2013年深圳市高三年级第一次调研考试

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（文科） 参考结论： 三棱锥的体积公式： ，其中, 分别是三棱锥的体积、底面积和高； shv31hsv, 回归直线的方程是 ： ， abxy .,)(:12xbyaxbniiiii 其 中 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，则 2)1(i A -2i B 2i C-2 D2 2已知集合 BAxRR)(,4.3,7| 则 A B C ， D 4,314,32, 3下列函数中，最小正周期为 的是 A. , B. C. D. 2tanxyxy2sin4cosxyxy4cos 4设 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， )2(),1(lg)(3ff则 1.A3.B1.C.D 5下列命题为真命题的是 A若 为真命题，则 为真命题 qpqp B “ x=5”是“ ”的充分不必要条件 0542x C命题“若 x1)个小矩形，若第一个小矩形的 面积等于其余 n-1 个小矩形的面积之和的 ，则第一个小矩形对应的频数是 51 A 20 B25 C30 D35 8等差数列 中，已知 则 的前 n 项和 的最大值为 na,0,745annS A. B. C. D. 7S6S5S4 9已知抛物线 与双曲线 的一条渐近线交于一)0(2pxy )0,(12bayx 点 M(1,m)，点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于 A 3 B4 C D314 10已知 x0,y0，且 4xy-x-2y=4，则 xy 的最小值为 A B C D2 22 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分本大题分为必做题和选做 题两部分 （一）必做题：第 11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答 11运行如图所示的程序框图，输出的结果是 _ 12已知变量 x, y，满足约束条件 则 的取值范围是 _ .082,1yxxy 13在平面直角坐标系 xoy 中，定点 A(4,3) 且动点 B(m,0)在 x 轴的正半轴上移动，则 的最大值为 _|ABm （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只 能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得 分 14在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 的参数方程为 若l.24,1tyx),(Rt参 数 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 则直线 ,sin 被曲线 C 所截得的弦长为_ l 3 15如图， PA 是O 的切线， A 为切点，直线 PB 交 O 于 D、B 两点，交弦 AC 于E 点，且 AE=4, EC=3，BE=6 , PE=6，则 AP = _ 三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分解答 须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， .23),(cos2,1(),(sin2 ONMRNM且 （1）求点 M, N 的坐标； （2）若角 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合，终边分别经, 过点 M, N，求 的值. )tan( 17 （本小题满分 12 分） 一次考试中，五名学生的数学、物理 成绩如下表所示： （1）要从 5 名学生中选 2 人参加一 项活动，求选中的学生中至少有一人的物 理成绩高于 90 分的概率； （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的 散点图，并求这些数据的线性回归方程 abxy 18 （本小题满分 14 分） 如图甲， O 的直径 AB=2 ，圆上两点 C、D 在直径 AB 的两侧，使 沿直径 AB 折起，.3,4AB 使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙） ，F 为 BC 的中点， E 为 AO 的中点根 据图乙解答下列各题： （1）求三棱锥 C-BOD 的体积； （2）求证：CB DE ； （3）在 BD 弧上是否存在一点 G ，使得 FG 平面 ACD？若存在，/ 试确定点 G 的位置；若不存在， 请说明理由 19 （本题满分 14 分） 设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 n 项和已知 , 且nanSa73S 是 和的等差中项 23431和 （1）求数列 的通项公式； n （2）设 数列 的前 n 项和为 ，求证：,)1(nabbnT.21n 20 （本题满分 14 分） 已知椭圆 C 的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为 ,且点 在该椭23),1( 圆上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，椭圆 C 的长轴为 AB，设 P 是椭圆上异于 A 、B 的任意一点， 轴， H 为垂足，点 Q 满足 直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线xP,H 交于点 M ， 求证： 为锐BN4ON 角 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 是自然对数的底数 eaRbaxxf ),1,(ln)(2 （1）试判断函数 在区间 上的单调性； f)0 （2）当 a=e,b=4 时，求整数 k 的值，使得函数 在区间(k,k+1)上存在零点； )(xf （3）若存在 试求 a 的取值范围.,1|)(|,1, 2121 efxfx使 得 5 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数 一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 50 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D A B B C C A D 二、填空题：本大题每小题 5 分；第 14、15 两小题中选做一题，如果两题都做，以第 14 题的 得分为最后得分) ，满分 20 分 11 . 12 . 13 14 15 .632， 34543 三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤 16 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中， ， （ ） ，且 .xOy2 sin,1M（ ） 2 ,cosN（ ） R32OMN （1）求点 的坐标；,MN （2）若角 的顶点都为坐标原点且始边都与 轴的非负半轴重合，终边分别经过点 ，x , 求 的值.tan() 解：(1) 3,2 .2 分22sicosn(1i), 解得 ，2si625cs 所以 ， .6 分(,)M(,)3N （2 ）由（1 ）可知 ，1(,) ， .10 分tan6 5ta tanttan()1 563() .12 分1 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及 向量的有关知识.考查了运算能力 17 （本小题满分 12 分） 一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示： 学生 1A234A5 数学（ 分）x89997 物理（ 分）y7823 （1）要从 名学生中选 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 分的52 90 概率； （2）请 在 所 给 的 直 角 坐 标 系 中 画 出 它 们 的 散 点 图 ， 并 求 这 些 数 据 的 线 性 回 归 方 程 ybxa 解：（1）从 名学生中任取 名学生的所有情况为: 、 、 、5245(,)A41(,)42(,)A 、 、 、 、 、 、 共种情 况.343(,)A1(,)5(,)A53(,)12(,)13230 分 其中至少有一人物理成绩高于 分的情况有：90 、 、 、 、 、 、 共 种情况， 45(,)41(,)42(,)43(,)51(,)A52(,)53(,)A7 故上 述 抽 取 的 人 中 选 人 ， 选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 分的概率90 . 5 分7P0 （2 ）散点图如右所示. 6 分 y/物 理 成 绩 x/数 学 成 绩O 89 91 93 95 97 88 92 94 90 7 可求得： = = ，x59739183 = = ， 8 分y27051()3iiixy = =40， 51i2i)( 2240)(4 =0.75， 30b ， 11 分 ayx2.5 故 关于 的线性回归方程是： . 12 分0.7 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和 应用意识 18 （本小题满分 14 分） 如图甲， 的直径 ，圆上两点 在直径 的两侧，使 ，O 2ABCD、 AB4CAB 沿直径 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙） ， 为 的中点，3DAB F 为 的中点根据图乙解答下列各题：E （1）求三棱锥 的体积；CD （2）求证： ；E （3）在 上 是 否 存 在 一 点 ， 使 得 平 面 ？若 存 在 ， 试 确 定 点 的 位 置 ； 若 不 存 在 ，ABG/FACDG 请 说 明 理 由 解:（1） 为圆周上一点，且 为直径，CAB90C,4AB,A BCOD (第 18 题图甲) A BFOD (第 18 题图乙)E G 为 中点， ，OABCAB .2,1 两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ，DAB 平面 ， 平面 .O 就是点 到平面 的距离， 在 中， ，RtABD113224BABDS . 4 分1334CBOBV （2 ）在 中，A60,OA 为正三角形，D 又 为 的中点， ，EE 两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ，CBDAB 平面 . . 9 分CB （3 ）存在， 为 的中点 .证明如下：GA 连接 ，,OF ，D 为 的直径，B A ，/G 平面 ， 平面 ，CACD 平面 .O 在 中， 分别为 的中点，B,F,B ，/ 平面 ， 平面 ，D/O,G 平面 平面 ，/FAC 又 平面 ， 平面 .14 分/GD 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理 能力 19 （本题满分 14 分） 设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项和已知 ，且 是nanSna37S2a 和 的等差中项134 （1）求数列 的通项公式；n （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： 1ba()nbnT12n 9 解：（1）由已知，得 3 分 12327()(4).aa， 解得 2a 设数列 的公比为 ，则nq ，1q 2131aaq， 由 ，可知 ，37S7 ，250q 解得 12， 由题意，得 5 分q， 1a 故数列 的通项为 7 分n12na (2) ， 11 分1()nnb1()n12nn nS1122312 2nn .14 分nn 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法” ；考 查了学生的运算能力和思维能力 20 （本题满分 14 分） 已知椭圆 的中心为原点 ，焦点在 轴上，COx 离心率为 ，且点 在该椭圆上3231,2（ ） （1）求椭圆 的方程； （2）如图，椭圆 的长轴为 ，设 是椭圆上异ABP 于 、 的任意一点， 轴， 为垂足，ABHxA xyMNQPHOB （第 20 题图） 点 满足 ，直线 与过点 且垂直于 轴的直线交于点 ， 求证：QPHAQBxM4BN 为锐角ON 20 解： （1）设椭圆 C 的方程为 ，由题意可得 , 21,(0)xyab32cea 又 ， . 2 分22cba24a 椭圆 C 经过 ，代入椭圆方程有 ，3(1,)2314b 解得 . 5 分2b ，4a 故椭圆 C 的方程为 . 6 分 214xy （2 ）设 ， 7 分0,Py0() ，,A ，QH ，0,2xy 直线 的方程为 9 分A02yx 令 ，得 2x08,Mx ， ，,0B4BN 11 02,yNx ， 0,QOy 02(1),yxQNx 20 00 0()4(1)2()2yxxyx ， 2014y 2200x 12 分QON ，02x 0 又 、 、 不在同一条直线，OQN 为锐角. 14 分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证 以及分析问题、解决问题的能力 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 ， 是自然对数的底数2ln , 1xfabaR（ ） （ ） e （1）试判断函数 在区间 上的单调性；（ ） 0,（ ） （2）当 ， 时，求整数 的值，使得函数 在区间 上存在零点；ea4bkfx（ ） , 1k（ ） （3）若存在 ，使得 ，试求 的取值范围12, , x12|efxf（ ） （ ） a 解：（1） 1 分()lnl()lnx xfaa 由于 ，故当 时， ，所以 ，2 分a0,)0,()0fx 故函数 在 上单调递增 . 3 分()fx （2 ） ， ，24e()21xfe ， 4 分(0)f 当 时， ， ，故 是 上的增函数；x1xe()0fx()fx0,) 同