2017届西城区高三数学(文)一模试题及答案

2017 届西城区高三数学（文）一模试卷 2017.4 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1 已知全集 ，集合 ， ，那么1,2345,6U1,3A1,4BUAB （A） （B） （C ） （D）,261,2356 2 在复平面内，复数 的对应点位于 i （A）第一象限 （B ）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3双曲线 的焦点坐标是 213xy （A） ， （B） ， (0,)(,)(2,0)(,) （C ） ， （D） ，,2, , 4函数 的零点个数为21()logxf （A）0 （B）1 （C ）2 （D）3 5函数 定义在 上则“曲线 过原点 ”是“ 为奇函数”()f(,)()yfx()fx 的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而充分不条件 （C ）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 6在 中，点 满足 ，则B 3C （A） （B） 123DA 123ABC （C ） （D） 7在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果 小正方形网格的边长为 1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B）436 （C） （D）225 8函数 的图象上任意一点 的坐标满足条件 ，称函数 具有()fx(,)Axy|xy ()fx 性质 下列函数中，具有性质 的是PP （A） （B） （C） （D）2()fx21()fx()sinfx ()ln1)fx 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9函数 的定义域为 _()xf 10执行如图所示的程序框图. 当输入 时，输出的 值为_ 1ln2xy 11 圆 的圆心坐标是_；2:10Cxy 直线 与圆 相交于 两点，则 _0lC,AB| 12 函数 的最小正周期是_ sin4()1coxf 13实数 满足,xy ,20,xy 则 的最大值是 _；最小值是_2 14 如图，正方体 的棱长为 2，点 在正方形 的边界及其内部1ABCDPABCD 运动平面区域 由所有满足 的点 组成，则 的面积是_ W5P W 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 15（13 分）已知 是等比数列， ， 数列 满足 ， ，na13a42nb148b 且 是等差数列b （）求数列 和 的通项公式； （）求数列 的前 项和na nb 16 （ 13 分）在 中，角 的对边分别为 ，且 ABC, ,abctan2siCcA （）求角 的大小； （）求 的最大值CsinAB 17 （ 13 分）在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其 中 为 第 题 的 难 度 ， 为 答iiRPNiiiR 对 该 题 的 人 数 ， 为 参 加 测 试 的 总 人 数 N 现 对 某 校 高 三 年 级 120 名 学 生 进 行 一 次 测 试 ， 共 5 道 客 观 题 测 试 前 根 据 对 学 生 的 了 解 ， 预 估 了 每 道 题 的 难 度 ， 如 下 表 所 示 ： 题号 1 2 3 4 5 考 前 预 估 难 度 iP0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测 试 后 ， 从 中 随 机 抽 取 了 10 名 学 生 ， 将 他 们 编 号 后 统 计 各 题 的 作 答 情 况 ， 如 下 表 所 示 （ “”表示答对， “”表示答错） ： 学生编号 题号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （）根 据 题 中 数 据 ， 将 抽 样 的 10 名 学 生 每 道 题 实 测 的 答 对 人 数 及 相 应 的 实 测 难 度 填 入 下 表 ， 并 估 计 这 120 名 学 生 中 第 5 题 的 实 测 答 对 人 数 ； 题号 1 2 3 4 5 实 测 答 对 人 数 实 测 难 度 （）从 编 号 为 1 到 5 的 5 人 中 随 机 抽 取 2 人 ， 求 恰 好 有 1 人 答 对 第 5 题 的 概 率 ； （）定义统计量 ，其中 为 第 题 的 实 测21()()()nSPPPn i 难 度 ， 为 第 题 的 预 估 难 度 规定：若 ， 则 称 该 次 测 试 的 难 度 预 估 合 理 ，iP,i 0.S 否 则 为 不 合 理 判断本次测试的难度预估是否合理. 18 （ 14 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，PABCDABPABCD 过点 的平面与 棱 分 别 交 于 点 （ 三 点 均 不 在 棱 的PAC, ,EFG, 端 点 处 ） （）求证：平面 平面 ；PAB （）若 平面 ，求 的值；EFGC （）直线 是否可能与平面 平行？证明你的结论D 19 （ 14 分）如图，已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 的右焦 2:1(0)xyCab12FC 点 ， (,0)Aa|3F （）求椭圆 的方程； （）设 为原点， 为椭圆上一点， 的中点为 直线 与直线 交于OPAPMO4x 点 ，过 作 ，交直线 于点 求证：DEF4xE /AP 20 （ 13 分）已知函数 设 为曲线 在点 处的切线，其21()exfl()yfx0(,)Pfx 中 01,x （）求直线 的方程（用 表示） ；l0x （）求直线 在 轴上的截距的取值范围；y （）设直线 分别与曲线 和射线 交于 两点，a()yfx1(0,)yx,MN 求 的最小值及此时 的值|MN 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2017.4 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1-4 ADCB 5-8 BCBC 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ，且 10 11 ； 12 |0x 1x 12(1,)22 13 ； 14 注：第 11，13 题第一空 2 分，第二空 3 分.5 44 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （ 13 分） 解：（）设等比数列 的公比为 ，由题意得naq ， 解得 2 分3418q 所以 4 分1132(,)nnnaq 设等差数列 的公差为 ，由题意得nbd 6 分41()()643ad 所以 8 分1()(nbnd 从而 9 分42,) （）由（）知 13(,nnb 数列 的前 项和为 ；数列 的前 项和为 12 分42)132n 3(21)n 所以，数列 的前 项和为 13 分nbn 16 （ 13 分） 解：（） 由 ，得 1 分tan2siCcAsin2icoaCA 由正弦定理得 3 分iio 所以 4 分1cos2 因为 ， 5 分(0,)C 所以 6 分3 （） 7 分sinAB2sin()3A 9 分cos 11 分sin()6 因为 ，所以 ， 12 分3C203A 所以 当 时， 取得最大值 13 分AsinB3 17 （ 13 分） 解：（）每 道 题 实 测 的 答 对 人 数 及 相 应 的 实 测 难 度 如 下 表 ： 题号 1 2 3 4 5 实 测 答 对 人 数 8 8 7 7 2 实 测 难 度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 4 分 所 以 ， 估 计 120 人 中 有 人 答 对 第 5 题 5 分0.2 （）记 编 号 为 的 学 生 为 ，i(,3)iA 从这 5 人 中 随 机 抽 取 2 人 ， 不同的抽取方法有 10 种 其 中 恰 好 有 1 人 答 对 第 5 题 的 抽取方法为 ， ， ， ，12(,)A13(,)14(,)A25(,) ， ， 共 6 种 9 分35(,)A4(,) 所 以 ， 从 抽 样 的 10 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 名 答 对 至 少 4 道 题 的 学 生 ， 恰 好 有 1 人 答 对 第 5 题 的 概 率 为 10 分6P （） 为 抽 样 的 10 名 学 生 中 第 题 的 实 测 难 度 ， 用 作 为 这 120 名 学 生 第 题 的 实 测 难 度 i iiP i222 2(.89)(.80)(.70)(.76)(.4)5S 12 分0.12 因 为 ， 所以，该次测试的难度预估是合理的 13 分.05S 18 （ 14 分） 解：（）因为 平面 ，所以 1 分PABCDPABC 因为 为正方形，所以 ， 2 分 所以 平面 3 分B 所以平面 平面 4 分PABC （）连接 5 分F 因为 平面 ，所以 7 分CEGPAF 又因为 ，所以 是 的中点 8 分 所以 9 分12P （） 与平面 不可能平行 10 分AECD 证明如下： 假设 平面 ，/P 因为 ， 平面 所以 平面 12 分ABC/ABPCD 而 平面 ，E， 所以 平面 平面 ，这显然矛盾！ 13 分/PD 所以假设不成立，即 与平面 不可能平行 14 分AEP 19 （ 14 分） 解：（）设椭圆 的半焦距为 依题意，得Cc ， 2 分12ca3 解得 ， 所以 ，c223bac 所以椭圆 的方程是 5 分C14xy （）解法一：由（）得 设 的中点(2,0)AP ， 0(,)Mxy1(,)Pxy 设直线 的方程为： ，将其代入椭圆方程，整理得A()ykx ， 7 分222(43)610kx 所以 8 分 216243kx 所以 ， ，028026()43kyx 即 9 分6(,)43kM 所以直线 的斜率是 ， 10 分O 2348k 所以直线 的方程是 令 ，得 11 分4yxk43(,)Dk 由 ，得直线 的斜率是 ， 12 分(1,0)FDF31 因为 ，所以直线 的斜率为 ， 13 分OEOEk 所以直线 14 分/AP 解法二：由（）得 设 ，其(2,0)A11(,)2)Pxy 中 21340xy 因为 的中点为 ， 所 以 6 分APM1(,)2xy 所以直线 的斜率是 ， 7 分O1Okx 所以直线 的方程是 令 ，得 812y41(,)2yDx 分 由 ，得直线 的斜率是 9 分(1,0)FDF143(2)DFykx 因为直线 的斜率是 ， 10 分AP12APy 所以 ， 12 分 2143()DFAPkx 所以 13 分 因为 ，所以 14 分OE/EAP 20 （ 13 分） 解：（） 对 求导数，得 ， 1 分()fx()exf 所以切线 的斜率为 ， 2 分l0x 由此得切线 的方程为： ， 00 02(1(e)e(xxy 即 . 3 分 0 0(e)(1)xxy （） 由（）得，直线 在 轴上的截距为 4 分ly02(1)ex 设 ， 2()1exg, 所以 ，令 ，得 ()()0gx ， 的变化情况如下表：()x1(,)(0,1)()g x2e 2 所以函数 在 上单调递减， 6 分()g1, 所以 ， ，max2emin1