2017年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知 m， n R，集合 A=2， B=m， 2n，若 A B=1，则 m+n=（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 2命题 “ x 0， x 1”的否定是（ ） A 0， 1 B 0， 1 C 0， 1 D 0， 1 3设复数 复平面内的对应点关于虚轴对称，若 2i，其中 i 是虚数单位，则 的虚部为（ ） A B C i D i 4已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），且函数 f（ x） =x +1 不存在零点的概率为 随机变量 P（ 0 2） =（ ） A 如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（ ） A B C 2 D 6莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的 题：把100 个面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为（ ） A B C D 7已知定义在 R 上的函数 f（ x） =2|x|，记 a=f（ b=f（ c=f（ 0），则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B c a b C a c b D c b a 8抛物线 p 0）的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A， B 两点，若 |8，则抛物线的方程为（ ） A x B x C x D x 9如图所示的程序框图描述的为辗转相除法，若输入 m=5280， n=1595，则输出的 m=（ ） A 2 B 55 C 110 D 495 10已知 x， y 满足 ，且 z=2x y 的最大值是最小值的 2 倍，则 a=（ ） A B C D 11过双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于点 B，若 =2 ，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 12 若 实 数 a 满足 x+ ，实数 b 满足 x+10x=2 ， 函 数 f （ x ）= ，则关于 x 的方程 f（ x） =x 解的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知 a= 二项式（ 1 ） 5 的展开式中 x 3 的系数为 14若数列 足：只要 ap=p， q N*），必有 =，那么就称数列 有相纸 P，已知数列 有性质 P，且 ， ， ， ， a6+a7+1，则 15已知 矩形 A 周长为 18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 16在 B= ， ，点 D 在边 ， C， E 为垂足，则角 A= 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17已知函数 ， x R，将函数 f（ x）向左平移 个单位后得函数 g（ x），设 个角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、c （ ）若 ， f（ C） =0， a、 b 的值； （ ）若 g（ B） =0 且 ， ，求 的取值范围 18某超市从 2017 年 1 月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100 个，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （ ）写出频率分布直方图（甲）中的 a 值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 比较 大小（只需写出结论）； （ ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率； （ ）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望 19如图（ 1），在等腰梯形 ， 梯形的高， F=2， ，现将梯形沿 起，使 一简单组合体 2）示，已知 M， N 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若直线 平面 成角的正切值为 ，则求平面 平面成的锐二面角大小 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0），其短轴为 2，离心率为 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设椭圆 E 的右焦点为 F，过点 G（ 2， 0）作斜率不为 0 的直线交椭圆 E 于M， N 两点，设直线 斜率为 判断 k1+否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 21已知函数 f（ x） = a+1） x a 0） （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）若 f（ x） x2+ax+b 恒成立，求实数 最大值 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程 为 （ 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （ ）写出曲线 C 的极坐标方程； （ ）设点 M 的极坐标为（ ， ），过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 A， |选修 4等式选讲 23设 f（ x） =|x 1|+|x+1|，（ x R） （ ）解不等式 f（ x） 4； （ ）若存在非零实数 b 使不等式 f（ x） 成立，求负数 x 的最大值 2017 年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知 m， n R，集合 A=2， B=m， 2n，若 A B=1，则 m+n=（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据元素和集合的关系可知 1 A 且 1 B，即可求出 m， n 的值，问题得以解决 【解答】 解： A=2， B=m， 2n， A B=1， 1 A 且 1 B， ， 2n=1 m=7， n=0， m+n=7 故选： C 2命题 “ x 0， x 1”的否定是（ ） A 0， 1 B 0， 1 C 0， 1 D 0， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 “ x 0， x 1”的否定是 0， 1， 故选： B 3设复数 复平面内的对应点关于虚轴对称，若 2i，其中 i 是虚数单位，则 的虚部为（ ） A B C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分 析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出 【解答】 解：复数 复平面内的对应点关于虚轴对称， 2i， 1 2i 则 = = = = i 其虚部为 故选： A 4已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），且函数 f（ x） =x +1 不存在零点的概率为 随机变量 P（ 0 2） =（ ） A 考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 函数 f（ x） =x +1 不存在零点的概率为 得 P（ 0） =据随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），可得曲线关于直线 x=2 对称，从而可得结论 【解答】 解： f（ x） =x +1 不存在零点， =4 4（ +1） 0， 0， f（ x） =x +1 不存在零点的概率为 P（ 0） = 随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2）， 曲线关于直线 x=2 对称 P（ 0 2） =选： B 5如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是 腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（ ） A B C 2 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可 【解答】 解：由三视图可知几何体为四棱锥 P 中底面 正方形， 平面 且 B=1， 几何体的最长棱为 = 故选： D 6莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把100 个面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列 ，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为（ ） A B C D 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 易得中间的那份为 20 个面包，设最小的一份为 差为 d，由题意可得 d 的方程，解方程可得 【解答】 解：由题意可得中间的那份为 20 个面包， 设最小的一份为 差为 d， 由题意可得 20+（ d） +（ d） = a1+d）， 解得 ， 故选： C 7已知定义在 R 上的函数 f（ x） =2|x|，记 a=f（ b=f（ c=f（ 0），则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B c a b C a c b D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数、指数函数的性质、运算法则求解 【解答】 解： 定义在 R 上的函数 f（ x） =2|x|， a=f（ = =3， b=f（ = =5， c=f（ 0） =20=1， a， b， c 的大小关系为 c a b 故选： B 8抛物线 p 0）的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A， B 两点，若 |8，则抛物线的方程为（ ） A x B x C x D x 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去 y，进而根据韦达定理表示出 x1+ 而利用配方法求得 |利用弦长公式表示出段 长求得 p，即可得出结论 【解答】 解：由题意可知过焦点的直线方程为 y= ， 联立抛物线方程整理可得 35， x1+p， ， | = p， 又 | =8 求得 p=3， 抛物线的方程为 x 故选 D 9如图所示的程序框图描述的为辗转相除法，若输入 m=5280， n=1595，则输出的 m=（ ） A 2 B 55 C 110 D 495 【考点】 程序框图 【分析】 程序的运行功能是求 m=5280， n=1595 的最大公约数，根据辗转相除法可得 m 的值 【解答】 解：由程序框图知：程序的运行功能是求 m=5280， n=1595 的最大公约数， 5280=3 1595+495； 1595=3 495+110； 495=4 110+55； 110=2 55+0； 此时 m=55； 输出 m 的值为 55 故选： B 10已知 x， y 满足 ，且 z=2x y 的最大值是最小值的 2 倍，则 a=（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到 z 的最值，再由z=2x+y 的最大值是最小值的 2 倍列式求得 a 值 【解答】 解：由约束条件 ，作出可行域如图， 联立 ，得 B（ a， 2 a）， 联立 ，得 A（ 1， 1）， 化目标函数 z=2x y 为 y=2x z， 由图可知 1 1=1， a 2+a=3a 2， 由 = 2，解得： a= 故选： A 11过双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于点 B，若 =2 ，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先由 ，得出 A 为线段 中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到 a， b 之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率 【解答】 解：如图因为 ，所以 A 为线段 中点， 2= 4，又 1= 3， 2+ 3=90，所以 1= 2+ 4=2 2= 3 故 2+ 3=90=3 2 2=30 1=60 =4e=2 故选： C 12 若 实 数 a 满足 x+ ，实数 b 满足 x+10x=2 ， 函 数 f （ x ）= ，则关于 x 的方程 f（ x） =x 解的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据 y= y=10x 的对称关系得 a+b=2，做出 y=f（ x）和 y=x 的函数图象，根据图象判断方程解的个数 【解答】 解：由题意可得： 2 a=2 b=10b， 做出 y=y=2 x， y=10x 的函数图象如图所示： y= y=10x 互为反函数， y= y=10x 的函数图象关于直线 y=x 对称， 又直线 y=2 x 与直线 y=x 垂直，交点坐标为（ 1， 1）， a+b=2， f（ x） = ， 做出 y=f（ x）与 y=x 的函数图象如图所示： 由图象可知 f（ x）的图象与直线 y=x 有两个交点， f（ x） =x 有两个解 故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知 a= 二项式（ 1 ） 5 的展开式中 x 3 的系数为 80 【考点】 二项式定理；定积分 【分析】 利用积分求出 a 的值，然后求解二项展开式所求项的系数 【解答】 解： a= （ =2 二项式（ 1 ） 5 的展开式中 x 3 的系数为： ， 故答案为： 80 14若数列 足：只要 ap=p， q N*），必有 =，那么就称数列 有相纸 P，已知数列 有性质 P，且 ， ， ， ， a6+a7+1，则 15 【考点】 数列递推式 【分析】 根据题意，由于数列 有性质 P 以及 a2=，分析可得 a3=，a4=a5=，结合题意可以将 a6+a7+1 变形为 a3+a4+1，计算可得 而分析可得 a3=a6=a 3n=3， a4=a7=a 3n+1=15， a5=a 3n+2=3，（ n 1）；分析可得 值 【解答】 解：根据题意，数列 有性质 P，且 a2=， 则有 a3=， a4=a5=， 若 a6+a7+1，可得 a3+a4+1，则 1 3 3=15， 进而分析可得： a3=a6=a 3n=3， a4=a7=a 3n+1=15， a5=a 3n+2=3，（ n 1） 则 672+1=15， 故答案为： 15 15已知矩形 A 周长为 18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 13 【考点】 棱柱、棱锥、棱台 的侧面积和表面积 【分析】 正六棱柱的底面边长为 x，高为 y，则 6x+y=9， 0 x 示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积 【解答】 解：设正六棱柱的底面边长为 x，高为 y，则 6x+y=9， 0 x 正 六 棱 柱 的 体 积 V= = = ， 当且仅当 x=1 时，等号成立，此时 y=3， 可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为= ， 外接球的表面积为 =13 故答案为： 13 16在 B= ， ，点 D 在边 ， C， E 为垂足，则角 A= 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 先求 ，由正弦定理可得： ，结合 A，即可得结论 【解答】 解： ， C= 在 ，由正弦定理可得： A， ， ， A= 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17已知函数 ， x R，将函数 f（ x）向左平移 个单位后得函数 g（ x），设 个角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、c （ ）若 ， f（ C） =0， a、 b 的值； （ ）若 g（ B） =0 且 ， ，求 的取值范围 【考点】 解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）利用三角恒等变换化简 f（ x）为 ，由 f（ C） =0 求得 ， ，由余弦定理知： ，因 得 b=3a，由此求得 a、 b 的值 （ ）由题意可得 ，由 g（ B） =0 求得 ，故，化简 等于 ），根据 的范围求得 的取值范围 【 解 答 】 解 ： （ ） = ，所以 因为 ， 所以 所以 由余弦定理知： ，因 所以由正弦定理知： b=3a 解得： a=1， b=3 （ ）由题意可得 ，所以 ，所以 因为 ，所以 ，即 又 ， ， 于是 ，得 ，即 18某超市从 2017 年 1 月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100 个，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （ ）写出频率分布直方图（甲）中 的 a 值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 比较 大小（只需写出结论）； （ ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率； （ ）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）利用频率分布直方图的性质即可得出 （ ）设事件 A：在未来的某一天里，甲种 酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱求出 P（ A）， P（ B）， P（ C） （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，利用二项分布列的性质求出概率，得到分布列，然后求解期望 【解答】 解：（ ）由各小矩形面积和为 1， 得（ a+ 10=1， 解得 a= 由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20 30 箱， 故 （ 事件 A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 20 箱； 事件 B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱； 事件 C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱 则 P（ A） =P（ B） = P（ C） =P（ ） P（ B） +P（ A） P（ ） = （ 题意可知 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， X B（ 3， P（ X=k）= ， P（ X=0） =P（ X=1） =P（ X=2） =P（ X=3） = X 的分布列为： X 0 1 2 3 P （ X） =3 19如图（ 1），在等腰梯形 ， 梯形的高， F=2， ，现将梯形沿 起，使 一简单组合体 2）示，已知 M， N 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若直线 平面 成角的 正切值为 ，则求平面 平面成的锐二面角大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）连结 过证明 用直线与平面平行的判定定理证明 平面 （ 由线面垂直的判定定理可证得 平面 知 是 成的角，解 得 长，分别以 D 所在的直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 平面 入向量夹角公式，可得答案 【解答】 证明：（ ）连 四边形 矩形， N 为 点， N 为 点 在 ， M 为 点， 故 平面 面 平面 （ ）依题意知 平面 面 的射影是 是 平面 成的角 故在 ： 设 P 别以 在的直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 则 设 分别是平面 平面 法向 量 令 ， 即 取 则 平面 平面 成锐二面角的大小为 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0），其短轴为 2，离心率为 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设椭圆 E 的右焦点为 F，过点 G（ 2， 0）作斜率不为 0 的直线交椭圆 E 于M， N 两点，设直线 斜率为 判断 k1+否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由椭圆的性质 2b=2，离心率 e= = = ，求得 a，求得椭圆方程； （ ）设直线方程 ，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1+值 【解答】 解：（ ）由题意可知： 2b=2， b=1， 椭圆的离心率 e= = = ， 则 a= ， 椭圆的标准方程： ； （ ）设直线 方程为 y=k（ x 2）（ k 0） ，消去 y 整理得：（ 1+282=0设 M（ N（ x2， 则 x1+， ， k1+ = + =k2 =k2 =0 k1+ 为定值 21已知函数 f（ x） = a+1） x a 0） （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）若 f（ x） x2+ax+b 恒成立，求实数 最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，通过 a=1， 0 a 1， a 1 的讨论，从而求出函数的单调区间； （ 2）由题意可得 x+b 0 恒成立，令 g（ x） =x+b，求出导数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论 【解答】 解：（ 1） f（ x） = +a+1 x= ，（ a 0， x 0）， a=1 时， f（ x） = 0， f（ x）在（ 0， + ）递减； 0 a 1 时，由 f（ x） 0，解得： a x 1， f（ x）在（ a， 1）递增，在（ 0， a），（ 1， + ）递减； a 1 时，同理 f（ x）在（ 1， a）递增，在（ 0， 1），（ a， + ）递减； （ 2） f（ x） x2+ax+b 恒成立， x+b 0 恒成立， 令 g（ x） =x+b，则 g（ x） = ， g（ x）在（ 0， a）上单调递增，在（ a， + ）上单调递减 g（ x） g（ a） =a+b 0， b a 令 h（ x