2015年四川省成都市高考数学零诊试卷(文科)

第 1 页（共 20 页） 2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（文科） 一、选择题本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 （5 分） （2014 成都模拟）已知向量 =（5，3） ， =（ 6，4） ，则 + =（ ） A （1，1） B （ 1，1） C （1， 1） D （1，1） 2 （5 分） （2014 成都模拟）设全集 U=1，2，3，4 ，集合 S=l，3，T=4 ，则 （ US）T 等于（ ） A2 ，4 B4 C D1，3，4 3 （5 分） （2014 成都模拟）已知命题 p： xR，2 x=5，则p 为（ ） AxR，2 x=5 BxR ，2 x5 Cx 0R，2 =5 Dx 0R，2 5 4 （5 分） （2014 成都模拟）计算 21og63+log64 的结果是（ ） Alog 62 B2 Clog 63 D3 5 （5 分） （2015 青岛模拟）已知实数 x，y 满足 ，则 z=4x+y 的最大值为（ ） A10 B8 C2 D0 6 （5 分） （2014 成都模拟）关于空间两条不重合的直线 a、b 和平面 ，下列命题正确的 是（ ） A若 ab，b，则 a B若 a，b，则 ab C若 a，b，则 ab D若 a，b ，则 ab 7 （5 分） （2014 成都模拟）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为 可 A 肺颗粒物，般情况下 PM2.5 浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区 甲、乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数（单位：g/m 3）则下列说法正确的是 （ ） A这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等 B这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大 C这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等 D这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等 8 （5 分） （2014 成都模拟）已知函数 f（x）= sinx+cosx（0）的图象与直线 y=2 的两个相邻公共点之间的距离等于 ，则 f（x）的单调递减区间是（ ） 第 2 页（共 20 页） Ak+ ，k + ，kz Bk ，k+ ，kz C2k+ ，2k + ，k z D2k ，2k+ ，kz 9 （5 分） （2014 成都模拟）已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线与圆 （x3） 2+y2=9 相交于 A，B 两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（ ） A8 B C3 D 10 （5 分） （2014 成都模拟）已知定义在 R 上的函数 f （x）的周期为 4，且当 x（1， 3时，f （x）= ，则函数 g（x）=f（x）1og 6x 的零 点个数为（ ） A4 B5 C6 D7 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分答案填在答题卡上 11 （5 分） （2015 兰州一模）已知 （0， ） ，cos = ，则 sin（ ）= 12 （5 分） （2014 成都模拟）当 x1 时，函数 的最小值为 13 （5 分） （2014 成都模拟）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是 14 （5 分） （2014 成都模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是 15 （5 分） （2014 成都模拟）已知 y=ax （a 0 且 a1）是定义在 R 上的单调递减函数， 记 a 的所有可能取值构成集合 A；P（x，y）是椭圆 + =1 上一动点，点 P1（x 1，y 1） 第 3 页（共 20 页） 与点 P 关于直线 y=x+1 对称，记 的所有可能取值构成集合 B若随机地从集合 A，B 中分别抽出一个元素 1， 2，则 1 2 的概率是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤 16 （12 分） （2014 成都模拟）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=3，S 7=49，nN * （I）求数列a n的通项公式； （）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn 17 （12 分） （2014 成都模拟）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 向量 =（ab，c a） ， =（a+b ，c ）且 =0 （）求角 B 的大小； （）求函数 f（A）=sin （A+ ）的值域 18 （12 分） （2014 成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该 地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为 200 的样本统计数据如表： 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢电脑游戏 72 名 36 名 108 名 不喜欢电脑游戏 32 名 60 名 92 名 （I）已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为 作业不多的人有多少名？ 第 4 页（共 20 页） （）在 A，B，C，D，E，F 六名学生中，但有 A，B 两名学生认为作业多如果从速六名 学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率 19 （12 分） （2014 成都模拟）如图，已知 O 的直径 AB=3，点 C 为O 上异于 A，B 的 一点，VC 平面 ABC，且 VC=2，点 M 为线段 VB 的中点 （I）求证：BC 平面 VAC； （）若 AC=1，求二面角 MVAC 的余弦值 20 （13 分） （2014 成都模拟）已知椭圆 F： =1（ ab0）经过 D（2，0） ， E（1， ）两点 （I）求椭圆 F 的方程； （）若直线 l：y=kx+m 与 F 交于不同两点 A，B ，点 G 是线段 AB 中点，点 O 为坐标原 点，设射线 OG 交 F 于点 Q，且 =2 证明：4m 2=4k2+1； 求AOB 的面积 21 （14 分） （2014 成都模拟）巳知函数 f（x）= ax2bx1nx，其中 a，b R （）当 a=3，b= 1 时，求函数 f（x）的最小值； 第 5 页（共 20 页） （）若曲线 y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为 2x3ye=0（e=2.71828为自然对数 的底数） ，求 a，b 的值； （）当 a0，且 a 为常数时，若函数 h（x）=xf （x）+1nx 对任意的 x1x 24，总有 1 成立，试用 a 表示出 b 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 （5 分） （2014 成都模拟）已知向量 =（5，3） ， =（ 6，4） ，则 + =（ ） A （1，1） B （ 1，1） C （1， 1） D （1，1） 【分析】利用向量的坐标运算即可得出 【解答】解： =（5，3）+（6，4）=（1，1） 故选：D 2 （5 分） （2014 成都模拟）设全集 U=1，2，3，4 ，集合 S=l，3，T=4 ，则 （ US）T 等于（ ） A2 ，4 B4 C D1 ，3，4 【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解 【解答】解：全集 U=1，2，3，4，集合 S=l，3，T=4， （ US）T=2，44=2，4 故选：A 3 （5 分） （2014 成都模拟）已知命题 p： xR，2 x=5，则p 为（ ） AxR，2 x=5 BxR ，2 x5 Cx 0R，2 =5 Dx 0R，2 5 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论 【解答】解：命题是全称命题， 根据全称命题的否定是特称命题得：p 为 x0R，2 5， 故选：D 4 （5 分） （2014 成都模拟）计算 21og63+log64 的结果是（ ） Alog 62B2 Clog 63 D3 【分析】利用对数性质求解 【解答】解：21og 63+log64 =log69+log64 =log636=2 故选：B 第 7 页（共 20 页） 5 （5 分） （2015 青岛模拟）已知实数 x，y 满足 ，则 z=4x+y 的最大值为（ ） A10 B8 C2 D0 【分析】画出足约束条件 的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断， 即可求出 4x+y 的最大值 【解答】解：已知实数 x、y 满足 ， 在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形， 三个顶点分别是 A（0，0） ， B（0，2） ，C（2，0） ， 由图可知，当 x=2，y=0 时， 4x+y 的最大值是 8 故选：B 6 （5 分） （2014 成都模拟）关于空间两条不重合的直线 a、b 和平面 ，下列命题正确的 是（ ） A若 ab，b，则 a B若 a，b，则 ab C若 a，b，则 ab D若 a，b ，则 ab 【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判 定，不正确的只需取出反例即可 【解答】解：选项 A，根据线面平行的判定定理可知，缺一条件 a，故不正确 选项 B，若 a，b，a 与 b 有可能异面，故不正确 选项 C，若 a，b，a 与 b 有可能异面，相交，平行，故不正确 选项 D，若 a，b，则 ab，满足线面垂直的性质定理，故正确 故选 D 7 （5 分） （2014 成都模拟）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为 可 A 肺颗粒物，般情况下 PM2.5 浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区 第 8 页（共 20 页） 甲、乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数（单位：g/m 3）则下列说法正确的是 （ ） A这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等 B这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大 C这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等 D这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【分析】根据茎叶图中的数据分布，分别求出甲乙的极差，中位数，众数，平均数比较即 可 【解答】解：根据茎叶图中的数据可知， 这 l0 日内甲、极差为 55，中位数为 74，平均数为 73.4， 这 l0 日内乙、极差为 57，中位数为 68，众数为 68，平均数为 68.1， 通过以上的数据分析，可知 C 正确 故选；C 8 （5 分） （2014 成都模拟）已知函数 f（x）= sinx+cosx（0）的图象与直线 y=2 的两个相邻公共点之间的距离等于 ，则 f（x）的单调递减区间是（ ） Ak+ ，k + ，kz Bk ，k+ ，kz C2k+ ，2k + ，k z D2k ，2k+ ，kz 【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，根据题意求得周期，进而求得 ，函数的 解析式可得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间 【解答】解：f（x）=2（ sinx+ cosx）=2sin（ x+ ） ， 依题意知函数的周期为 T= =， =2， f（ x）=2sin （2x+ ） ， 由 2k+ 2x+ 2k+ ，得 k+ xk+ ，kZ， f（ x）的单调递减区间是k+ ，k+ （kZ） ， 故选 A 第 9 页（共 20 页） 9 （5 分） （2014 成都模拟）已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线与圆 （x3） 2+y2=9 相交于 A，B 两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（ ） A8 B C3 D 【分析】先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离 为 2 ，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得 a，b 的关系，即可求出双曲线的离心 率 【解答】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为 bxay=0， |AB|=2，圆的半径为 3 圆心到渐近线的距离为 2 ， 即 =2 ，解得 b= a c=3a， 双曲线的离心率为 e= =3 故选：C 10 （5 分） （2014 成都模拟）已知定义在 R 上的函数 f （x）的周期为 4，且当 x（1， 3时，f （x）= ，则函数 g（x）=f（x）1og 6x 的零 点个数为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】先根据函数的周期性画出函数 y=f（x）的图象，以及 y=log5x 的图象，结合图象 当 x6 时，y=log 6x1 此时与函数 y=f（x）无交点，即可判定函数函数 g（x）=f（x） 1og6x 的零点个数 【解答】解：根据周期性画出函数 y=f（x）的图象，y=log 6x 的图象 当 x=6 时 log66=1， 当 x 6 时 y=log5x 此时与函数 y=f（x）无交点， 结合图象可知有 5 个交点， 则函数 g（x）=f（x）log 6x 的零点个数为 5， 故选 B 第 10 页（共 20 页） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分答案填在答题卡上 11 （5 分） （2015 兰州一模）已知 （0， ） ，cos = ，则 sin（ ）= 【分析】利用诱导公式与同角三角函数间的关系即可求得答案 【解答】解：cos= ，（ 0， ） ， sin（）=sin = = 故答案为： 12 （5 分） （2014 成都模拟）当 x1 时，函数 的最小值为 3 【分析】变形利用基本不等式就看得出 【解答】解：x1， = =3，当且仅当 x=2 时取等 号 故答案为：3 13 （5 分） （2014 成都模拟）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是 28+12 第 11 页（共 20 页） 【分析】由三视图可知该几何体是一平放的直三棱柱，利用数据判断出底面为正三角形， 再利用表面积公式计算 【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱 底面三角形为等腰三角形，底边长为 2 ，腰长为 2；棱柱长为 6 S 底面 = =4 S 侧面 =cl=6（ 4+2 ）=24+12 所以表面积是 28+12 故答案为：28+12 14 （5 分） （2014 成都模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是 【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序的运行结果是什么 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； S=0，i=1，S=0+ = ； i4？，否，i=2，S= + = ； i4？，否，i=3，S= + = ； i4？，否，i=4，S= + = ； i4？，是，输出 S= 故答案为： 15 （5 分） （2014 成都模拟）已知 y=ax （a 0 且 a1）是定义在 R 上的单调递减函数， 记 a 的所有可能取值构成集合 A；P（x，y）是椭圆 + =1 上一动点，点 P1（x 1，y 1） 第 12 页（共 20 页） 与点 P 关于直线 y=x+1 对称，记 的所有可能取值构成集合 B若随机地从集合 A，B 中分别抽出一个元素 1， 2，则 1 2 的概率是 【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合 A，B，然后根据 几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解：y=a x （a0 且 a1）是定义在 R 上的单调递减函数， 0a1， A=a|0a1 P1（x 1，y 1）关于直线 y=x+1 的对称点为 P（y 11，x 1+1） ， P 是椭圆 + =l 上一动点， 4y114， 即1 1， 设 b= ，则 1b1， B=b|1b1 随机的从集合 A，B 中分别抽取一个元素 1， 2，则 1 2 等价为 ， 则对应的图象如图： 则 1 2 的概率是 ， 故答案为： 第 13 页（共 20 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤 16 （12 分） （2014 成都模拟）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=3，S 7=49，nN * （I）求数列a n的通项公式； （）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn 【分析】 （）根据等差数列，建立方程关系即可求数列a n的通项公式 （）求出数列b n的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论 【解答】解：（）设等差数列的公差是 d， a2=3， S7=49， ，解得 ， an=a1+（n1）d=1+2 （n 1） =2n1 （）b n= = =2n， 则数列b n为等比数列， 则数列b n的前 n 项和 Tn= 17 （12 分） （2014 成都模拟）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 向量 =（ab，c a） ， =（a+b ，c ）且 =0 （）求角 B 的大小； （）求函数 f（A）=sin （A+ ）的值域 【分析】 （）由两向量的坐标及两向量的数量积为 0，利用平面向量的数量积运算法则计 算得到关系式，由余弦定理表示出 cosB，将得出关系式代入求出 cosB 的值，即可确定出 角 B 的大小； （）由 B 的度数，利用内角和定理求出 A 的范围，进而确定出这个角的范围，利用正弦 函数的值域即可确定出 f（A）的值域 【解答】解：（） =（ab，ca ） ， =（a+b，c） ，且 =0， （ ab） （a+b）c（ac）=0 ，即 a2+c2=b2+ac， cosB= = ， 第 14 页（共 20 页） B（0，） ， B= ； （）由（）得：A= C（0， ） ， A+ （ ， ） ， sin（A+ ）（ ，1 ， 则 f（A）=sin（ A+ ）的值域为（ ，1 18 （12 分） （2014 成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该 地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为 200 的样本统计数据如表： 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢电脑游戏 72 名 36 名 108 名 不喜欢电脑游戏 32 名 60 名 92 名 （I）已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为 作业不多的人有多少名？ （）在 A，B，C，D，E，F 六名学生中，但有 A，B 两名学生认为作业多如果从速六名 学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率 【分析】 （I）根据样本数据统计表，可得 200 名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人 有 36 名，求出其占总人数的概率，再乘以高二学生的总数即可； （）求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数，和从这六名学生中随机抽取两名的 基本事件的个数，两者相除，即可求出至少有一名学生认为作业多的概率是多少 【解答】解：（）42500 答：欢电脑游戏并认为作业不多的人有 7650 名 （）从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是 至少有一名学生认为作业多的事件的个数是： 15 =156=9（个） 所有至少有一名学生认为作业多的概率是 答：至少有一名学生认为作业多的概率是 19 （12 分） （2014 成都模拟）如图，已知 O 的直径 AB=3，点 C 为O 上异于 A，B 的 一点，VC 平面 ABC，且 VC=2，点 M 为线段 VB 的中点 （I）求证：BC 平面 VAC； （）若 AC=1，求二面角 MVAC 的余弦值 第 15 页（共 20 页） 【分析】 （）由线面垂直得 VCBC，由直径性质得 ACBC，由此能证明 BC平面 VAC （）分别以 AC，BC，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 MVAC 的余弦值 【解答】 （）证明：VC 平面 ABC，BC平面 ABC， VCBC， 点 C 为O 上一点，且 AB 为直径， ACBC， 又 VC，AC平面 VAC，VC AC=C， BC平面 VAC （）解：由（）得 BCVC，VC AC，ACBC， 分别以 AC，BC，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A（1，0，0） ，V（0，0，2） ，B（0，2 ，0） ， =（1 ，0，2） ， ， 设平面 VAC 的法向量 = =（0，2 ，0） ， 设平面 VAM 的法向量 =（x，y，z ） ， 由 ，取 y= ，得 ， cos = = ， 二面角 MVAC 的余弦值为 第 16 页（共 20 页） 20 （13 分） （2014 成都模拟）已知椭圆 F： =1（ ab0）经过 D（2，0） ， E（1， ）两点 （I）求椭圆 F 的方程； （）若直线 l：y=kx+m 与 F 交于不同两点 A，B ，点 G 是线段 AB 中点，点 O 为坐标原 点，设射线 OG 交 F 于点 Q，且 =2 证明：4m 2=4k2+1； 求AOB 的面积 【分析】 （）由已知条件得 ，由此能示出椭圆方程 （）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消去 y，得（1+4k 2） x2+8kmx+4m24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证 明 4m2=1+4k2 由已知条件得 m0，|x 1x2|= = ，由此能 求出AOB 的面积 【解答】 （）解：椭圆 F： =1（ab0）经过 D（2，0） ，E（1， ）两点， ，解得 ， 椭圆方程为 （）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， 由 ，消去 y，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0， 第 17 页（共 20 页） ，即 ， （1） y1+y2=k（x 1+x2）+2m= +2m= ， 又由中点坐标公式，得 ， 将 Q（ ）代入椭圆方程，得 ， 化简，得 4m2=1+4k2， （2） 解：由（1） ， （2）得 m0， 且|x 1x2|= = ， （3） 在AOB 中， ， （4） 结合（2） 、 （3） 、 （4） ，得 SAOB= = ， AOB 的面积是 21 （14 分） （201