自 ,AC两所中学的学生人数分别 为 5,0. 依题意得, 的可能取值为 ,12, 8 分 11 分 的分布列为: 12 分 012P9670 11 E M N D CBA P 562071609E 14 分 19 (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽 象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) (1)证法 1:取 PA的中点 E,连接 DN,, 点 N是 B的中点, 12E/,. 1 分 点 M是 CD的中点,底面 ABCD是正方形, 12AB/,. 2 分 EN/,. 四边形 D是平行四边形. M/. 3 分 平面 PA, N平面 PAD, N/面 . 4 分 证法 2:连接 B并延长交 的延长线于点 E,连接 , 点 是 CD的中点, 12MAB/, 1 分 点 是 BE的中点. 2 分 点 N是 P的中点, /. 3 分 面 AD, 平面 PAD, M/面 P. 4 分 证法 3: 取 B的中点 E,连接 NM,, 点 是 C的中点,点 是 PB的中点, 12 F EM N D CBA P MEAD/, NP/. 面 , E平面 AD, /面 . 1 分 PA面 , N平面 P, E/面 D. 2 分 M, E平面 M, E平面 N, 平面 N/面 PA. 3 分 平面 , /面 D. 4 分 (2)解法 1: EPA/, 面 BCD, N面 BC. 5 分 M面 , . 6 分 过 E作 FA,垂足为 F,连接 N, N, E面 , 面 EF, 面 . 7 分 面 , AMF. 8 分 NE是二面角 AB-的平面角. 9 分 在 Rt 中, 5=, 3MED,得 224NEME, 10 分 在 Rt EA中, 32,得 2235AA, 5FM=g. 11 分 在 RtNE中, 22 45FNEF, 12 分 13 z yx EM N D CBA P 389cosEFN=. 13 分 二面角 AMB-的余弦值为 . 14 分 解法 2: EP/, 面 CD, N面 . 在 Rt 中, 5N=, 3EA,得 224NEME, 5 分 以点 A为原点, D所在直线为 x轴, B所在直线为 y轴, AP所在直线为 z轴, 建立空间直角坐标系 yz, 6 分 则 3330004222AMEN,. 4EN,, , A,. 8 分 设平面 A的法向量为 nxyz,, 由 n0M, 0N, 得 3240xyz,. 令 1x,得 2y, 34z. n34,是平面 AMN的一个法向量. 11 分 又 0EN,是平面 B的一个法向量, 12 分cos,nAE389 . 13 分 14 二面角 NAMB-的余弦值为 389. 14 分 20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数 与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设 221xyABy,, OBC, M是线段 的中点. 2 分 OAB, 0AO. 21120y. 5 分 依题意知 , 12y. 6 分 把、 代入 得: 24yx ,即 21yx. 7 分 点 M的轨迹方程为 21. 8 分 (2)解:依题意得四边形 AOBC是矩形, 四边形 的面积为S2211yy 9 分 2122y 2y 21. 11 分 212yy,当且仅当 12y时,等号成立, 12 分 15 2S. 13 分 四边形 AOBC的面积的最小值为 2. 14 分 解法二: (1)解:依题意,知直线 ,的斜率存在,设直线 OA的斜率为 k, 由于 ,则直线 的斜率为 1k. 1 分 故直线 OA

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