2017年上海杨浦区高考数学二模试卷--评分标准版--2017.04.25

- 1 - 杨浦区 2016 学年度第二学期高三年级质量调研 数学学科试卷 2017.4 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上 2本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟一填空题（本大题满分 54 分）本大 题共有 12 题，1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空 格填对得 4 分，否则一律得零分 123 1. 行列 式 456 中, 元素 5 的代数余子式的值为_. 789 2. 设实数 0, 若函数 f x( ) = cos( x) sin( x)+的最小正周期为 , 则 =_. 3. 已知圆锥的底面半径和高均为 1, 则该圆锥的侧面积为_. 4. 设向量 a= (2,3) , 向量 b= (6,t) . 若 a与 b的夹角为钝角, 则实数 t 的取值范围 为 _. 5. 集合 A =1,3,a2, 集合 B = + +a 1,a 2. 若 B =A A, 则实数 a=_. 6. 设 z z 1, 2 是方程 z2 + + =2z 3 0 的两根, 则| z1 z2 |= _. 7. 设 f x( ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x 0 时, f x ( ) = 2x 3. 则不等式 f x( ) 0)上的动点, 点 F 的坐标为( 2 ,0) , 若满足| AF |=10 的点 A 有 且仅有两个, 则实数 a 的取值范围为_. 11. 已知 a 0, b 0, 当(a + 4 )b 2 + 1 取到最小值时 , b =_. ab 12. 设函数 f a( )x =| x | +| x a |. 当 a 在实数范围内变化时 , 在圆盘 x 2 + y2 1 内, 且不在任一 f a( )x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_. 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应 编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 13. 设 zC 且 z0. “z 是纯虚数”是“ z 2 R”的 ( ) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 14设等差数列a n的公差为 d , d 0. 若a n的前 10 项之和大于其 前 21 项之和, 则 ( ) (A) d0 (C) a16 0 15如图, N 、S 是球 O 直径的两个端点. 圆 C1 是经过 N 和 S 点的大圆, 圆 C2 和圆 C3 分别是所在平 面与 NS 垂直的大圆和小圆. 圆 C1 和 C2 交于点 A、B, 圆 C1 和 C3 交于点 C 、D.设 a、b 、c 分别表 示圆 C1 上劣弧 CND 的弧长、圆 C2 上半圆弧 AB 的弧长、圆 C3 上半圆弧 CD 的弧长. 则 a b c, , 的大 小关系 为 ( ) (A) b a c = N - 3 - (B) b c a= (C) b a c (D) b c a 16对于定义在 R 上的函数 f x ( ) , 若存在正常数 a b, , 使得 f x( +a) f x( ) +b 对一切 xR 均成立, 则称 f x( ) 是“控制增长函数 ”。在以下四个函数中： f x( ) = x2 +x +1 f x ( ) = | x | f x( ) = sin(x2) f x( ) = x sin x 是“控制增长函数”的有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 . 17 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分. 如图, 正方体 ABCD ABC D1 1 1 1 中, AB = 4 . P、Q 分别是棱 BC 与 BC1 1 的中点. (1) 求异面直线 D P1 和 AQ 1 所成的角的大小; (2) 求以 A D P Q 1, 1, 四点为四个顶点的四面体的体积. D1 C1 A1 C A B C3 C2 C1 O S D C B A B1 Q P D - 4 - 18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. f x( ) = 2x2+1x +12 . 已 知函数 (1) 判断函数 f x ( ) 的奇偶性, 并证明; (2) 若不等式 f x ( ) log9 (2c1)有解，求 c 的取值范围. - 5 - 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图所示: 扇形 ABC 是一块半径为 2 千米, 圆心角为 60 的风景区, P 点在弧 BC 上, 现欲在风景区中规 划三条商业街道. 要求街道 PQ 与 AB 垂直, 街道 PR 与 AC 垂直,线段 RQ 表示第三条街道. (1) 如果 P 位于弧 BC 的中点,求三条街道的总长度; (2) 由于环境的原因, 三条街道 PQ , PR , QR 每年能产生的经济效益分别为每千米 300 万元, 200 万元 及 400 万元,问 :这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到 1 万元). C R Q P BA - 6 - 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 设数列 an满足 an = A4n +B n , 其中 A B, 是两个确定的实数 , B 0. (1) 若 A B= 1=, 求a n的前 n 项之和; (2) 证明: an不是等比数列 ; (3) 若 a1 = a2, 数列 an中除去开始的两项之外 , 是否还有相等的两项? 并证明你的结论. 21、 （本题满 分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 设双曲线 的方程为 x 2 y32 =1.过其右焦点 F 且斜率不为零的直线 l1 与双曲线交于 A B, 两点, 直线 l2 的方程为 x = t , A B, 在直线 l2 上的射影分别为 C D, (1) 当 l1 垂直于 x 轴, t = 2 时, 求四边形 ABDC 的面积 ; (2) 当 t =0, l1 的斜率为正实数, A 在第一象限, B 在第四象限时, 试比较 | BDAC | | | FBFA| 和 1 的大小, 并说明理由; (3) 是否存在实数 t ( 1,1) , 使得对满足题意的任意直线 l1, 直线 AD 和直线 BC 的交点总在 x 轴上, 若存在, 求出所有的 t 的值和此时直线 AD 与 BC 交点的位置 ; 若不存在, 说明理由. - 7 - 数学评分参考 一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分。考生应在答题纸相 应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1. 12 2. 2 3. 2 4. (,4) 5. 2 6. 2 2 7. (,3) 8. 4 9. 10. (8,12) 11. 12. 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应 编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 13、 (A) 14、(C) 15、(D) 16、(C) 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 . 17、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分. (1) 以 D 为原点, DA 方向为 x 轴正方向, DC 方向为 y 轴正方向, DD 1 方向为 z 轴正方 向建立空间直角坐标系. （2 分）得 D1(0,0,4), P(2,4,0) , A1(4,0,4), Q(2,4,4). D P1 = (2,4, 4) , AQ1 = ( 2,4,0) . （4 分）故设 D P1 与 AQ 1 所成的角的大小为 . 则 | DP AQ 1 1 | | =. （6 分） cos= DP AQ1 | | 1 | 故 D P1 与 AQ1 所成的 角的大小为 arccos 5 . （8 分） 16 4 5 536 20 5 - 8 - (2) 该四面体是以A ADQ1 1 为底面, P 为顶点的三棱锥. （10 分） P 到平面 AQD 11 的距离 h = PQ 4 . AADQ1 1 的面积 S S. （12 分） 因此四面体 AD PQ 1 1 的体积 V Sh. （14 分） 18、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. (1) 奇函数 （2 分） 证明：定义 域 x R （ 4 分） f x f x( )（6 分） 所以 f x( ) 为奇函数 (2) 令：2 x =t 则 t 0 原函数为 y t （8 分） 值域为 y 12 2,1 （10 分） 因为不等式 f x( ) log9 (2c1)有解 所以 有解 （12 分） 即：0 2 1 30. 将 l1 的方程与双 曲线方程联立, 得到 3(my + 2)2 y2 3 = 0, 即(3m 2 1)y2 +12my +9 = 0. （6 分）由 y y1 2 0, 故 y A yB 0 , 即| y A | | yB | 0, 故 1 1 . 2 2 2 2 1 11 | | 3| | | | | | | 3 11|1 | 33 A B A A B B B A y y yx yAC FB AC BF y y y + = + （ 8 分） - 12 - 因此| AC | | FB | 1. （10 分） | BD | | FA| 2 (3) 设直线 AB x := my 2 , 与 x 2 y =1 联立得 3 (3m2 1)y2 +12my +9 = 0. (有两交点表示 m 3 ) 3 设 A x( A, yA), B x( B, yB), 则 C t y( , A), D t y( , B). xA,xB 的绝对值不小于 1, 故 xA t, 且 xB t. 又因直线斜率不为零, 故 yA yB . 直线 AD 的方程为 y yB = xt . yA yB xA t 直线 BC 的方程为 y yA = xt . （12 分） yB yA xB t 若这两条直线相交在 x 轴上 , 则当 y = 0 时, 两方程的 x 应相 同, 即 x+= t =yB A(x t) t yA B(x t) . yA yB yB yA 故 yA(myB + 2t)+ yB(myA + 2t) = 0, 即 2my yA B +(2t) (yA + yB) = 0. （14 分）现 y yA B = , yA +