4.4.3一次函数图像的应用(2)(枣庄四中 孙开峰)

图 x/kg0 8 105 15 20 y/cm A 第四章 一次函数 第四节 一次函数的应用 第三课时 课 题：第四章 第四节 一次函数图像的应用（第三课时） 课 型：新授课 授课人: 枣庄第四中学 孙开峰 授课时间：2013 年 11 月 6 日 星期三 第一节课 教学目标： 1.进一步训练学生的识图能力. 2.能利用函数图象解决简单的实际问题. 3.通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识. 4.通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力. 5.解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识,培 养学生学习数学的兴趣. 教学重点 一次函数图象的应用,培养学生的数形结合意识. 教学难点 从函数图象中正确读取信息. 教法与学法指导： 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征， 并且了解到一次函数的应用十分广泛在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一 次函数图象的应用本节课为第 2 课时，采用“自主探究，合作训练”的教学模式，解决 生活中涉及两个一次函数之间关系的有关问题，关注问题之间的递进与联系.教学中应注意 体会和前一课时一样，注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思 想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打 下基础老师应多要求学生从图中“读”出结果，因此不应要求学生的结果与参考答案完 全一致. 课前准备：制作课件，学生准备铅笔，直尺 教学过程： 一、 知识回顾 师：在前面我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统 学习一次函数的有关概念及函数图象的应用，且用函数观点使我们解决实际相关问题时更 方便了 下面我们将通过一个题目对所学有关知识作一回顾 请你看旧知重现（多媒体展示课件）： 1弹簧的长度 y (cm)与所挂物体的质量 x (kg)的关系是 一次函数,图象如图所示,观察图象回答： 弹簧不挂物体时的长度是多少？从图中还可知道什么？ y 与 x 之间的函数关系式为？ 2 图 2 由表达式你能求出重物每千克拉长多少厘米? 弹簧的长度是 24cm 时，所挂物体的质量是多少？ 师：(1)弹簧不挂物体时长度是多少?从图中还可 知道什么信息？ 生：8还知道当重物重 16时弹簧长度为 20 师：(2)试求 y 与 x 之间的函数关系式 生：解：设 y=kx+b，根据题意，得 8=b 20=16k+b 带入 ，得 k=0.75 所以在弹性限度内 y=0.75x+8 师：(3)由表达式你能求出重物每千克拉长多少厘米? 生：每千克拉长 0.75 师：(4)弹簧的长度是 24cm 时，所挂物体的质量是多少？ 生：当 y=24 时， 24=0.75x+8 解得 x= 643 当物体质量是 时,弹簧的长度是 24cm. 师：很好，同学们做的很快也很正确，而且很规范这是上一节课的内容，这是解决一些 生活中涉及一个一次函数关系的有关问题,这个变化过程中只有两个变量 ,一个是自变量,还 有一个因变量而一些生活中涉及两个一次函数之间关系的有关问题，如何解决呢?它 又有几个变量呢?这就是本节课要学习的内容.(师写出课题) 【设计意图】：1.通过回顾旧知，导入新知学习,并点明本节学习内容要点 2.复习巩固一次函数的解题方法和解题步骤，复习巩固上节内容，并且为本节内容打上基 础 3强调解题步骤，避免学生解题的随意性 2、创境导入 师：请你看合作探究一（多媒体展示课件）： 如图 2，l 1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关 系, l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系.根据图象填空 1. 横轴表示_，纵轴表示_ 2. 当销售量为 2 吨时，销售收入=_元， 销售成本=_元,_（赢利或亏损）_元. 3 3.当销售量为 6 吨时，销售收入=_元， 销售成本=_元，_（赢利或亏损）_元 4.观察图象还有没有其它关键信息？ 交点（4，4000）有什么实际含义？ 5.当销量_时该公司盈利， 当销量_时该公司亏本. 6l 1 对应的函数表达式是_ ，l 2 对应的函数 表达式是_ 7这个变化过程中有几个变量,它们分别是什么?这个 变化过程中,包含几个函数? 师：1. 横轴表示_，纵轴表示_ 生：销售量 销售收入或销售成本对应的钱数 师：单位分别是什么？ 生：吨 、元 师：2. 当销售量为 2 吨时，销售收入=_元，销售成本=_元， _（赢利或亏损）_元. 生：2000,3000 ,亏损, 1000 师：3.当销售量为 6 吨时，销售收入=_元，销售成本=_元，_（赢利或亏 损）_元. 生：6000,5000 ,赢利,1000. 师：4.观察图象还有没有其它关键信息？ 交点（4，4000）有什么实际含义？ 生：能看出没有销售量时，成本是 2000 元. 生：当销售量大 4 吨时，该公司就会盈利. 师：5.当销量_时该公司盈利，当销量_时该公司亏本. 生：大于 4 吨 小于 4 吨时 师：很好，你太聪明了，掌声在哪里？ 生：鼓掌 师：6l 1 对应的函数表达式是 _，l 2 对应的函数表达式是 _ 生：解：设 l1 的解析式是 y=kx，根据题意，得 4000=4k 解得 k=1000 所以 l1 的解析式是 y=1000x 设 l2 的解析式是 y=kx+b，根据题意，得 2000=b 4000=4k+b 带入，得 k=500 所以 l2 的解析式是 y=500x+2000 师：7.同学们太棒了!下面我们思考一个很重要的问题:这个变化过程中有几个变量,它们分 别是什么? 生：在这个变化过程中有三个变量,分别是销售量、销售收入和销售成本在这个变化过程 中包含两个函数：1.销售量与销售收入之间的函数;2.销售量与销售成本之间的函数 师：咱班的同学就是聪明,你看孙素真同学总结的多精准啊,在这里提出表扬(忍不住鼓掌). 下面让我们一起比一比看谁更有勇气、更积极、回答更精妙好不好? 生：好!（齐声回答，情绪高昂） 【设计意图】：通过问题串的精心设计，深入浅出的引导学生根据实际问题建立适当的 函数模型引导学生通过自主、合作、探究的过程完成活动，巡视指点，启发学生思考、 分析，利用前面所学知识解决问题培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自 主意识在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力对于第 7 问的 设计是为了让学生深刻理解本节课主要研究的是什么类型的问题. 4 图 4 图 5 说明:很多学生能求出解析式但是解题步骤混乱,为了规范学生的解题步骤,这里要求学生书 写解题步骤. 3、先想再议 师：请你看合作探究二（多媒体展示课件）： 图 2 中，l 1 对应的一次函数 y=k1x+b1，中 k1 和 b1 的 实际意义各是什么? l2 对应的一次函数 y=k2x+b2，中 k2 和 b2 的 实际意义各是什么? 生：k 1 的实际意义是：每销售 1t 产品的销售收入； b1 的实际意义是：未销售时，销售收入为 0. k2 的实际意义是：每销售 1t 产品的销售成本； b2 的实际意义是：未销售时，为销售所花的成本为 2000 元. 【设计意图】：深入理解 k,b 的实际意义，如:在“路程=速度时间+路程 0”的问题中 k 就是速度，b 就是路程 0，这对于学生能够深入理解函数关系式的本质，对学生列函数关系 式十分有利. 课堂讨论的过程中，学生的思维呈开放的状态，不同的见解，不同的思路在 讨论中碰撞、反馈，可以激发学生的想像力，促进学生思维的有序发展，提高思维活动的 有效性，从而收到较为显著的教学效果 四、深入探究 师：请你看合作探究三（多媒体展示课件）： 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只 A 正向公海方向行驶边防局迅速派出快艇 B 追 赶（如图） ，图 4 中 l1，l 2 分别表示两船相对于海岸的距离 s（海里）与追赶时间 t（分）之 间的关系 根据图象回答下列问题： 师：（1）哪条线表示 B 到海岸的距离与时间之 间的关系？ 生：观察图 4，得当 t=0 时， B 距海岸 0 海里， 即 S=0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间之 间的关系； 师：（2）A，B 哪个速度快？ 生：观察图 5 中，从 0 增加到 10 时，l 2 的纵 坐 标 增加了 2，而 l1 的纵坐标增加了 5，即 10 分 内， A 行驶了 2 海里，B 行驶了 5 海里，所以 B 的速度快 海 岸 公 海 AB 图 3 5 图 6 图 7 图 8 师：（3）15 分钟内 B 能否追上 A? 生：观察图 6，可以看出，当 t=15 时， l1 上对应点在 l2 上对应点的下方. 师：（4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？ 生：如图 7，可以看出，l 1 ， l2 相交于点 P因此， 如 果一直追下去，那么 B 一定能追上 A 师：（5）当 A 逃到离海岸 12 海里的公海时，B 将 无法对其进行检查照此速度，B 能否在 A 逃到公 海前将其拦截？ 生：从图 8 中可以看出，l 1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于 12，这说明在 A 逃入公海前，我边防快艇 B 能够追 上 A 师：（6）l 1 与 l2 对应的两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 中， k1，k 2 的实际意义各是什么？可疑船只 A 与快艇 B 的速度各是多少？ 生：k 1 表示快艇 B 的速度，k 2 表示可疑船只 A 的速度. 可疑船只 A 的速度是 0.2 海里 /分钟,快艇 B 的速度是 0.5 海里/分钟. 师：大家表现都很好啊，让咱们来探究下面的问题，增强我们的技能后，相信我们都能更 熟练解答此类问题. 【设计意图】：让学生逐步学会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中， 要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想培养学生良好的识图能力，进一步体会有 关时间与路程之间数与形的关系，建立良好的知识联系 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行 分析.启发的语言如下: 第问,“两船出发时分别距离海岸多少海里？” ; 第问,经过 10 分钟两船分别行驶了多少海里?两个人的速度各是多少？ 第问,15 分钟时两船离海岸多少海里? 在探究过程中适时的问， “在这个过程中有几个变量？分别是什么？_随着_的 变化而变化. 在这个过程中有几个函数?（答案：这个变化过程中有三个变量，分别是可疑 船只离海岸的距离，快艇离海岸的距离，时间可疑船只离海岸的距离随着时间的变化而 变化；快艇离海岸的距离随着时间的变化而变化在这个过程中有两个函数，一个是可疑 船只离海岸的距离与时间的函数，另一个是快艇离海岸的距离与时间的函数） 五、巩固提高 师：请你看合作探究四（多媒体展示课件）： 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车 2 1 y y O y/ x/1500500 4000 3000 2000 1000 6 50 20 O 10 y/天 x/ 天 租书 卡 会员卡 图 10 主或一国有出租车公司签订月租车合同设汽车每月行驶 x km，应付给个体车主的月费用 为 y1 元，应付给国有出租车公司的月费用是 y2 元，y 1，y 2 分别与 x 之间的函数关系图象(两 条射线)如图 9，观察图象回答下列问题： (1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？ (2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ (3)如果这个单位估计每月行驶的路程为 2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？ 分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数； 两条直线交点的横坐标为 1 500；表明当 x1 500 时，两个函数值相等；根据图象可知： x1 500 时 ， y2y 1；0 千米 x1500 千米时，y 2y 1. 解：观察图象，得： (1)每月行驶的路程小于 1 500 km 时，租国有出租车公司的车合算； (2)每月行驶的路程为 1 500 km 时，租两家车的费用相同； (3)如果每月行驶的路程为 2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算 析规律 函数图象交点规律 两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交 点处的函数值相等 【设计意图】 能通过函数图像获取信息，发展形象思维. 能利用函数图像解决实际问题，发展学生的数学应用能力. 上升到自变量在某范围时候，y 2y 1 或 y2y 1 角度. 六、达标检测 师：比一比，赛一赛，看谁做得又对又快（多媒体展示件） ： 1某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是 使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种 卡租书，租书金额 y（元）与租书时间 x（天） 之间的关系如下图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书金额 y（元） 与租书时间 x（天）之间的关系式。 （2）两种租书方式每天的收费是多少元？ 2如图，OB，AB 分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题： （1）如果用 t 表示时间，s 表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式是 甲： ，乙： ； （2）甲的运动速度是 千米/时； （3）两人同时出发相遇时，甲比乙多走 千米 学生：独立完成，并认真检查反思. 教师：巡视指导，对提前完成的学生进行当堂批阅，予以鼓励 表扬. 师：展示优秀学生的答案，规范学生的结果. 点拨：第一题答案：（1）y=0.5x y=0.3x（2）0.5 元和 0.3 元 第二题答案：（1）甲：y=4x 乙：y= 3x+5 2 654 20 15 10 5 t/ s/ B A O 图 9 7 （ 第 1题 ） （2）4 （3）5 【设计意图】在课堂上对学生本节课所学知识进行检查测试，并进一步发现并解决学生在 学习后存在的问题，同时教师自我评定教学内容是否完成针对出现的问题，查缺补漏检 测题目也进一步培养学生的识图能力，通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结 合意识， 通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力 7、中考链接 1 （2011 鸡西）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版 费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费甲、乙两厂的印刷费用 y（千元） 与证书数量 x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示 （1）请你直接写出甲厂的制版费及 y 与 x 的函数解析式，并求出其证书印刷单价 （2）当印制证书 8 千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？ （3）如果甲厂想把 8 千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书 最少降低多少元？ 八、总结归纳(师生合作总结) 师：本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获呢？ 生 1：本节课我们学习了一次函数图象的应用，能利用函数图象解决简单的实际问题,在 运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题. 生 2：今天学习的函数图象都是 3 个变量， 一个自变量，两个因变量，还有两个函数. 生 3：一次函数中 k 和 b 的实际意义是什么， 学会了如何求出函数解析式，并运用一次函数的 图象和性质进一步求得我们所需要的结果 生 4： 【设计意图】 让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结引导学 生自己归纳总结如何利用一次函数图象解决实际问题，提炼升华明确本课所学知识，同时 使学生对本课的知识形成体系，便于学生掌握和应用. 通过教师和学生的双边活动让学生 掌握一次函数的应用，以锻炼学生的探究归纳能力放手让学生自我总结，潜力与智慧才 会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我 九、作业布置 类（必做） 1.学校准备周末组织老师去南京参加艺术节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠设 参加艺术节的老师有 x 人，甲、乙两家旅行社实际收 费 、甲y 与 x 的函数关系如图所示根据图象信息，请你回乙y 答下 列问题： （1）当 x 时，两家旅行社的收费相同； （2）当 x_ 时，选择甲旅行社合适。 2如图，温度计上表示了摄氏温度（）与华氏温度（） 8 的刻度.能否用一个一次函数关系式来表示摄氏温度 y（） 和华氏温度 x（）的关系？如果气温是摄氏 32 度，那相当 于华氏多少度？ B 类（选做） 1甲乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠 的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，请根据图象 所提供的信息回答下列问题：