2016届师大附中第六次月考理科数学试卷

云南师范大学附属中学 2016 届高三适应性月考（六） 理科数学试卷 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）lg(2)Axyx124xBAB A B2x C D2x 2.若复数 是纯虚数，则复数 在复平面内对应的点在（ ）()1aiRai A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.设椭圆 的离心率 ，右焦点 ，方程 的 2(0)xyab12e(,0)Fc20axbc 两个根分别为 ， ，则点 在（ ）1212,x A圆 上 B圆 内2xy2y C圆 外 D以上三种情况都有可能 5.观察下列各式： ， ， ， ，则 的53126527812583906252015 末四位数字为（ ） A3125 B5625 C0625 D8125 6.执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 ， 分别为 1848，936，则输出的 等于（ mnm ） A168 B72 C36 D24 7.某几何体的三视图如图 2 所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D123223 8.在如图 3 所标的矩形 中， ， ， 为线段 上的点，则AB1AEBC 的最小值为（ ）ED A2 B C D41547 9.在直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，若顶点 在双曲线xOyAB(6,0)(,)CB 的左支上，则 ( ) 215xysinACB A B C D65435 10.棱长为 2 的正方体 的所有顶点均在球 的球面上， ， ， 分别1OEFG 为 ， ， 的中点，则平面 截球 所得圆的半径为（ ）D1AEFG A B C D2532633 11.已知函数 ，若关于 的方程 恰好有 3 个不相等的实()xfe()Rx()10fm 数根，则实数 的取值范围为（ ）m A B C D2(1,)e2(0,)e1(,)e2(,1)e 12.已知函数 ， ， ，则 的最小值等于（ ）()lnfxab()fab 2a A B C D25233 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.关于 的一元二次方程 ，若 是从区间 任取的一个数， 是从区x20bxaa0,3b 间 任取的一个数，则上述方程有实根的概率为_.0,2 14. 的展开式按 升幂排列，若前三项的系数成等差数列，则 _.(1)nx n 15. 是数列 的前 项和，且 ， ，则 _.nSna1a12na10S 16.若 是定义在 上的函数，对任意的实数 都有： 和()fxRx(6)(2)4ffx ，且 ，则 _.42()f(03)f 三、解答题 （共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 在 中，解 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且ABCCabc(32)cos()3cosba ()求解 的值； ()若角 ， 边上的中线 ，求 的面积.6B7AMABC 18.（本小题满分 12 分） 如图 4，在三棱柱 中，已知 侧面 ， ， ，1ABCAB1CB12C .13BC ()求证： 平面 ；1 ()当二面角 为 时，求三棱柱AB3 的体积.1BC 19. （本小题满分 12 分） 某校准备从报名的 7 位教师（其中男教师 4 人，女教师 3 人）中选 3 人去边区支教. ()设所选 3 人中女教师的人数为 ，求 的分布列及数学期望；X ()若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教 师的概率. 20. （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，点 为动点， ， 分别为椭圆 ：xOy(,)0Pab1F2G 的左、右焦点， 为椭圆 的左顶点，已知 为等腰三角形. 21xabAG12P ()求椭圆 的离心率；G ()过 的直线 ： 与椭圆 交于点 ( 点在第一象限 )，平行于 的直线 与2Fm1xMAMl 椭圆 交于 ， 两点，判断直线 ， 是否关于直线 对称，并说明理由.BCBCm 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2()ln(0,1)xfaa （）当 时，求证：函数 在 上单调递减；01fx(, （）若函数 有三个零点，求 的值；()yfxtt （）对于任意 ， ，都有 ，试求 的取值范围.12,12()1fxfea 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 请写清题号。 23.（本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标与参数方程】 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 与曲线 ：xOyl 123xtylC 交于 ， 两点.2()1yAB （）求 的长； （）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点 的极坐标为Ox P ，求点 到线段 中点 的距离.32,4PABM 24.（本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 设函数 ()21fxx （）解不等式 ；3f （）存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.0xR20()4fxm 云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷（六） 理科数学参考答案 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D D D B A B A A 【解析】 1 ， ， ，故选 C|2Ax |2x |2Ax 2 ，由题意得 ，所以 ，在复平i(i)1(1)iaa1a2iia 面内对应的点是 ，在第二象限，故选 B(2)， 4由题意 ， ， ， ，故选 C 9316ad3126a10a 12S 5由题意 ，52 ， ， ， ， ， 得6178158390593510976514825 规律，故选 D 6由程序框图知这是用辗转相除法求两个数的最大公约数，1848 与 936 的 最大公约数是 24，故选 D 7由题意知该几何体为如图 1 放置的正四面体，其棱长为 ，故其表面积为2 ，故选 D12sin423AA 8以 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 ， ， ，(02)A， (1)D， (0)Ex， 可得 ，因为 E 为线段 BC 上的点， 2215(2)(1)44AEDxxA， ， 所以 ，则当 时， 取得最小值 ，故选 B01x， ED 9由条件可知 ，且 ，又在 中有|10BCA|12CAC （ R 为 ABC 外接圆的半径） ，从而|2sinisinA ，故选 A|56BA 10如图 2，正方体 的外接球球心 O 为对角线 的中点，球半径 ，1CDB1AC3R 球心 O 到平面 的距离为 ，所以小圆半径 ，故选 BEFG23 2235rR 11当 时， 为减函数， ；当 时， ，0x ()exfmin()(0)fxf0x()exf ，则 时， ， 时， ，即 在 上递12()xf 112()f 102， 增，在 上递减， 其大致图象如图 3 所示，若关于 x， e()fxf极 大 值 的方程 恰好()10fxm 有 3 个不相等的实数根，则 ，即 ，故选 A2e01m2e1m 12因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以()|ln()fxfab， |ln|ablnlab0a ，所以 ，当且仅当ll1ab， 22()2() 且 时取等号，所以 的最小值是 ，故选 Aaab 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 238 1991 2013 13在直角坐标平面中，设区域 ，则 区 域 A 表 示 的 矩 形 面 积(,)|03,2Aabb =6方程有实根， ，得 设区域 ，0 (,)|03,2,0Baba 区域 B 表示的直角梯形面积=4，方程有实根的概率为 46P 14前三项的系数为 1， ， ，由它们成等差数列得 ，整理得2n(1)8(1)28n ，解得 （舍去） ，或 ，即 2980n8n 15由 得 ，所以数列 是以 2 为首项，公比为 21na12()naana 的等比数列， 0102()109S 16 ，又 ，(6)(4)()4fxffx (6)(2)4fxf ， ，2 (2013)(503)(12013fff 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 解：（）由 ，(32)cos()3cosbAaC 得 （3 分）2sincoininBACB 又 ，所以 i0s2 又 ，所以 （6 分）()， 6 （）由 ， ，知 BAab 在 中，由余弦定理得 ，CM 2714cos3 求得 ， （10 分）2b 所以 的面积 （12 分）AB 12ABCS 18 （本小题满分 12 分） （）证明： ， ， ，1 13 则 ， 2211CB1BC 侧面 ， A A ， 平面 （6 分）1BC （）解：方法一： 如图 4，作 ，垂足为 E，连接 AE， 1E1AC 侧面 ， AB 1C ， ， 1E 即 为二面角 的平面角， AB3AEB 由 ， ， 得 ，1BC213BC2E tan3AEA 由（）知 平面 ABC， 即为三棱柱 的高，11 1ABC 所以三棱柱 的体积 （12 分）1BC 33224V 方法二： 如图 5，建立空间直角坐标系 ，Bxyz 则 ， ， ， ，(0)Am， ， (10)C， ， 1(30)， ， m 即 ， ， ， A， ， 设平面 的法向量为 ，11()uxyz， ， 得 03xmzy， ， 则平面 的一个法向量为 ，1AC131um ， ， 平面 的一个法向量为 ，1B2(0)， ， 所以由 得 ，解得 ，即 12cos3|u A2123m3232AB 由（）知 平面 ABC， 即为三棱柱 的高，1BC1BC 1ABC 所以三棱柱 的体积 （12 分）1A 33224V 19 （本小题满分 12 分） 解：（） X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 且 ， ， 347C(0)5PX12347C8()5PX ， ， 21347() 37() 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 43583513515 故 （6 分）418219()0357EX （）设事件 A 为“甲地是男教师” ，事件 B 为“乙地是女教师” ， 则 ， ， 124637C()P14357C2()APB 所以 （12 分）(|)(2BA 20 （本小题满分 12 分） 解：（）设 ，由题意得：12(0)()0Fcc， ， ， ，即 ，2|Pab 所以 （舍）或 ，10cca， 12ca 所以椭圆 G 的离心率 （4 分）2e （）过椭圆 G 右焦点 的直线 m： 与椭圆 G 交于点 M，F1x ，1c 由（）知 ，2a ， ， 3bc 椭圆 G 的方程为 ， （6 分） 214xy ， ，(2,0)A ,M 1k 设直线 l： ，点 ， ，1,2yxn1(,)Bxy2(,)Cxy 由 得 ， 2,431xyn2230 ，22() 且 ， ， ，n 12xn213x123MBCykx1221nn12122()xx ，()0n 直线 MB， MC 关于直线 m 对称 （12 分） 21 （本小题满分 12 分） （）证明： ，()ln2l(1)lnx xfaaaA 由于 ，故当 时，01a,0) ， ，所以 ，lnx(fx 故函数 在 上单调递减 （4 分）()f,0) （）解：当 ， 时，a1 因为 ，且 在 R 上单调递增，故 有唯一的解 ，(0)f()fx ()0fx0x 所以 x， ， 的变化情况如下表所示ff x (,0)0 (0,)()f 0 + 单调递减 极小值 单调递增 又函数 有三个零点，|()|1yfxt 所以方程 有三个根，()1fxt 而 ，所以 ，解得 （8 分）1tmin()(0)1tfxf2t （）解：因为对于任意 ， ，都有 ，12,12|()|e1fxf 所以当 时， ，1,xmaxinmaxin|()()|ffff 由（）知， 在 上递减，在 上递增，()f,00,1 所以当 时， ， ，1,xmin()()fxfmax()(1),fff 而 ，11()ll2lnfaa 记 ，1()2ln(0)gttt且 因为 ， 22()1ttt 所以 在 上单调递增，而 ，1()lngtt(0,)(1)0g 所以当 时， ；t()t 当 时， 01t0gt 也就是当 时， ；当 时， a(1)f01a()1f 当 时，由 ；10elneef a 当 时，由 0a11(1)lffa 综上所述，所求 a 的取值范围为 （12 分）,(,e 22 （本小题满分 10 分） 【选修 41：几何证明选讲】 证明：（）如图 6，过 C 作 ，FAB CF 与 AE 的延长线交于 F， FBA 为 的角平分线，E C ， ， FAE CF ，AB ， （5 分）CFE B （）由割