2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测 理科数学试题和答案

2015 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测 高三理科数学答案 一、选择题： 二、填 空题： 题号 11 12 13 14 15 答案 2 10 2e2 三、解答题： 16. (本小题满分 12 分) 在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，面积为 S，已知 223cossCAab （）求证： 成等差数列；abc、 、 （）若 求 .,43S， 命题意图：三角函数与解三角形，简单题 解：（）由正弦定理得： 223sincosincosinCAAB 即 2 分1cos13sini2CAB nscsii 即 4 分ii()n sn()B 即 i2siAC2acb 成等差数列。 6 分,abc （） 8 分13in4Sa 16ac 又 10 分2222cos(+)3Bca 由（）得： 12 分b84b 17. (本小题满分 12 分) 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取 60 人，从文科乙班抽取 50 人参加环保知识 测试。 （）根据题目条件完成下面 22 列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为环保知识成绩优秀与学 生的文理分类有关. 优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 乙班 30 总计 60 （）现已知 三人获得优秀的概率分别为 ，设随机变量 表示 三人中获得优秀的,ABC1,23X,ABC 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D A C B D A 人数，求 的分布列及期望 .X()EX 附: ， 22()(nadbcKnabcd 20)PKk0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 命题意图：22 列联表，概率，分布列及期望，中档题 解（）22 列联表如下 优秀 非优秀 总计 甲班 40 20 60 乙班 20 30 50 总计 60 50 110 由 算得， 22()(nadbcK ， 22104307.8635()3) 所以有 99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关5 分 （）设 成绩优秀分别记为事件 ，,ABC,MNR 则 5 分11()()23PMNPR 随机变量 的取值为 0，1，2，3 6 分X 所以 , (0)()9x 212141)339PNRMR5(2)( 8x 10 分13)238 所以随机变量 的分布列为：X 所以随机变量 的分布列为： X 0 1 2 3 P 29 49 518 118 E(X) =0 +1 +2 +3 = 12 分 29 49 518 118 76 18. (本小题满分 12 分) 如图，已知 , 分别是正方形 边 , 的中点， 与EFABCDEF 交于点 ， 都垂直于平面 ，且 ，ACOPN2PABNC 是 中点M （）求证：平面 平面 ；EF 第 18 题图 NM OP FEDCBA （）求二面角 的余弦值MEFN 命题意图：空间点、线、面的位置关系，中档题 解：法 1：（）连结 BD， PA平面 BCD， 平面 ABCD， P， 又 BAC， ， 平面 P， 又 ， 分别是 、 的中点， /EF， EF平面 P，又 平面 ， 平面 平面 NEF；5 分 （） 平面 ， OM平面 ， ， 在等腰三角形 中，点 为 的中点， NO， MO为所求二面角 的平面角， 设 AB=4，点 是 PA的中点， 2C， 所以在矩形 NC中，可求得 4， 6NO ， 29 分 在 中，由余弦定理可求得： 23cosMO ， 二面角 EFN的余弦值为 12 分 法 2：（）同法 1；5 分 （）设 AB=4,建立如图所示的直角坐标系，则 (0,4)P，(4,0)C ， (,2)， (,40)，M(0 ，0，2) ， (,2)N (4,)PC ， ， 则 ,EN，设平面 NEF的法向量为 (,)mxyz ， 则 0mF ，即 20yzx，令 1， 则 1y， z，即 (1,) ， 同理可求平面 MEF 一个法向量 ,3n，9 分 3cos,1mn， 二面角 的余弦值为 12 分MEFN3- 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 的前 n项和 ，且 na (1)2nnaS1 z yx NM O P FEDCBA （）求数列 的通项公式；na （）令 ，是否存在 ，使得 、 、 成等比数列lnbk(2,)Nkb12k 若存在，求出所有符合条件的 值；若不存在，请说明理由 命题意图：数列综合应用，中档题 （）解法 1：当 2n时， 112nnnaaS ， 1 分 即 na 3 分 所以数列 n 是首项为 1a 的常数列 4 分 所以 1na ，即 n *N 所以数列 的通项公式为 na * 6 分 解法 2：当 n时， 112nnnaS ， 1 分 即 1n a2 3 分13212 1321nnann 4 分 因为 1a，符合 n的表达式 5 分 所以数列 的通项公式为 na *N 6 分 （）假设存在 k，使得 kb、 1、 2k成等比数列，(2,) 则 2kb17 分 因为 lna，2n 所以 10 分 222+2l(k)ln(k)=l(k)kb . 11 分 21ln()k 这与 矛盾21kkb 故不存在 ，使得 成等比数列12 分(,)N+12kkb、 、 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 的左、右顶点分别为 , ，右焦点为 ，点 是椭圆 上异于 ， 21(3xyaAB(,0)FcPCA 的动点，过点 作椭圆 的切线 ，直线 与直线 的交点为 ，且当 时， .BBClPlD|2Bc|=|FD （）求椭圆 的方程； （）当点 运动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并证明你的结论PBD 命题意图：圆锥曲线与圆综合应用 难题 解：（）依题可知 、 ，1 分(,0)Aa,2c 由 ，得， ，2 分|AFD8c 化简得 ，由 得 4 分2ac22324 故所求椭圆 的方程是 .5 分C14xy （）由（）知 , ,0AB 在点 处的切线方程为 . 以 D为直径的圆与直线 PF相B2 切 证明如下：由题意可知直线 P的斜率存在，设直线 A的方程为 (2)ykx0. 则点 D坐标为 (, )k， 中点 E的坐标为 (2, )k 6 分 由 2143 yx 得 设点 P的坐标为 0(,)y，则 201634kx 8 分 所以 2068kx ， 2() 因为点 F坐标为 (1, )， （1）当 2时，点 P的坐标为 (1, )，直线 的方程 为 ，PF1x 点 D的坐标为 (, ). 此时以 B为直径的圆 22()xy与直线 相切 9 分 （2）当 12k时，直线 F的斜率 0241PFkkx. 所以直线 P的方程为 24()y,即 11 分0yk 故点 E到直线 的距离 22214| 1| |4()()kd k 综上得，当点 运动时，以 BD为直径的圆与直线 PF相切13 分P 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 ，其中 为常数lnafxx OF E P D BA y x （）若 的图像在 处的切线经过点（3,4） ，求 的值；()fx1xa （）若 ，求证： ；0a2()0af （）当函数 存在三个不同的零点时，求 的取值范围()fx 命题意图：函数与导数综合应用 难题 解：（） 2 分21()()fxax(12fa 4 分4(1)23f又 （） ，令 ，则 233lnlnln2aaaf32()lnxlng 7 分 242(1)()xxgx 时， 单调递减，0,1） ()0,()g 故 时， ，(,x） 12ln0x 当 时， 9 分01a()0af （） 221()xafx 0()0,()aff当 时 ， 在 （ ， ） 上 ， 递 增 ， 至多只有一个零点，不合题意；10 分()fx 10()0,()2afxf当 时 ， 在 （ ， ） 上 ， 递 减 ， 至多只有一个零点，不合题意；11 分()fx 10()0,2afx当 时 ， 令 得 22