2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 U=1， 2， 3， 4，集合 A=x N|5x+4 0，则 于（ ） A 1， 2 B 1， 4 C 2， 4 D 1， 3， 4 2设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 3设命题 p： （ 0， + ）， 3；命题 q： x （ 2， + ）， 2x，则下列命题为真的是（ ） A p （ q） B（ p） q C p q D（ p） q 4等比数列 ， 3，且 5 12 2等差中项，则 公比等于（ ） A 3 B 2 或 3 C 2 D 6 5如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 （ ） A 9 B 18 C 36 D 144 6已知 双曲线的焦点，过 直于实轴的直线交双曲线于 A、 B 两点， y 轴于点 C，若 双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 2 7执行如图所示的程序框图，若输入 x=20，则输出的 y 的值为（ ） A 2 B 1 C D 8若实数 x、 y 满足 |x| y 1，则 x2+x 的最小值为（ ） A B C D 1 9已知函数 f（ x） =x+） +B（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，将函数 f（ x）的图象向左平移 m（ m 0）个单位后，得到的图象关于点（ ， 1）对称，则 m 的最小值是（ ） A B C D 10定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足： f（ x+1） =f（ x 1），且当 1 x 0 时，f（ x） =2x 1，则 f（ 于（ ） A B C D 11已知单位圆有一条长为 的弦 点 P 在圆内，则使得 2 的概率为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） = ，若存在 x = = ，则 x1+ +值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若二项式（ x ） 6 的展开式中常数项为 20，则 a= 14正四面体 ， E、 F 分别为边 中点，则异面直线 15已知椭圆 + =1（ a b 0）短轴的端点 P（ 0， b）、 Q（ 0， b），长轴的一个端点为 M， 经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 斜率之积等于 ，则 P 到直线 距离为 16在 ，三内角 A、 B、 C 对应的边分别为 a、 b、 c，且 c=1， h 是边 的高，则 h 的最大值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 ， ， ，设 数列 前 n 项和，对于任意的 n 1， n N*， +1=2（ ） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求 前 n 项和 18在如图所示的五面体中，面 直角梯形， ，平面平面 ， 边长为 2 的正三角形 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 A F 的余弦值 19据某市地产数据研究院的数据显示， 2016 年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月份采取宏观调控措施， 10 月份开始房价得到很好的抑制 （ ）地产数据研究院研究发现， 3 月至 7 月的各月均价 y（万元 /平方米）与月份 x 之间具有较强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程（政府若不调控，依次相关关系预测第 12 月份该市新建住宅销售均价； （ ）地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望 参考数据： =25， = =归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = 20已知抛物线 p 0）， F 为其焦点，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、 点 B 作 x 轴的垂线，交直线 点 C，如图所示 （ ）求点 C 的轨迹 M 的方程； （ ）直线 m 是抛物线的不与 x 轴重合的切线，切点为 P， M 与直线 m 交于点Q，求证：以线段 直径的圆过点 F 21已知函数 f（ x） = ， a R （ 1）若 a 0，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若 a=0， x 2，证明： 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答【选修 4标系与参数方程】 22在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线 l 的极坐标方程是 + ） =2 ，且点 ： （ 为参数）上的一个动点 （ ）将直线 l 的方程化为直角坐标方程； （ ）求点 P 到直线 l 的距离的最大值与最小值 【选修 4等式选讲】 23已知 f（ x） =|x 1|+|x+2| （ 1）若不等式 f（ x） 任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值的集合 T； （ ） 设 m、 n T，证明： |m+n| | 2017 年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 U=1， 2， 3， 4，集合 A=x N|5x+4 0，则 于（ ） A 1， 2 B 1， 4 C 2， 4 D 1， 3， 4 【考点】 补集及其运算 【分析】 化简集合 A，求出 【解答】 解：集合 U=1， 2， 3， 4， 集合 A=x N|5x+4 0=x N|1 x 4=2， 3， 所以 1， 4 故选： B 2设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数代数形式的乘除运算化简 ，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出 a 的值 【解答】 解：由题意得， = = = ， 因为复数 为纯虚数，所以 ， 解得 a= 1， 故选 A 3设命题 p： （ 0， + ）， 3；命题 q： x （ 2， + ）， 2x，则下列命题为真的是（ ） A p （ q） B（ p） q C p q D（ p） q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 先判断命题 p、 q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出 【解答】 解：命题 p： （ 0， + ）， 3，是真命题，例如取 ； 命题 q： x （ 2， + ）， 2x，是假命题，取 x=4 时， x 则下列命题为真的是 p （ q） 故选： A 4等比数列 ， 3，且 5 12 2等差中项，则 公比等于（ ） A 3 B 2 或 3 C 2 D 6 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的通项公式和等差中项，列出方程组，由此能求出 公比 【解答】 解： 等比数列 ， 3，且 5 12 2等差中项， ， 解得 1， q=2 公比等于 2 故选： C 5如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 （ ） A 9 B 18 C 36 D 144 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为一个 横放的直三棱柱，高为 4，底面是一个直角边长分别为 2， 4 的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为 4 的正方形，对角线相交于点 球心 O 满足 侧面 x，则=（ 2 x） 2+ ，解得 x可得该多面体外接球的半径 r 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为 4，底面是一个直角边长分别为 2， 4 的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为 4 的正方形，对角线相交于点 则球心 O 满足 侧面 设 x，则 =（ 2 x） 2+ ，解得 x=1 该多面体外接球的半径 r= =3 表面积为 4 32=36 故选： C 6已知 双曲线的焦点，过 直于实轴的直线交双曲线于 A、 B 两点， y 轴于点 C，若 双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据中位线定理，求得 C 点坐标，由 =0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率 【解答】 解：由题意可知：设椭圆的方程为： ，（ a 0， b 0）， 由 双曲线的通径，则 A（ c， ）， B（ c， ）， c， 0）， 由 位线， 则丨 = ，则 C（ 0， ）， 则 =（ c， ）， =（ 2c， ）， 由 =0， 则 2=0 整理得： 3 由 b2=310， 椭圆的离心率 e= ，则 310=0，解得： 或 ， 由 e 1，则 e= ， 故选 B 7执行如图所示的程序框图，若输入 x=20，则输出的 y 的值为（ ）A 2 B 1 C D 【 考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： x y|y x|是否小于或等于 2 是否继续循环 循环前 20/ 第一圈 20 8|8 20|=12 2 是 第二圈 8 2|2 8|=6 2 是 第三圈 2 1| 1 2|=3 2 是 第四圈 1 | （ 1） |= 2 否 故输出 y 的值为 故选： D 8若实数 x、 y 满足 |x| y 1，则 x2+x 的最小值为（ ） A B C D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值 【解答】 解： x， y 满足 |x| y 1，表示的可行域如图： x2+x=（ x+1） 2+1 它的几何意义是可行域内的点到（ 1， 0）的距离的平方减去 1 显然 D（ 1， 0）到直线 x+y=0 的距离最小， 最小值为： = ， 所 求表达式的最小值为： ， 故选： D 9已知函数 f（ x） =x+） +B（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，将函数 f（ x）的图象向左平移 m（ m 0）个单位后，得到的图象关于点（ ， 1）对称，则 m 的最小值是（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由周期求出 ，由最值以及特殊点求 A、 B，由五点法作图求出 的值，可得 f（ x）的解析式；利用函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 m 的 最小值 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+） +B（ A 0， 0， | ）的部分图象， 可得 y 轴右侧第一条对称轴为 x= = ，故 = ， =2 x= 时函数取得最小值，故有 2 += ， = 再根据 B A= 3，且 2 + ） +B= +B=0， A=2， B= 1，即 f（ x）=22x+ ） 1 将函数 f（ x）的图象向左平移 m（ m 0）个单位后，得到 y=g（ x） =22x+2m+ ） 1 的图象， 根据得到的函数 g（ x）图象关于点（ ， 1）对称，可 得 2 +2m+ =k Z， m= ，则 m 的最小值是 ， 故选： A 10定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足： f（ x+1） =f（ x 1），且当 1 x 0 时，f（ x） =2x 1，则 f（ 于（ ） A B C D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据对数函数的单调性，我们易判断出 （ 4， 5），结合已知中f（ x+1） =f（ x 1）且 x （ 1， 0）时， f（ x） =2x 1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到 f（ 值 【解答】 解： f（ x+1） =f（ x 1） 函数 f（ x）为周期为 2 的周期函数 又 4 5 f（ =f（ 4） =f（ = f（ 又 x （ 1， 0）时， f（ x） =2x 1 f（ = ， 故 f（ = 故选： D 11已知单位圆有一条长为 的弦 点 P 在圆内，则使得 2 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 求出使得 2 的区域的面积 ，以面积为测度，即可求出概率 【解答】 解：由题意，取 A（ 1， 0）， B（ 0， 1），设 P（ x， y），则（ x 1， y） （ 1， 1） 2， x y+1 0，相应的面积为 = ， 所求概率为 ， 故选 A 12已知函数 f（ x） = ，若存在 x = = ，则 x1+ +值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 函数的值 【分析】 由题意函数 f（ x）的图象关于点（ 2， 0）对称，函数 f（ x）与 y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（ 2， 0）对称，由此能求出 x1+ +值 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， 函数 f（ x）的图象关于点（ 2， 0）对称， 结合图象知： x n 满足 = = = ， 函数 f（ x）与 y= 的图象恰有个交点，且这个交点关于（ 2， 0）对称， 除去点（ 2， 0）， 故有 x1+ +xn=x1+x2+x3+ 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若二项式（ x ） 6 的展开式中常数项为 20，则 a= 1 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答 】 解：通项公式 = =（ a） r 2r，令 6 2r=0，解得r=3 （ a） 3 =20，解得 a= 1 故答案为： 1 14正四面体 ， E、 F 分别为边 中点，则异面直线 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算 【解答】 解：如图，连接 中点 M，连接 则 为所求的异面直线角 设这个正四面体的棱长为 2， 在 ， =F， ， = 故答案为 15已知椭圆 + =1（ a b 0）短轴的端点 P（ 0， b）、 Q（ 0， b），长轴的一个端点为 M， 经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 斜率之积等于 ，则 P 到直线 距离为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用直线的斜率公式，求得 = ，由 A 在椭圆上，则= ，即可求得 = ，求得 a=2b，利用三角形的面积相等，即 丨 丨 = 丨 d， 即可求得 d 的值 【解答】 解：根据题意可得 P（ 0， b）、 Q（ 0， b），设 A（ x， y）， B（ x， y）， 由直线 斜率之积为 ， 则 = = ， 由 A 在椭圆上可得 + =1，则 = = ，即 a=2b， 面积 S= 丨 丨 = 2b a=2 设 P 到直线 距离 d， 则 S= 丨 d= d= d=2 解得： d= ， P 到直线 距离 ， 故答案为： 16在 ，三内角 A、 B、 C 对应的边分别为 a、 b、 c，且 c=1， h 是边 的高，则 h 的最大值为 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得 而求得 C根据余弦定理求得 a 和 b 的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用 a 和 b 的不等式关系求得三角形面积的最大值，进而得解 【解答】 解： c=1， 由题意及正弦定理可得： 0， ， 可解得： ， 可得： = ， ab=a2+1 21，即 1，等号当 a=b 时成立， 可得： S 又 h 是边 的高， S h 解得： h ，则 h 的最大值为 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 ， ， ，设 数列 前 n 项和，对于任意的 n 1， n N*， +1=2（ ） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出 （ 2）利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）对于任意的 n 1， n N*， +1=2（ ）， +（ +1）， 相减可得： +（ *） 又 n=2 时， 1=2（ ），即 2a1+a2+（ a1+）， ， ，解得 n=1 时（ *）也满足 数列 等差数列，公差为 2， +2（ n 1） =2n （ 2） = = ， 前 n 项和 + + ， = + + + + ， 可得： = + + = ， 18在如图所示的五面体中，面 直角梯形， ，平面平面 ， 边长为 2 的正三角形 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 A F 的余弦值 【考点】 二面角的平面角 及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 点 O，以 O 为原点， x 轴，过 O 作 平行线为 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角A F 的余弦值 【解答】 证明：（ ）取 点 O，以 O 为原点， x 轴， 过 O 作 平行线为 y 轴， z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 B（ 1， 1， 0）， E（ 0， 0， ）， A（ 1， 0， 0）， C（ 1， 2， 0）， F（ 0， 4， ）， =（ 1， 1， ）， =（ 1， 4， ）， =（ 2， 2， 0）， =1 4+3=0， =2 2=0， 又 ， 平面 解：（ ） =（ 2， 1， 0）， =（ 1， 3， ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 2， ）， 平面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 设二面角 A F 的平面角为 ， 则 = = 二面角 A F 的余弦值为 19据某市地产数据研究院的数据显示， 2016 年该市新建住宅销 售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月份采取宏观调控措施， 10 月份开始房价得到很好的抑制 （ ）地产数据研究院研究发现， 3 月至 7 月的各月均价 y（万元 /平方米）与月份 x 之间具有较强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程（政府若不调控，依次相关关系预测第 12 月份该市新建住宅销售均价； （ ）地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望 参考数据： =25， = =归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = 【考点】 线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线 【分析】 （ ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第 12 月份该市新建住宅销售均价； （ ） X 的取值为 1， 2， 3，求出相应的概率，即可求 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）由题意 月份 x 3 4 5 6 7 均价 y =5， = =10， = = = = 从 3 月到 6 月， y 关于 x 的回归方程为 y= x=12 时， y=可预测第 12 月份该市新建住宅销售均价为 元 /平方米； （ ） X 的取值为 1， 2， 3， P（ X=1） = = ， P（ X=3） = = ， P（ X=2） =1 P（ X=1） P（ X=3）= ， X 的分布列为 X 1 2 3 P E（ X） =1 +2 +3 = 20已知抛物线 p 0）， F 为其焦点，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、 ，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 点 C，如图所示 （ ）求点 C 的轨迹 M 的方程； （ ）直线 m 是抛物线的不与 x 轴重合的切线，切点为 P， M 与直线 m 交于点Q，求证：以线段 直径的圆过点 F 【考点】 直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质 【分析】 （ ）判断直线 l 的斜率存在，设方程为： y=，设 A（ B（ 动点 C（ x， y）联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得 出 程；然后求解轨迹方程 （ ）设直线 m 的方程为： y=kx+m，由 ，得 =4用直线m 与抛物线相切，得 P（ m），求出 Q（ ），通过 =0，说明以线段 直径的圆过点 F 【解答】 解：（ ）由题意可得：直线 l 的斜率存在，设方程为： y=， 设 A（ B（ 动点 C（ x， y）， 由 ，可得 2可得 y= = ； x= 由 可得 y= ， 即点 C 的轨迹方程为 y= （ ）证明：设直线 m 的方程为： y=kx+m， 由 可得 22 可得 =4为 直线 m 与抛物线相切， =0，可得 m=0，可得 P（ m）， 又由 ，可得 Q（ ）， =（ m ）（ ） = （ p+2m） +=0，可得 以线段 直径的圆过点 F 21已知函数 f（ x） = ， a R （ 1）若 a 0，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若 a=0， x 2，证明： 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）若 a 0，求导数，分类讨论，即可求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2） a=0， f（ x） = ， x 2，证明： ，只要证明 g（ x） = 在（ 2）上单调递减 【解答】 （ 1）解： f（ x） = ， f（ x） = ， x （ ， 1）时， f（ x） 0，故函数的单调增区间为（ ，1）； a 0， 1， x （ ， 1） （ ， + ）时， f（ x） 0，故函数的单调增区间为 （ ， 1）和（ ， + ）； （