2015-2016学年重庆市渝北区渝汉中学九年级上期中数学试卷.doc

重庆市渝北区渝汉中学 2015-2016 学年九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答 案所对应的括号内 1 的相反数是（ ） A B C 2 D2 2若关于 x 的一元二次方程 2x2ax+1=0 的一个解是 x=1，则 a 的值是（ ） A3 B 3 C2 D 2 3已知O 的半径是 4，OP=3 ，则点 P 与 O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D不能确定 4下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 5如图，ABC 内接于O，BD 是O 的直径若DBC=33 ，则 A 等于（ ） A33 B 57 C67 D66 6用配方法解方程 x2+4x=3，下列配方正确的是（ ） A （x2 ） 2=1 B （x2） 2=7 C （x+2） 2=7 D （x+2） 2=1 7下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是（ ） A了解某班同学的身高情况 B了解全国每天丢弃的废旧电池数 C了解一批炮弹的杀伤半径 D了解我国农民的年人均收入情况 8下列计算中，结果正确的是（ ） A2x 2+3x3=5x5 B 2x33x2=6x6 C2x 3x2=2x D （2x 2） 3=2x6 9如图，点 P 是定线段 OA 上的动点，点 P 从 O 点出发，沿线段 OA 运动至点 A 后，再 立即按原路返回至点 O 停止，点 P 在运动过程中速度大小不变，以点 O 为圆心，线段 OP 长为半径作圆，则该圆的周长 l 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 10若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak B k Ck 且 k1 Dk 且 k1 11如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛，顶 层一个，以下各层堆成六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有 13 个花盆，则底层的花盆的个数是（ ） A91 B 127 C169 D255 12如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2） ，且与 x 轴交点的横坐标分 别为 x1、x 2，其中2x 1 1， 0x 21，下列结论： 4a2b+c0； 2ab0；a 1； b2+8a4ac 其中正确的有（ ） A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 13南京长江隧道即将通车，这将大大改善市民过江难的问题已知隧道洞长 37900 米， 这个数用科学记数法可表示为 米 14分解因式：a 3ab2= 15函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 16如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若 点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 17如图，O 是边长为 1 的等边 ABC 的中心，将 AB、BC 、CA 分别绕点 A、点 B、点 C 顺时针旋转 （0 180） ，得到 AB、BC、CA ，连接 AB、BC、AC、OA、OB （1）AOB= ； （2）当 = 时， ABC的周长最大 18如图，ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 DC 上一点，DAE=30 ， 过 D 作 DFAE 于 F 点，连接 OF则线段 OF 的长度为 三、解答题：（本大题 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分）解答题时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线） ，请将解答过程书写在题中对应的 位置上. 19计算：（3 + ） 20解方程：x 2+2x7=0 四、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）解答题时每小题必须给出必要 的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线） ，请将解答过程书写在题中对应 的位置上 21先化简，再求值：（ ） ，其中 x 满足分式方程 =0 22我市民营经济持续发展，2013 年城镇民营企业就业人数突破 20 万为了解城镇民营 企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工 2013 年月平均收入随机抽样调 查，将抽样的数据按“2000 元以内”、 “2000 元4000 元”、 “4000 元6000 元”和“6000 元以 上”分为四组，进行整理，分别用 A，B，C ，D 表示，得到下列两幅不完整的统计图 由图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的员工有 人，在扇形统计图中 x 的值为 ，表 示“月平均收入在 2000 元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是 ； （2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市 2013 年城镇民营企业 20 万员工中，每月的 收入在“2000 元4000 元” 的约多少人？ （3）统计局根据抽样数据计算得到，2013 年我市城镇民营企业员工月平均收入为 4872 元， 请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？ 23某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）求销售单价 x（元）为多少时，该文具每天的销售利润 W（元）最大？ （2）经过试营销后，商场就按（1）中单价销售为了回馈广大顾客，同时提高该文具知 名度，商场营销部决定在 11 月 11 日（双十一）当天开展降价促销活动，若每件文具降价 m%，则可多售出 2m%件文具，结果当天销售额为 5250 元，求 m 的值 24对 x，y 定义一种新运算 T，规定：T（x，y）= （其中 a、b 均为非零常数） ，这 里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= =b （1）已知 T（1，1）= 2，T（4，2）=1 求 a，b 的值； 若关于 m 的不等式组 恰好有 3 个整数解，求实数 p 的取值范围； （2）若 T（x，y）=T（y，x）对任意实数 x，y 都成立（这里 T（x，y）和 T（y，x）均 有意义） ，则 a，b 应满足怎样的关系式？ 五、解答题：（本大题 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）解答题时每小题必须给出必要 的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线） ，请将解答过程书写在题中对应 的位置上. 25等腰 RtABC 中， ACB=90，AC=BC，点 G 是 BC 上一点，CF AG 于 E，BCCF ，D 为 AB 中点，连接 DF （1）求证：AECCFB； （2）求证：EF= DF 26如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边 AB 在 x 轴上，ABC=90， AB=BC，OA=1，OB=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、C 两点 （1）求抛物线的解析式及其顶点坐标； （2）如图 ，点 P 是抛物线上位于 x 轴下方的一点，点 Q 与点 P 关于抛物线的对称轴对 称，过点 P、Q 分别向 x 轴作垂线，垂足为点 D、E，记矩形 DPQE 的周长为 d，求 d 的最 大值，并求出使 d 最大值时点 P 的坐标； （3）如图 ，点 M 是抛物线上位于直线 AC 下方的一点，过点 M 作 MFAC 于点 F，连 接 MC，作 MNBC 交直线 AC 于点 N，若 MN 将 MFC 的面积分成 2：3 两部分，请确定 M 点的坐标 2015-2016 学年重庆市渝北区渝汉中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答 案所对应的括号内 1 的相反数是（ ） A B C 2 D2 【考点】相反数 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 【解答】解： 的相反数是 ， 故选：A 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 2若关于 x 的一元二次方程 2x2ax+1=0 的一个解是 x=1，则 a 的值是（ ） A3 B 3 C2 D 2 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=1 代入已知方程，列出关于 a 的新方程，通过解新方程可以求得 a 的值 【解答】解：把 x=1 代入 2x2ax+1=0，得 2（1） 2+a+1=0， 解得 a=3 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数 的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所 以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 3已知O 的半径是 4，OP=3 ，则点 P 与 O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D不能确定 【考点】点与圆的位置关系 【分析】点在圆上，则 d=r；点在圆外，dr；点在圆内， dr （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径） 【解答】解：OP=34，故点 P 与 O 的位置关系是点在圆内 故选 A 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关 系是解决问题的关键 4下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解 【解答】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转 180后能与原图重合，则只有选项 A 是 中心对称图形 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身 重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 5如图，ABC 内接于O，BD 是O 的直径若DBC=33 ，则 A 等于（ ） A33 B 57 C67 D66 【考点】圆周角定理 【专题】计算题 【分析】连结 CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到BCD=90，则利 用互余可计算出D=57，然后根据圆周角定理即可得到A 的度数 【解答】解：连结 CD，如图， BD 是O 的直径， BCD=90， 而DBC=33， D=9033=57， A=D=57 故选 B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角 所对的弦是直径 6用配方法解方程 x2+4x=3，下列配方正确的是（ ） A （x2 ） 2=1 B （x2） 2=7 C （x+2） 2=7 D （x+2） 2=1 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】计算题 【分析】把方程两边都加上 4，方程左边可写成完全平方式 【解答】解：x 2+4x+4=7， （x+2） 2=7 故选 C 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m ） 2=n 的形式， 再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法 7下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是（ ） A了解某班同学的身高情况 B了解全国每天丢弃的废旧电池数 C了解一批炮弹的杀伤半径 D了解我国农民的年人均收入情况 【考点】全面调查与抽样调查 【专题】常规题型 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得 到的调查结果比较近似 【解答】解：A、了解某班同学的身高情况，工作量小无破坏性，可以用普查方法，故 A 正确； B、了解全国每天丢弃的废旧电池数花费的劳动量太大，不宜作普查，故 B 错误； C、了解一批炮弹的杀伤半径是具有破坏性的调查，无法进行普查调查，故 C 错误； D、了解我国农民的年人均收入情况因工作量较大，只能采取抽样调查的方式，故 D 错 误 故选：A 【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查 的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义 或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普 查 8下列计算中，结果正确的是（ ） A2x 2+3x3=5x5 B 2x33x2=6x6 C2x 3x2=2x D （2x 2） 3=2x6 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘法法则；单项式除法法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后 利用排除法求解 【解答】解：A、2x 2 与 3x3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、应为 2x33x2=6x5，故本选项错误； C、2x 3x2=2x，正确； D、应为（2x 2） 3=8x6，故本选项错误 故选 C 【点评】本题考查了单项式乘单项式，单项式除单项式，积的乘方，熟练掌握运算性质是 解题的关键，不是同类项的一定不能合并 9如图，点 P 是定线段 OA 上的动点，点 P 从 O 点出发，沿线段 OA 运动至点 A 后，再 立即按原路返回至点 O 停止，点 P 在运动过程中速度大小不变，以点 O 为圆心，线段 OP 长为半径作圆，则该圆的周长 l 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题；动点型 【分析】根据题意，分点 P 从 O 点出发，沿线段 OA 运动至点 A 时，与点 P 按原路返回至 点 O，两种情况分析，可得两段都是线段，分析可得答案 【解答】解：设 OP=x， 当点 P 从 O 点出发，沿线段 OA 运动至点 A 时，OP 匀速增大，即 OP=x 为圆的半径，则 根据圆的周长公式，可得 l=2x； 当点 P 按原路返回至点 O，OP 开始匀速减小，设 OP=x，则圆的半径为 xOA，则根据圆的 周长公式，可得 l=2（xOA ） 分析可得 B 符合， 故选 B 【点评】解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而 得到整体的变化情况 10若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak B k Ck 且 k1 Dk 且 k1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据判别式的意义得到=2 24（k1）（2）0，然后解不等式即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根， =224（k1） （2）0， 解得 k ；且 k10，即 k1 故选：C 【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的根的判别式=b 24ac：当 0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 11如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛，顶 层一个，以下各层堆成六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有 13 个花盆，则底层的花盆的个数是（ ） A91 B 127 C169 D255 【考点】规律型：图形的变化类 【分析】由图形可知：第一层有 1 个花盆，第二层有 1+6=7 个花盆，第三层有 1+6+12=19 个花盆，第四层有 1+6+12+18=37 个花盆，第 n 层有 1+6（1+2+3+4+n1） =1+3n（ n1）个花盆，这垛花盆底层最长的一排共有 13 个花盆，也就是第 7 层，由此代入 求得答案即可 【解答】解：第一层有 1 个花盆， 第二层有 1+6=7 个花盆， 第三层有 1+6+12=19 个花盆， 第四层有 1+6+12+18=37 个花盆， 第 n 层有 1+6（1+2+3+4+n1）=1+3n （n1）个花盆， 这垛花盆底层最长的一排共有 13 个花盆， 处于第 7 层， 花盆的个数是 1+37（7 1）=127 故选：B 【点评】此题考查图形的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题 12如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2） ，且与 x 轴交点的横坐标分 别为 x1、x 2，其中2x 1 1， 0x 21，下列结论： 4a2b+c0； 2ab0；a 1； b2+8a4ac 其中正确的有（ ） A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】首先根据抛物线的开口方向得到 a0，抛物线交 y 轴于正半轴，则 c0，而抛物 线与 x 轴的交点中，2x 1 1，0x 21，说明抛物线的对称轴在 10 之间，即 x= 1，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则 a0；抛物线的对称轴 x= 1，且 c0 由图可得：当 x=2 时，y0，即 4a2b+c0，故正确； 已知 x= 1，且 a0，所以 2ab0，故正确； 已知抛物线经过（1，2） ，即 ab+c=2（1） ，由图知：当 x=1 时，y0，即 a+b+c0（2） ，由知：4a2b+c0（3） ； 联立（1） （2） ，得：a+c1；联立（1） （3）得：2a c4； 故 3a3，即 a 1；所以正确； 由于抛物线的对称轴大于1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2，即： 2， 由于 a0，所以 4acb28a，即 b2+8a4ac，故 正确； 因此正确的结论是 故选 D 【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数图 象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解 此题的关键 二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 13南京长江隧道即将通车，这将大大改善市民过江难的问题已知隧道洞长 37900 米， 这个数用科学记数法可表示为 3.7910 4 米 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值 时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 37900 用科学记数法表示为 3.79104 故答案为：3.7910 4 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 14分解因式：a 3ab2= a（a+b） （ab） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】因式分解 【分析】观察原式 a3ab2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a2b2 是平方差公式，利用平方 差公式继续分解可得 【解答】解：a 3ab2=a（a 2b2） =a（a+b ） （ab） 【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式 本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法） 15函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x2 且 x0 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x+20 且 x0， 解得 x2 且 x0 故答案为：x2 且 x0 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 16如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若 点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 0 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】数形结合 【分析】依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可 【解答】解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q， 抛物线的对称轴是过点（1，0） ，与 x 轴的一个交点是 P（4，0） ， 与 x 轴的另一个交点 Q（ 2，0） ， 把（2， 0）代入解析式得：0=4a 2b+c， 4a2b+c=0， 故答案为：0 【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示出与 x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键 17如图，O 是边长为 1 的等边 ABC 的中心，将 AB、BC 、CA 分别绕点 A、点 B、点 C 顺时针旋转 （0 180） ，得到 AB、BC、CA ，连接 AB、BC、AC、OA、OB （1）AOB= 120 ； （2）当 = 150 时，ABC的周长最大 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质 【分析】 （1）ABC是等边三角形，根据中心角的定义求解； （2）当 O，A，B 三点在一条直线上时，B 在 OA 的延长线上时，OB最大，ABC 边长最 大，则ABC的周长最大 【解答】解：（1）AOB= =120， 故答案是：120； （2）ABC是等边三角形， ABC的周长最大，则边长最大，则 OB最大，当 O，A，B三点在一条直线上时，B 在 OA 的延长线上，OB最大 BAO= BAC=30， 则 a=18030=150 故答案是：150 【点评】本题考查了三角形的旋转，正确理解ABC的周长最大的条件是关键 18如图，ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 DC 上一点，DAE=30 ， 过 D 作 DFAE 于 F 点，连接 OF则线段 OF 的长度为 【考点】四点共圆；勾股定理；正方形的性质 【分析】作 OGDF 于 G，连接 OG易证 A、O、F、D 四点共圆，从而有 OFG=DAO=45，则有 OG=FG设 GF=GO=x，则有 DG=1+x，OF= x然后先求出 OD，再在 RtOGD 中运用勾股定理求出 x，就可得到 OF 的长 【解答】解：作 OGDF 于 G，连接 OG，如图所示 四边形 ABCD 是正方形， DAC=45， AOD=90 DFAE，即 AFD=90， AOD=AFD A、 O、 F、D 四点共圆 OFG=DAO=45 OGDF，即OGF=90， FOG=45=OFG OG=FG AFD=90，DAE=30 ，AD=2，DF=1 设 GF=GO=x， 则有 DG=DF+FG=1+x，OF= = x 在 RtAOD 中，OD=ADsinDAO=2 = 在 RtOGD 中， OGD=90， OG2+DG2=OD2 x2+（1+x） 2=（ ） 2 解得：x 1= + ，x 2= （舍去） 所以 OF= x= 故答案为： 【点评】本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、勾 股定理、解一元二次方程、30角所对的直角边等于斜边的一半等知识，有一定的综合性， 通过证明 A、O、F、D 四点共圆得到 OFG=DAO=45是解决本题的关键 三、解答题：（本大题 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分）解答题时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线） ，请将解答过程书写在题中对应的 位置上. 19计算：（3 + ） 【考点】实数的运算 【分析】先化简二次根式，能合并的合并，再做除法 【解答】解：原式=（9 2 ） =8 =2 【点评】此题主要考查了实数的运算，其中主要是二次根式的运算，注意运算顺序 20解方程：x 2+2x7=0 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】计算题；配方法 【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边 就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解 【解答】解：x 2+2x7=0 x2+2x=7 x2+2x+1=7+1 （ x+1） 2=8 x= 1 x1= ，x 2= 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的 倍数 四、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）解答题时每小题必须给出必要 的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线） ，请将解答过程书写在题中对应 的位置上 21先化简，再求值：（ ） ，其中 x 满足分式方程 =0 【考点】分式的化简求值；解分式方程 【分析】首先化简所求的分式，把括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法，计算乘法 即可化简，然后解方程求得 x 的值，代入求解即可 【解答】解：原式= = = ， 解方程 =0，得：x=2， 经检验，x= 2 为原分式方程的根 原式 = =2 【点评】本题综合考查了分式的化简与方程解的定义解这类题的关键是利用分解因式的 方法化简分式，将已知量与未知量联系起来 22我市民营经济持续发展，2013 年城镇民营企业就业人数突破 20 万为了解城镇民营 企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工 2013 年月平均收入随机抽样调 查，将抽样的数据按“2000 元以内”、 “2000 元4000 元”、 “4000 元6000 元”和“6000 元以 上”分为四组，进行整理，分别用 A，B，C ，D 表示，得到下列两幅不完整的统计图 由图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的员工有 500 人，在扇形统计图中 x 的值为 14 ，表示“月平均收 入在 2000 元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是 21.6 ； （2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市 2013 年城镇民营企业 20 万员工中，每月的 收入在“2000 元4000 元” 的约多少人？ （3）统计局根据抽样数据计算得到，2013 年我市城镇民营企业员工月平均收入为 4872 元， 请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数 【分析】 （1）用 B 的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查的员工总人数，求出 B 所占的百分比得到 x 的值，再求出 A 所占的百分比，然后乘以 360计算即可得解； （2）求出 C 的人数，然后补全统计图即可，再用总人数乘以 B 所占的百分比计算即可得 解； （3）根据 500 名被调查者中有 330 人的月收入不超过 4000 元，月收入的平均数受高收入 者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响， 因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理 【解答】解：（1）本次抽样调查的员工人数是： =500（人） ， D 所占的百分比是： 100%=14%， 则在扇形统计图中 x 的值为 14； “月平均收入在 2000 元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是 360 =21.6； 故答案为：500，14，21.6； （2）C 的人数为：50020%=100（人） ， 补全统计图如图所示： 根据题意得： 20 万60%=12（万人） ， 答：每月的收入在“2000 元4000 元”的约有 12 万人； （3）用平均数反映月收入情况不合理由数据可以看出 500 名被调查者中有 330 人的月收 入不超过 4000 元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的 中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合 理 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计 图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 23某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）求销售单价 x（元）为多少时，该文具每天的销售利润 W（元）最大？ （2）经过试营销后，商场就按（1）中单价销售为了回馈广大顾客，同时提高该文具知 名度，商场营销部决定在 11 月 11 日（双十一）当天开展降价促销活动，若每件文具降价 m%，则可多售出 2m%件文具，结果当天销售额为 5250 元，求 m 的值 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）首先确定有关利润与售价 x 之间的二次函数，配方后即可确定最大利润； （2）首先确定原来的销售量，然后销售量单件利润=总利润列出方程求解即可 【解答】解：（1）销售量=25010（x25）=50010x， 总利润=（x 20） （50010x） =10x2+700x10000 =10（x 35） 2+2250 当 x=35 时，最大利润为 2250 元 （2）原来销售量 50010x=500350=150， 35（1m%）150（1+2m%）=5250 设 m%=a， （ 1a） （1+2a）=1 ， 解得：a=0 或 a= ， 要降价销售， a= ， m=50 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，二 次函数的性质的运用，解答时根据条件建立方程是解答本题的关键 24对 x，y 定义一种新运算 T，规定：T（x，y）= （其中 a、b 均为非零常数） ，这 里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= =b （1）已知 T（1，1）= 2，T（4，2）=1 求 a，b 的值； 若关于 m 的不等式组 恰好有 3 个整数解，求实数 p 的取值范围； （2）若 T（x，y）=T（y，x）对任意实数 x，y 都成立（这里 T（x，y）和 T（y，x）均 有意义） ，则 a，b 应满足怎样的关系式？ 【考点】分式的混合运算；解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解 【专题】新定义 【分析】 （1）已知两对值代入 T 中计算求出 a 与 b 的值； 根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有 3 个整数解，求出 p 的范围即可； （2）由 T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出 a 与 b 的关系式 【解答】解：（1）根据题意得：T（1，1）= =2，即 ab=2； T=（4，2）= =1，即 2a+b=5， 解得：a=1，b=3； 根据题意得： ， 由得： m ； 由得： m ， 不等式组的解集为 m ， 不等式组恰好有 3 个整数解，即 m=0，1，2， 2 3， 解得：2p ； （2）由 T（x，y）=T（y，x） ，得到 = ， 整理得：（x 2y2） （2b a）=0 ， T（ x，y）=T（y，x）对任意实数 x，y 都成立， 2ba=0，即 a=2b 【点评】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数 解，弄清题中的新定义是解本题的关键 五、解答题：（本大题 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）解答题时每小题必须给出必要 的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线） ，请将解答过程书写在题中对应 的位置上. 25等腰 RtABC 中， ACB=90，AC=BC，点 G 是 BC 上一点，CF AG 于 E，BCCF ，D 为 AB 中点，连接 DF （1）求证：AECCFB； （2）求证：EF= DF 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 （1）根据垂直的定义得到BCF=CAE=90ACE，根据全等三角形的判定即可 得到结论； （2）连接 CD，DE，根据等腰直角三角形的性质得到 CD=BD，CDB=90，根据余角的 性质得到FBD= DCE，由全等三角形的性质得到 AE=CF，CE=BF，推出BFD CDE， 由全等三角形的性质得到 DF=DE，FDB=EDC，证得DEF 是等腰直角三角形，即可得 到结论 【解答】证明：（1）CFAG ，BC CF， BCF=CAE=90ACE 在AECCFB， ， AECCFB； （2）连接 CD，DE， 等腰 RtABC 中，ACB=90，AC=BC ， CD=BD，CDB=90 ， CDB=CFB=90， FBD=DCE， AECCFB， AE=CF，CE=BF， 在BFD 与 CDE 中， ， BFDCDE， DF=DE，FDB=EDC， EDC+EDB+BDF+BDE=90， DEF 是等腰直角三角形， EF= DF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助 线构