南京市20150908高三模拟数学 (试题及答案)

南京市 2015 届高三年级学情调研卷 数 学 2014.09 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1函数 f(x)cos 2xsin 2x 的最小正周期为 2已知复数 z ，其中 i 是虚数单位，则| z| 11 i 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为 80 的样本，则应从高一年级抽取 名学生 4从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 5已知向量 a(2，1)，b(0，1) 若(ab)a， 则实数 6右图是一个算法流程图，则输出 S 的值是 7已知双曲线 1(a 0，b0) 的渐近线方程 x2a2 y2b2 为 y x，则该双曲线的离心率为 3 8已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则这个圆锥的高是 9设 f(x)x 23x a若函数 f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数 a 的取值范围为 10在ABC 中，角 A，B ，C 所对边的长分别为 a，b，c已知 a c2b，sinB sinC， 2 2 则 cosA 11若 f(x) 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围为 12记数列a n的前 n 项和为 Sn若 a11，S n2(a 1a n)(n2，nN*) ，则 Sn 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x 2y 26x 50，点 A，B 在圆 C 上，且 AB2 ，3 则| |的最大值是 OA OB 14已知函数 f(x)x1(e1)lnx，其中 e 为自然对数的底，则满足 f(ex)0 的 x 的取值范围 为 S0 SSk 2 开始 输出 S 结束 Y N k5 （第 6 题图） k1 kk2 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)2sin(2x)(0 2)的图象过点( ，2) 2 （1）求 的值； （2）若 f( ) ， 0 ，求 sin(2 )的值 2 65 2 6 16 （本小题满分 14 分） 如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，M，N 分别为 AB，B 1C1 的中点 （1）求证：MN平面 AA1C1C； （2）若 CC1CB 1，CACB，平面 CC1B1B平面 ABC，求证：AB 平面 CMN 17 （本小题满分 14 分） 已知a n是等差数列，其前 n 项的和为 Sn， bn是等比数列，且 a1b 12，a 4b 421， S4b 430 （1）求数列a n和b n的通项公式； （2）记 cna nbn，nN* ，求数列 cn的前 n 项和 A1 AB C B1 C1 M N （第 16 题图） 第 3 页 共 15 页 18 （本小题满分 16 分） 给定椭圆 C： 1(ab0)，称圆 C1：x 2y 2a 2b 2 为椭圆 C 的“伴随圆” 已知椭圆 x2a2 y2b2 C 的离心率为 ，且经过点 (0，1) （1）求实数 a，b 的值； （2）若过点 P(0，m)(m0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 ，求实数 m 的值2 19 （本小题满分 16 分） 如图（示意） ，公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 的角形耕地，其中 tan2在该块土 地中 P 处有一小型建筑，经测量，它到公路 AM，AN 的距离分别为 3km， km现要过点 P 修建5 一条直线公路 BC，将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确 定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)ax 3|xa| ，a R （1）若 a1，求函数 yf (x) (x 0，) )的图象在 x1 处的切线方程； （2）若 g(x)x 4，试讨论方程 f(x)g( x)的实数解的个数； （3）当 a0 时，若对于任意的 x1 a，a2 ，都存在 x2 a2，)，使得 f(x1)f(x2) 1024，求满足条件的正整数 a 的取值的集合 南京市 2015 届高三年级学情调研卷 A M N P （第 19 题图） C B 第 5 页 共 15 页 数学附加题 2014.09 注意事项： 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目 的答案空格内考试结束后，交回答题卡 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指 定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 如图，PA 是圆 O 的切线，A 为切点，PO 与圆 O 交于点 B、C，AQOP ，垂足为 Q若 PA 4，PC2 ，求 AQ 的长 B选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 属于特征值 的一个特征向量为 2b13 1 1 （1）求实数 b， 的值； （2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C：x 22y 22，求曲线 C 的方 程 C选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，圆 C 的参数方程为 ( 为参数)若点 P 是圆 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 D选修 45：不等式选讲 已知 a，b 是正数，且 ab1，求证：(axby)(bxay)xy C A P OQ （第 21 题 A 图） B 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22如图，已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB3，BC2，CC 15，E 是棱 CC1 上不同于 端点的点，且 CE CC1 （1） 当BEA 1 为钝角时，求实数 的取值范围； （2） 若 ，记二面角 B1A 1BE 的的大小为 ，求|cos| 25 23某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有 1 个红球，1 个白球，3 个黑 球的袋中一次随机的摸 2 个球，设计奖励方式如下表： 结果 奖励 1 红 1 白 10 元 1 红 1 黑 5 元 2 黑 2 元 1 白 1 黑 不获奖 （1）某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元，求 X 的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率 （第 22 题图） A B C D E A1 B1 C1D1 第 7 页 共 15 页 数学参考答案及评分标准 2014.09 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 2 332 4 55 12 635 72 8 9(0 ， 10 3 94 11 ，) 1222 n1 138 14(0，1) 12 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15 （本小题满分 14 分） 解：（1）因为函数 f(x)2sin(2x )(0 2)的图象过点( ，2)， 2 所以 f( )2sin ()2， 2 即 sin1 4 分 因为 02，所以 6 分 2 （2）由（1）得，f(x )2cos2x 8 分 因为 f( ) ，所以 cos 2 65 35 又因为 0，所以 sin 10 分 2 45 所以 sin22sincos ，cos2 2cos 21 12 分 2425 725 从而 sin(2 )sin2cos cos2sin 14 分 6 6 6 16 （本小题满分 14 分） 证明：（1）取 A1C1 的中点 P，连接 AP，NP 因为 C1NNB 1，C 1PPA 1，所以 NPA 1B1，NP A1B1 2 分 12 在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1B1AB ，A 1B1AB 故 NPAB，且 NP AB 12 因为 M 为 AB 的中点，所以 AM AB 12 所以 NPAM，且 NPAM 所以四边形 AMNP 为平行四边形 所以 MNAP 4 分 因为 AP平面 AA1C1C，MN平面 AA1C1C， 所以 MN平面 AA1C1C 6 分 （2）因为 CACB，M 为 AB 的中点，所以 CMAB 8 分 因为 CC1CB 1，N 为 B1C1 的中点，所以 CNB 1C1 在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BC B 1C1，所以 CNBC 因为平面 CC1B1B平面 ABC，平面 CC1B1B平面 ABCBCCN 平面 CC1B1B， 所以 CN平面 ABC 10 分 因为 AB平面 ABC，所以 CNAB 12 分 因为 CM平面 CMN，CN 平面 CMN，CMCNC ， 所以 AB平面 CMN 14 分 17 （本小题满分 14 分） 解：（1）设等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q 由 a1b 12，得 a423d，b 42q 3，S 486d 3 分 由条件 a4b 421，S 4b 430，得方程组 解得 2 3d 2q3 21，8 6d 2q3 30， ) d 1，q 2 ) 所以 ann1，b n2 n，nN* 7 分 （2）由题意知，c n( n1) 2n 记 Tnc 1c 2c 3c n 则 Tnc 1c 2c 3c n 2232 242 3n2 n1 (n1) 2n， 2 Tn 22232 3( n1)2 n1 n2 n (n1)2 n1 ， 所以T n22(2 22 32 n )(n1) 2n1 ， 11 分 A1 AB C B1 C1 M N （第 16 题图） P 第 9 页 共 15 页 即 Tnn2 n1 ，nN* 14 分 18 （本小题满分 16 分） 解：（1）记椭圆 C 的半焦距为 c 由题意，得 b1， ，c 2a 2b 2， ca 解得 a2，b1 4 分 （2）由（1）知，椭圆 C 的方程为 y 21，圆 C1 的方程为 x2y 25 x24 显然直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 ykxm，即 kxym 0 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 故方程组 （*） 有且只有一组解 由（*）得(14k 2)x28kmx4m 240 从而(8km) 24(14k 2)( 4m24)0 化简，得 m214k 2 10 分 因为直线 l 被圆 x2y 25 所截得的弦长为 2 ，2 所以圆心到直线 l 的距离 d 5 2 3 即 14 分3 由，解得 k22，m 29 因为 m0，所以 m3 16 分 19 （本小题满分 16 分） 解：（方法一） 如图 1，以 A 为原点，AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系 因为 tan2 ，故直线 AN 的方程是 y2x 设点 P(x0，y 0) 因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y03 由 P 到直线 AN 的距离为 ，5 得 ，解得 x01 或 x04(舍去) ，5 所以点 P(1，3) 4 分 显然直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为 y3k(x1)，k (2，0) (A) x N P y O B C （第 19 题图 1） 令 y0 得 xB1 6 分 3k 由 解得 yC 8 分 y 3 k(x 1)，y 2x ) 6 2kk 2 设ABC 的面积为 S，则 S xByC 1 10 分 12 k2 6k 9k2 2k 8k 9k2 2k 由 S 0 得 k 或 k3 2(4k 3)(k 3)(k2 2k)2 34 当2k 时，S 0，S 单调递减；当 k0 时，S0，S 单调递增 13 分 34 34 所以当 k 时，即 AB5 时，S 取极小值，也为最小值 15 34 答：当 AB5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为 15km2 16 分 （方法二） 如图 2，过点 P 作 PEAM ， PFAN，垂足为 E、F，连接 PA设 ABx ，AC y 因为 P 到 AM， AN 的距离分别为 3， ，5 即 PE3，PF 5 由 SABC S ABP S APC x3 y (3x y) 4 分 12 12 5 12 5 因为 tan 2，所以 sin 所以 SABC xy 8 分 12 由可得 xy (3x y) 12 12 5 即 3 x5y2xy 10 分5 因为 3 x5y2 ，所以 2xy2 5 解得 xy15 13 分5 当且仅当 3 x5y 取“” ，结合解得 x5，y3 5 5 所以 SABC xy 有最小值 15 12 答：当 AB5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为 15km2 16 分 20 （本小题满分 16 分） 解：（1）当 a1，x 0，) 时，f (x)x 3x 1，从而 f (x)3x 21 当 x1 时，f(1)1，f (1) 2， 所以函数 yf(x ) (x 0， ) )的图象在 x1 处的切线方程为 y12(x 1)， A M N P B C （第 19 题图 2） E F 第 11 页 共 15 页 即 2xy30 3 分 （2）f(x) g(x)即为 ax3|xa| x 4 所以 x4ax 3|xa|，从而 x3(xa)|x a| 此方程等价于 xa 或 或 6 分 x a，x 1) x a，x 1 ) 所以当 a1 时，方程 f(x)g(x) 有两个不同的解 a，1； 当1a1 时，方程 f(x)g(x) 有三个不同的解 a，1，1； 当 a1 时，方程 f(x)g(x) 有两个不同的解 a，1 9 分 （3）当 a0，x (a，) 时，f (x)ax 3xa，f (x) 3ax 210， 所以函数 f(x)在(a，)上是增函数，且 f(x)f (a)a 40 所以当 x a，a2时，f(x) f(a)，f(a2)， ， ， 1024f(x) 1024f(a 2) 1024f(a) 当 x a2，)时，f(x) f(a2)，) 11 分 因为对任意的 x1 a，a2 ，都存在 x2 a2，)，使得 f(x1)f(x2)1024， 所以 ， f(a2) ，) 13 分 1024f(a 2) 1024f(a) 从而 f(a2) 1024f(a 2) 所以 f 2(a2) 1024，即 f(a2) 32，也即 a(a2) 32 32 因为 a0，显然 a1 满足，而 a2 时，均不满足 所以满足条件的正整数 a 的取值的集合为1 16 分 数学附加题参考答案及评分标准 2014.09 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分 的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分 A选修 41：几何证明选讲 证明：连接 AO设圆 O 的半径为 r 因为 PA 是圆 O 的切线，PBC 是圆 O 的割线， 所以 PA2PCPB 3 分 因为 PA4，PC2， 所以 422(22r)，解得 r3 5 分 所以 POPCCO235，AOr3 由 PA 是圆 O 的切线得 PAAO，故在 RtAPO 中， 因为 AQPO ，由面积法可知， AQPO APAO， 12 12 即 AQ 10 分 APAOPO 435 125 B选修 42：矩阵与变换 解：（1）因为矩阵 A 属于特征值 的一个特征向量为 ， 2b13 1 1 所以 ，即 3 分 2b131 1 1 1 2 b 2 从而 解得 b0， 2 5 分 2 b ， 2 ) （2）由（1）知，A 2013 设曲线 C 上任一点 M(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线 C上一点 P(x0，y 0)， C A P OQ （第 21 题 A 图） B 第 13 页 共 15 页 则 ， x0y0 2013xy 2xx 3y 从而 7 分 x0 2x，y0 x 3y ) 因为点 P 在曲线 C上，所以 x022y 022，即(2 x)22(x3y) 22， 从而 3x26xy9y 21 所以曲线 C 的方程为 3x26xy9y 21 10 分 C选修 44：坐标系与参数方程 解：（方法一） 直线 l 的普通方程为 x y 0 3 分3 3 因为点 P 在圆 C 上，故设 P( cos ，sin)，3 从而点 P 到直线 l 的距离 d 7 分 所以 dmin 13 即点 P 到直线 l 的距离的最小值为 1 10 分3 (方法二) 直线 l 的普通方程为 x y 0 3 分3 3 圆 C 的圆心坐标为( ，0)，半径为 13 从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d 6 分3 所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 1 10 分3 D选修 45：不等式选讲 证明：因为 a，b 是正数，且 ab1， 所以(ax by)(bxay )abx 2(a 2b 2)xyaby 2 ab(x 2y 2) (a2b 2)xy 3 分 ab2xy(a 2b 2)x