2014年gct考试数学复习资料

第一部分算术 内容综述 1数的概念 整数、分数、小数、百分数等等 2数的运算 （1）整数的四则运算；（2）小数的四则运算；（3）分数的四则运算* 3数的整除 整除（ ） 、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数*、合数、质因数、公倍数、m lkn 最小公倍数（ ） 、公约数、最大公约数、互质数、最简分数11n 4比和比例 比例、 ，正比例关系、 ，反比例关系等 dcbakbakab 典型例题 一、算术平均数（平均值）问题 例：某书店二月份出售图书 3654 册，比一月份多出售 216 册，比三月份少出售 714 册， 第二季度的出售量是第一季度出售量的 倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？5.1 分析： .4756)12354( 6)714365(4)234()3(6)6( （又如前 10 个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题） 2 二、植树问题* （1）全兴大街全长 1380 米，计划在大街两旁每隔 12 米栽一棵梧桐树，两端都栽求共 栽梧桐多少棵？ 分析： 23)180(2 （2）将一边长为 2 米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不 能超过 30 厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数 分析：根据要求，每边至少需要 7 个空，所以至少需要 个钉子2874 三、运动问题 1相遇与追及问题（ ， ， ）vts2121,vv21s 例：某部队以每分钟 100 米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以 3 倍于行军的速度将 一命令传到部队的排头，并立即返回队尾已知通信员从出发到返回队尾，共用了 9 分钟， 求行军部队队列的长度？ 分析：设队伍长度为 ，则l ，91030l 解得 2 2顺流而下与逆流而上问题 例：两个码头相距 352 千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要 11 小时，逆流而上行完全 程需要 16 小时求此客轮的航速与这条河的水流速度 分析：因为 ，所以163521352水水 ， vv,2水水v 解得 57水 3列车过桥与通过隧道问题 例：一列火车全长 270 米，每秒行驶 18 米，全车通过一条隧道需要 50 秒求这条隧道的 长 分析：设隧道长为 ，则 ，所以 l501827l 630l 3 四、分数与百分数应用问题* 例：某工厂二月份产值比一月份的增加 ，三月份比二月份的减少 ，那么0101 A三月份与一月份产值相等 B一月份比三月份产值多 *9 C一月份比三月份产值少 D一月份比三月份产值多 910 分析：设一月份的产值为 ，则三月份的产值为 ，所以一月份比三月份产值多aa. 91.0a 五、简单方程应用问题 1比和比例应用题 例 1有东西两个粮库，如果从东库取出 放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的51 已知东库原来存粮 5000 吨，求西库原来的存粮数2 分析：设西库原来的存粮数为 ，则x ，)50(2150x 所以 7 例 2.一件工程，甲独做 30 天可以完成，乙独做 20 天可以完成，甲先做了若干天后，由 乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了 22 天问甲、乙两人各做了多少天？ 分析：设甲、乙两人分别做了 天和 天根据题意得xy,1203yx 解得 6, 2.求单位量与求总量的问题 例：搬运一堆渣土，原计划用 8 辆相同型号的卡车 15 天可以完成，实际搬运 6 天后，有 两辆卡车被调走求余下的渣土还需要几天才能运完？ 分析：设要运完余下的渣土还需要 天，则x ，x)28(6158 所以 x 4 3和倍、差倍与和差问题 例：把 324 分为 A,B,C,D 四个数，如果 A 数加上 2，B 数减去 2，C 数乘以 2，D 数除以 2 之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？ 分析：根据题意得,21234DCBA 解得 4,36,74,0 样题与真题 一、数的运算 1设直线方程 ，且 的截距是 的截距的 倍，则 与 谁大？(C)0,abxyxy)2(a21 (A) (B) (C) 一样大 (D) 无法确定a21 分析：因为 ，所以 。b 2方程 的根的个数为(A)0112xx (A) (B) (C) (D)023 分析：因为 ，所以 的根的个数为 0。1312xx 01212xx 3设 均为大于零的实数，且 ，则 与 谁大？(A)mba, abmba (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 分析：因为 ，所以 比 大。0)(mba 注：特殊值代入法。 4某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘 加上右手中石子数乘 之和为34 ，则左手中石子数为奇数，还是偶数？(A)29 (A)奇数 (B)偶数 (C)无法确定 (D)无石子 分析：因为 ，所以 为奇数。2943yxx 5 （2003）已知 ，则203,01cba A B cbaa 5 C D *bacabc 注：考虑 。xxf1)( 6 （2003） 1)(ii A B * C D 01213 注： 。6121 7设 ，则 （B ） nSn)(43 2054S A2 B1 C0 D 1 分析：由于 ， ，1)3()(2204 2054205S 所以 55S 8 （2005）1111234678900.50的 值 是 （ ） 。 A. B. C. D.81982 分析：分子 ，分母 ，所以正确选项91765432 29108765432 为 A 9 （2006） （C）6581 A . B . C . D.6530832104308128730 分析： 64308218721 )2121()7543( 6716216 543 10 （2006）某型号的变速自行车主动轴有 3 个同轴的齿轮，齿数分别为 48、36 和 24， 后轴上有 4 个同轴的齿轮，齿数分别是 36、24、16 和 12，则这种自行车共可获得（A） 种不同的变速比。 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 6 分析：（本题是算术题。考查两个数的比的大小） 由于 ，所以这种自行车共可获得 种不同的变16243,6,1248,3614 8412 速比。 二、平均值问题 1从生产的一批灯泡中任意抽取 个，测的寿命（小时）分别为 ，若5 95,107,13 用它们来估计这批灯泡的平均寿命应为(C) (A) (B) (C) (D)0310410106 分析： 。55971 2张某以 元/股的价格买进股票 手，又以 元/股买进 手，又以 元/股买. 28.9347.1 进 手，他要不赔钱，至少要卖到什么价钱（元/股）？（ 手 股）(D)50 10 (A) (B) (C) (D).13.10. 8. 分析： 。7810547.892 3 （2003）记不超过 10 的素数的算术平均数为 ，则与 最接近的整数是M A B C * D 3 分析： 。425.47 三、植树问题 1 （2003）1000 米大道两侧从起点开始每隔 10 米各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花， 这样需 要 A树 200 课，花 200 盆 B树 202 课，花 200 盆* C树 202 课，花 202 盆 D树 200 课，花 202 盆 分析：共需树 ，共需花 20)1(2201 2 （2004）在一条长 3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔 40 米原已 挖好一个坑，现改为每隔 60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ D ） A . 50 和 40 B . 40 和 50 C . 60 和 30 D . 30 和 60 分析：40 和 60 的最小公倍数是 120，在 120 米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个 坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是 30 和 60 四、运动问题 （2004）在一条公路上，汽车 A 、B 、C 分别以每小时 80 、70 、50 公里的速度匀速行 驶，汽车 A 从甲站开向乙站，同时车 B 、车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途 中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）. 7 A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里 分析：设甲乙两站相距 公里，则 ，解得 l 5082708ll 1950l 五、简单方程应用问题 1单位量与总量问题、 （1） （2004）某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8 人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ C ） A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 分析：设女生宿舍的房间数为 ，则 ，解得 xx820)1(86 注：选项验证法。 （2） （2005）某项工程 8 个人用 35 天完成了全工程量的 ，如果再增加 6 个人，那么完31 成剩余的工程还需要的天数是（ ） A.18 B.35 C.40 D.60 分析：设完成剩余的工程还需要的天数是 ，则 ，故 ，即正确选xx)8(2540 项为 C 2和倍、差倍、和差问题 小明今年一家四口人，全家年龄之和为 岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，69 四年前全家年龄之和为 岁，则父亲今年多少岁？(D)54 (A) (B) (C) (D)28293031 六、分数（比） 、百分数应用问题 1 （2003）某工厂产值三月份比二月的增加 ，四月份比三月的减少 ，那么0101 A四月份与二月份产值相等 B四月份比二月份产值增加 9 C四月份比二月份产值减少 D四月份比二月份产值减少 *91 10 分析：设二月份的产值为 ，则四月份的产值为 ，所以四月份比二月份产值少aa9.0109.a 2 （2004）甲、乙两种茶叶以 x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10 % ，乙种茶价格下降 10 % 后，成品茶的价 格恰好仍保持不变，则 等于（ C ）. ： A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6 分析：由于 ，所yxyx )1.04()1.0(0 8 以 54yx 3 （2005）2005 年，我国甲省人口是全国人口的 %，其生产总值占国内生产总值的 %cd ；乙省人口是全国人口的 %，其生产总值占国内生产总值的 %，则 2005 年甲省人均生ef 产总值与乙省人均生产总值之比是（ ） A. B. C. D.cdeffcfdf 分析：设全国人口为 p，国内生产总值为 h，则甲省人均生产总值为 ，乙省人均生产总cpdh 值为 ，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是 ，即正确选项为 D。epfh fe 4 （2006）一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 升酒精后，用水将量杯注a 满并搅拌均匀，第二次仍倒出 升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的a 酒精溶液浓度为 49%，则每次的倒出量 为（B）升。 A. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4 分析：根据题意， ，即 ，解得 。 49.01049)1(2a3a 七、其他问题 1一顾客去甲商店买价格为 元的鞋子，给了甲店主一张 元钞票，因甲没有零钱，4850 所以到乙商店换钱，然后将鞋子和 元钱一起给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张2 元钞票为假币，索要甲店主一张 元真币问甲店主赔了多少钱？(A)5050 (A) 元 (B) 元 (C) 元 (D) 元198 2相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(B) (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 3 （2003） 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 队已赛过 4 场， 队已赛EDCBA, AB 过 3 场， 队已赛过 2 场， 队已赛过 1 场，则此时 队已赛过E A1 场 B2 场* C3 场 D4 场 A B C D E A T T T T B T T T C D E 注：排除法，利用奇、偶数性质。 4 （2006）100 个学生中，88 人有手机，76 人有电脑，其中有手机没电脑的共 15 人，则 这 100 个学生中有电脑但没有手机的共有（D）人。 9 A .25 B.15 C.5 D.3 分析：根据题意，既有电脑又有手机的人数为 ，所以有电脑但没有手机的人73158 数是 。376 解法 2：根据题意，24 个没有电脑的人中 15 个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人 只有 9 人，从而在 12 个没有手机的人中只有 3 人有电脑。 第二部分代数 内容综述 一、数和代数式 1实数的运算 （1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） xyxxyxyxyx abaa )(,)(, （2）绝对值 ,0, 2复数的运算及其几何意义（虚数单位、实部、虚部、共轭复数、模、幅角） ， ， ，ibaz2bazabtn ；)()(, 212121211 biazibazibaz ， ； ，111sinco222sincoz ),(1i 10 ；)sin()cos(2121212 z )sin()cos(212121 z0 3几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等） ； ；22)(baba 323)( baab ； ；33 )(2 ； )(2 23 二、集合与函数（微积分） 1集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律） BACBACCI ),()()( ),(, 2函数 （1）概念（定义、两要素、图形、反函数） ，),(),(Dxfyx)(1xfy （2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） )(,)(,;)(,)(,)(, xfxffff aTgbaTbaxxg （3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式） xyyyaxa ln,lg,lo, axxbalogl,l,ln,lnl 三、代数方程： 1二元一次方程组解的存在性 11 2一元二次方程 （1）求根公式（判别式） ；（2）根与系数的关系 ， ；02cbxaacb4 acxbxacbx 2121 2,4 3二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标） 、axcxy4)2(22 四、不等式 1不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） 性质： ;0,;0, kbakbakba cdcdc, 基本不等式： ，)(21 2几种常见不等式的解法 绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等 ， ；0cbxaa axffaxf )(,)(0)( 五、数列 1数列的概念（数列、通项、前 项的和、各项的和、数列与数集的区别）n ， ,2nakaaS121 2等差数列 （1）概念（定义、通项、前 项的和） ；（2）简单性质：中项公式、平均值n)(21,2 ,1(,)(,211 nnnkn aaa dSdd 3等比数列 （1）概念（定义、通项、前 项的和） ；（2）简单性质：中项公式 2111 ,0, nknnnnn aqaSqaa 六、排列、组合、二项式定理 1分类求和原理与分步求积原理 12 2排列与排列数 （1）定义；（2）公式 )1()2(1mnnPm 注 阶乘（全排列） ! 3组合与组合数 （1）定义；（2）公式； mnmnPC, （3）基本性质： nknnC2, 011 4二项式定理： kknbaba0)( 七、古典概率问题 1基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件 2概率的概念与性质 （1）定义（非负性、规范性、可加性） ； （2）性质： ， ，1)(0AP0)()()()( BAPBAP 3几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型） nm)( （2）互不相容事件 ；对立事件 (B1)( （3）相互独立事件 )()PAP （4）独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为 ，那么在 此独立重复试验中这个事件恰好发生pn 次的概率为 k knknC)1()( 典型例题 一、数和代数式 1若 且 12iz，则 iz2的最小值是 B C (A) (B) (C) (D)2345 13 分析： 表示复数 对应的点在以点 为圆心、半径是 的1)2(2iziz z)2,(1 圆周上， 最小，是指复数 对应的点到点 的距离最短，此最短 距离为 3 2如果 整除 123axx，则实数 D )1(a (A)0 (B)-1 (C)2 (D) 2 或 1 分析： 能够整除 说明 是 123axx的一个因子，因此)(x )( 当 时， 123ax的值应为 ，即10 ，02a 解得 或 二、集合和函数 1已知 ，函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是 D 0adcxbaxf23)( (A) (B) (C) (D) 0dbbc0 分析：函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 为奇xxf23)( )(xf 函数，故其偶次项的系数为 ，即 db 注：也可利用 求得 0，再说明当 时， 的图像关于)1(,0)ff 0db)(fy 原点对称. 2设 0,ba，且 ，那么 )(31lna B ab72 (A) (B) )l()ln(1 14 (C) (D)ln(31ba)ln(31ab 分析：由于 ，所以选项(A)(C)不正确0, 根据 及 可知92ln21)(3ln21)(3ln abbaba ab72 )(1l)l( 三、代数方程和简单的超越方程 1设 ，若 是方程 的两个根，求 ，0c21,x02cbx 2112,xx 32x 分析：根据韦达定理可知 ，所以cxbx2121,xx)(2121 ； ；cx42121 cbxx 21212)(2123x 2指数方程组 634yx的解 A (A)只有一组 (B)只有两组 (C)有无穷多组 (D)不存在 分析：在方程组 中每个方程的两端取对数，得63214yx,ln2l4yx 由于 与 的系数不成比例，所以此方程组只有一组解 15 四、不等式 已知集合 ，集合 ，若 ，求 得取值范围32xA 0)1(2axxBABa 分析： 4)1(,1aa 当 时， ；当 时， xB11axB 所以当 时，不会有 ；当 时，若 ，则 aAaA5 五、数列 1设 是一等差数列，且 ，求 和 na 641032aa7a12S 分析：由于 ，所以761103 ；76a22 19)(67112 aaS 2设 是一等比数列，且 ，求 和 n 48,25310,a62 分析：设数列 的公比为 ，则 ，所以aqa ；3412qa 或 ；569101536)2(39910qa 7825362a 六、排列、组合、二项式定理 15 个男生和 2 个女生拍成一排照相 （1）共有多少种排法？（ ）7P （2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（ ）)(25P 2100 件产品中，只有 3 件次品，从中任取 3 件， （1）恰有一件次品的取法有多少种？ 2971C 16 （2）至少有一件次品的取法有多少种？ 39710C （3）至多有两件次品的取法有多少种？ 3求 展开式中所有无理项系数之和9)1(x 分析：无理项指的是 的指数是非整数的项，根据二项式定理可知要求的和为 975939222CCS 七、古典概率问题 1在 100 件产品中，只有 5 件次品从中任取两件， （1）两件都是合格品的概率是多少？ 21095C （2）两件都是次品的概率是多少？ （3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？ 21095C 2甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是 和 6. （1）两人都投中的概率是多少？ 5.06 （2）恰有一人投中的概率是多少？ .4 （3）至少有一人投中的概率是多少？ 1 3将 10 个球等可能地放到 15 个盒子中去，求下列事件的概率： （1）某指定的 10 个盒子中各有 1 个球； 105 ! （2）正好有 10 个盒子中各有 1 个球 10 !C 样题与真题 一、基本概念 1求阶乘不超过 的最大整数 20 (A) (B) (C) (D)3456 2 （2004）实数 在数轴上的位置如下图表示，cba, 17 图中 O 为原点，则代数式 （ A ） caba A B C Dca23c2b2a3 分析：因为 ，所以cb0 c2)()()( 3 （2004） 表示 的幅角，今又 ，则 （ D zarg )1arg(,2argii)sin( ） A B C D543543 分析：由于 ，所以51cos,52sin,cos,51sin 3ii)si( 注：排除法。 4 （2005）复数 2(1)( )ziz的 模 。 A.4 B.2 C.2 D. 分析：因为 ，所以 ，即正确选项为 C2i 21)(2ii 5。 （2006）复数 的共轭复数 是（ A ）. iz1z A. B. C. 1 D.i 分析：由于 ，所以 。iziz O b a c 18 二、函数运算 1设函数 ， ，则 A 1)(xf 1,0x)(xf (A) (B) (C) (D)x 11x 分析： ， xxfxf 1)(1)( ,0 三、乘方运算 1在连乘式 展开式中， 前面的系数为 C )5(4)3(2)1( xxx 4x (A) (B) (C) (D)34116 分析： 4545 1)532()()(2)1( xxxxx 2 （2003）已知实数 和 满足条件 和 ，则 的值y1)9y(0y10y 是 A * B C D 1012 根据条件，得 或 ,yx,yx 解得 或 1,0,01 3 （2005）设 为正数，则p29( )xp。 A. B.9()x（ ） (1（ ） C. D.1（ ） )（ ） 分析：选项验证法。由于 ， ，920)(9xx 92)1(xx ， ，根据题意便知正确选项为2)(9xx )1 C 4 （2005）已知 ，则50yz且 22( )xyzxyz。 19 A.50 B.75 C.100 D.105 分析：由于 ，所以 ，从而10,5yzx5xz ，故正确选项为 B75)()()(222 xzyxzyx 四、代数方程、一元二次函数 1设 ，则函数 的最大值为 C 30x2)(xy (A) (B) (C) (D)213 分析： -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3x -2 -1 1 y 如图：最大值只可能在端点取到 2 （2003）函数 在 上单调增的充要条件是)0(2acbxy), A ，且 B ，且 0a0b C ，且 * D ，且 分析：根据题意，抛物线 的开口朝上、对称轴在 轴左侧，故)(2cxy y ，所以 ，且 02,ab0ab 3 （2004）已知 ，且满足 和 ，则（ B ） 10328a0282b A B C D32b3a 分析：由于 ，且 ，所以64,408 2a 1 当 时， ，220 082, 2b 当 时， ，48 2a 64, 2 从而有 032b 或根据 ，也可以推出有 0)32(92ba032ba 4 （2006）方程 ，所有实数根的和等于（C） 。76x 20 A.2006 B.4 C.0 D. 206 分析： 当 时， ；0x27406 当 时， 。20)( 所以方程 的所有实数根的和等于 。20762x 5 （2006）设二次函数 的对称轴为 ，其图像过点（2，0） ，则cbxaf2)( 1x （ D ） 。)1(f A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 分析：根据题意 ，所以 ，从而024,1cba2,abc 。3)1(abf 五、幂、指、对函数 比较 与 谁大？ B 6.044.0 (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 分析：考虑函数 则 ；,6.0)(,)(6.xgxf6.0.4)4.0().(ff .4.06.)4.0(g 六、函数简单性质 1函数 是 B )1ln()2xxf (A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单调减少函数 分析： )(1ln(1ln)l()( 22xfxxf 注：排除法与特殊值代入法。 。0l(),0)l( ff 2 （2003）函数 与 的图形关于)0(1axfy2xafy 21 A直线 对称 B直线 对称0ax 0ax C 轴对称 D 轴对称*y 分析：记 ，由于 ，所以)(),()fhxfg )()()() xhafxfg 曲线 上的点 关于直线 的对称点 在曲线xyg0x, 上)(h 注：特殊值代入法。取特殊函数 进行判定xf)( 七、不等式 （2004）设 均为正数，若 ，则( A).cba, acbbac A B C Dc abc 分析：选项验证法。当 时，正分数 的分子依次增大、分母依次, 减小，所以 acba 八、数列 1 （2005）三个不相同的非 0 实数 成等差数列，又 恰成等比数列，则 等于,abcbca, ab （ ） A.4 B.2 C. D.42 分析：根据条件可知 ，从而 ， ，由于 ，abcb,22)(bcbca2)(1 所以 ， ，即正确选项为 Abca 注：本题根据 ， 及 可直接用排除法得到正确选项 A0bb 2 （2006）设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则 所插入的 n 个正数之积等于（A ） 。 A. B. C. D. 2)1(n)(n2)(n3)1( 分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式） 设此等比数列的公比为 ，则 ，即 ，所以q1n1nq 。2)1(232nq 22 九、排列组合 15 棵大小不同的柳树，6 棵大小不同的杨树，载到 5 坑内，一坑一棵，5 个坑内至多载 两棵柳树，5 个坑都载了，有多少种载法？ 1208)(53624615 PC (A) 281 (B) 200 (C) 81 (D)275 十、古典概率 1现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁 抓到奖的概率最大？ (A)第一个人 (B)第二个人 (C)第三个人 (D)一样大 2袋中有 3 个黄球,2 个红球，1 个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次， （都） 取得红球的概率是（ ） (A) (B) (C) (D)150332 分析： ，或 26C15 3 （2003）一批产品的次品率为 ，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是.0 次品的概率为 A * B C D 71.0243.1.081. 分析： ，或 71.09.3 27.9.9. 3232 4 （2004）将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格 相连的概率是（C ） A B C * D628325 分析：将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，共有 种放法，3 个空格相连的放58C 法有 6 种（ ） ，所求概率为 12365 5 （2005）任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 分析：当所取正整数的个位数是 2 或 8 时，其平方数的末位数字就是 4，所有正整数的个 位数只有 1， 2，3，4，5，6，7，8，9，0 等十种可能，所以要求的概率是 ，即2.01 正确选项为 B 6 （2006）桌上有中文书 6 本，英文书 6 本，俄文书 3 本，从中任取 3 本，其中恰有中文 书、英文书、俄文书各 1 本的概率是（ ） 。 A. B. C. D. 9140845108451 答：C 分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式） 23 所求概率为 。451082315636 1Cp 第三部分几何（与三角） 内容综述 一、平面几何图形 1三角形 （1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积） cbapcbpaCabhs 2,)()(sin21 （2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边） 2 2四边形 （1）矩形（正方形） ；（2）平行四边形（菱形） ；（3）梯形 hbas)(21 3圆和扇形 （1）圆(周长、面积、弦、圆周角、圆心角) 22Rsl 24 （2）扇形 Rls21 4平面图形的相似关系 注：正多边形的内角和 、椭圆的面积)2(nab 二、空间几何体 1长方体（正方体） 2圆柱体 hRVhs22侧 3圆锥体 31侧 4球 324RVs 25 三、三角函数 1定义（符号，特殊角的三角函数值） sin1c,os1ec,sinoct,osintai xy 2三角函数的图像和性质（微积分） 3常用的三角函数恒等式 x y ),(yx 26 同角恒等式： 2222csot1ean1si 两角和公式： 1cos2sin1sico2sini i)( scoisi22 诱导公式： in)(,)(,)in( 注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理） 4.反三角函数 ),0(cotar);2,(arctnssi xyxy 四、平面直线 1直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式） 0;1;,00 cbyaxybkxyxkykxy 2两条直线的位置关系（相交，平行，垂直） ； ；:cbal 0:11cal 平行但不重合： ；重合： ；垂直：bba1ba 3点到直线的距离 ， ， 0cbyax),(0yx20cyxd 注：直线与圆等平面图形的位置关系 27 五、圆锥曲线 1圆 2020)()(Ryx 2椭圆 （1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合 （2）方程； )0,(,122cbacbyax （3）图像；（4）离心率； e （5）准线 cx 2 3双曲线 （1）定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合 （2）方程； )0,(,2cbacbyax （3）图像；（4）离心率； 1ae （5）渐近线； （6）准线 xbycx 2 4抛物线 （1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合 （2）方程； ， pxy,2,)0(px （3）图像；（4）离心率 ；（5）准线1e0,022baedycxbax 28 典型例题 1已知 ，求 sinta,20,cosin xxBxxABA 分析：由于 ，452,0cosin xxxA ，所以)1(2)32()1()1(sita kxkorkkxB A2 2设 ， ，求0, ba xbaxfcossin)( （1） 的最大值；)(xf （2） 时的 值 分析：由于 ,)sin(cossicosi)(2 22 xba xbaxxf 所以 的最大值为 ；)f 2 当 时，有 ，即 0(xkx)(1kx 3设三角形的三条边分别为 ，面积为 ，已知 ，求 cba,S35,4Sbac 分析：根据 及 可得 ，所以CbSsin2135,42sinC cosC 29 当 时，有 ；21cosC21cos22Cabc 当 时，有 6 4如果 与 均是锐角，且 ，那么4 41)sin(,5)sin( )sin(2015 分析： .20154152)4sin()co()cos()sin( i4）（）（ 5已知直线 ，求点 关于 的对称点。3:yxl )0,(Al 分析：设所求的点为 ，则直线 与直线 垂直，且线段 的中点在直线 上，所),(YXBABlABl 以,0124)(213,YXY 解得 58, 6双曲线 的右准线与两条渐近线交于 两点，若以 为直径)0,(12babyax BA,AB 的圆经过右焦点 ，求该双曲线的离心率F A 30 分析：双曲线 的右准线为 ，两条渐近线方程为 ，)0,(12babyax cax2xaby 所以线段 的长度为 根据题意可知ABc ，cab 2 即 ，所以 ，从而 ，因此cba 22baabc22 ace 7写出抛物线 的焦点坐标和准线方程xy22 分析：将 化为标准形式为y ，)21()(2x 所以焦点坐标为 ,准线方程为 01x 样题与真题 一、平面几何 1一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？ (A) (B) (C) (D)5678 F 31 2.如图，弦长 ，则它们所对的圆周角哪个大？ ba (A) (B) (C)一样大 (D)无法确定 3如图，一个长为 的梯子 ， 端只能在竖直墙面上滑动， 端只能在地面上滑动，lABB 则梯子与墙面和地面所围成的面积最大时， 角应为多大？ (A) (B) (C) (D)。0。45。60。75 4如图，矩行与椭圆 相切，则椭圆面积与矩形面积之比和 相比较谁大？ 12byax 4 (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 5一个三角形的边长分别为 ，则此三角形的面积为 7,54 (A) (B) (C) (D)636343 6两个相似三角形的相似比为 ，则它们的面积比应为 2:1 a b 32 (A) (B) (C) (D)无法确定2:13:14:1 7 （2003）如图，正方形 的面积为 ， 和 分别是 和 的中点，则图中阴影ABCDEFABC 部分的面积为 A B C * D 243253 分析 如图，阴影部分的面积为 因为 G 是三角形 BCD 的中心，所以 ，从而32 GCO21 三角形 DGC，DHG，DHA 的面积相等，都是 由于三角形 GFC 在底边 FC 上的高是三角形61 DFC 在底边 FC 上的高的 ，所以三角形 GFC 的面积是三角形 GCD 面积的一半综上，阴1 影部分的面积为 326 8 （2004）如图，直角 中 为直角，点 E 和 D，F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上，ABC 且 AF=FE=ED=DC=CB，则 （ ） A B C * D9102 分析 A C B E D F CB E F G O H 33 如图，根据条件可知，三角形 AFE，FED，DCB 都是等腰三角形根据三角形的外角等于不 相临的两个内角和及对顶角相等，可知角 EFD 的大小为 2A，角 CED 的大小为 3A，角 BDC 的大小为 4A，所以角 A 和角 B 之和为 5A，从而 10A 或 9 （2004）如图，长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为 ，则正方形 EFGH 的面积为（ ） S A B C * D8102S1 分析 设小正方形的边长是 ，则 GC 的长度是 ，HB 的长度是 ，AD 的长度是 ，aa2a3a2 所以 ，从而 222491aS S1 注： SBCA13 10(2004) 在圆心为 O，半径为 15 的圆内有一点 P，若 OP=12，则在过 P 点的弦中，长 度为整数的有（ ） A14 条 B13 条* C12 条 D11 条 分析 A B C G H B C AE D F 2A 3A 4A4A A B C E D F2A 3A 4A4A D 34 如图，过 P 且与直径垂直的弦的长度是 ，这也是过 P 点的弦中长度最短1825 的，由于直径是过 P 点的弦中最长的一条，所以过 P 点的弦中长度为整数的有 条1370 注：按本题的问法，考虑到对称性，结果应为 24 条但选项中没有这个选项 11 （2004） 中，AB=5，AC=3， ，该三角形 BC 边上的中线长是 的函数ABCxAx ，则当 在 中变化时，函数 取值的范围是（ ） )(xfy),0()(f A （0，5） B （1，4）* C （3，4） D （2，5） 分析 如图，当 在 内变化时，BC 边上的中线长 f(x)的变化范围是 xA),0( )4,1( 12 （2005）在四边形 ABCD 中对角线 AC，BD 垂直相交于 O 点若 AC=30，BD=36，则四边 形 ABCD 的面积为（ ） A.1080 B.840 C.720 D.540 分析： 如图，易知四边形 ABCD 的面积等于 与 的面积之和，其值为ABDC ，即正确选项为 D540362121BDAC 13 （2005）在 中，AB=10，AC=8，BC=6过 C 点以 C 到 AB 的距离为直径作一圆， 该圆与 AB 有公共点，且交 AC 于 M，交 BC 于 N，则 MN 等于（ ） A B C D O P A A B C f(x)3 5 35 A. B. C. D.3451723 分析： 如图，根据条件可知 是直角三角形，由于是圆的直径，所以圆周角和ACB 都是直角，从而和都是长方形的对角线，所以 ，故正确选项为541068CPMN 14 （2006）如右图所示，小半圆的直径 EF 落在大半圆的直径 MN 上，大半圆的弦 AB 与 MN 平行且与小半圆相切，弦 AB10 厘米，则图中阴影部分的面积为（ B ）平方厘米。 A.10 B.12.5 C.20 D.25 分析：记大圆半径为 、小圆半径为 ，则根据题意可知 ，所以图中阴影Rr 252rR 部分的面积为 。5.1221r 15 （2006）已知长方形的长为 8，宽为 4，将长方形沿一条对角线折起压平如右图所示， 则阴影三角形的面积等于（B） 。 A. 8 B. 10 C.12 D. 14 分析：如图，易知 与 全ABOCD 4 8B CA O M N N A B D 36 等，从而 ，解得 ，所以阴影三角形的面积等于222)8()(4ODAOD3 。103821 16 （2006）.如右图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与 半圆的直径 AB 垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与 木板面积之比等于 ，那么光线与地平面所成的角度是（ B ） 。 A. 15 B. 30 C.45 D.60 分析：设半圆的半径为 ，则半椭圆的一条半轴为 ，记其另一半轴为 。根据题意可知RRb ，321bR 如图可知 度。30 二、空间几何体 1 （2003）已知两平行平面 之间的距离为 ， 是平面 内的一条直线，则在, )0(dl 平面 内与直线 平行且距离为 的直线有ld2 A 条 B 条 C 条* D 条014 R b A B 37 2 （2003）正圆锥的全面积是侧面积的 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角45 为 A B * C D 236 分析：设正圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则 ，即Rl lRlR214521 ，所以 故正确lR212l 选项为 B 3 （2005）一个圆锥形容器（甲）与 一个半球形容器（乙） ，它们的开口 圆的直径与高的尺寸如右图所示（单 位：分米） 若用甲容器取水注满乙 容器，则至少要注水（ ）次 A.6 B.8 C.12 D.16 分析：甲容器的容积是 ，乙容器的容积是 ，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至1232 少要注水 8 次，即正确选项为 B 4 （2006）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球 的直径等于圆柱的高，现