辽宁省大连市2017届高考第一次模拟考试数学文科试题含答案

大连市 2017年高三第一次模拟考试 数学（文科）能力测试 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知复数 12 ，则 z （ ） A 12i B 54i C 1 D 2 | ( 3 ) ( 1 ) 0 A x x x ， | 1B x x，则 （ ） A | 3 B | 1 C | 1 3 D | 1 3 3. 设 ,“ ”是“ 33”的（ ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 0与圆 22( 1 ) ( 3 ) 1 0 相交所得弦长为（ ） A 6 B 3 C. 62 D 32 ） A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， l ，那么直线 l 平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 6. 已知数列 ，1 5a ，则1 2 6| | | | | |a a a （ ） A 30 B 18 C. 15 D 9 7. 在平面内的动点 ( , )足不等式 30100 ，则 2z x y的最大值是（ ） A 6 B 4 C. 2 D 0 图象大致是（ ） A B C. D 9. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B 73C. 43D 8310. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ） A 118B 54C. 32D 231611. 若方程 2 s i n ( 2 )6在 0, 2x 上有两个不相等实根，则 m 的取值范围是（ ） A (1, 3) B 0,2 C. 1,2) D 1, 3 12. 已知定义在 R 上的函数 ()121时，不等式12( ) ( 0 ) ( ) ( 1 )f x f f x f 恒成立，则实数1 ） A ( ,0) B 1(0, )2C. 1( ,1)2D (1, ) 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 0名同学，一次数学测试平均成绩是 92，如果学号为 1号到 30号的同学平均成绩为 90，则学号为 31号到 50 号同学的平均成绩为 14. 已知函数 ( ) s x e x ，则 (0)f 15. 过 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的右焦点 F 且斜率为 1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 16. 我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100至 200之间，那么这个数 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知点 ( 3,1)P ， ( Q x x ， O 为坐标原点，函数 ()f x O P Q P. （ 1）求函数 ()x 的值； （ 2）若 A 为 的内角， ( ) 4， 3， 的面积为 334，求 的周长 . 18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对 500名该手机使用者（ 200名女性， 300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： （ 1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层 抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20名用户中，从评分不低于 80分的用户中任意取 2名用户，求 2名用户评分小于 90 分的概率 . 19. 如图，在四棱锥 P 中，底面 正方形， 底面 2P， 27， E 为棱 点 . （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 P 外接球的体积 . 20. 已知函数 ( ) x ax x. （ 1）过原点 O 作函数 ()求切点的横坐标； （ 2）对 1, )x ，不等式 2( ) ( 2 )f x a x x恒成立，求实数 a 的取值范围 . 21. 已知椭圆 Q ： 2 22 1 ( 1 )x ， 12,焦点，以线段 12直径的圆与椭圆 Q 有且仅有两个交点 . （ 1）求椭圆 Q 的方程； （ 2）设过点1l 交椭圆于 ,段 垂直平分线与 x 轴交于点 P ，点 P 横坐标的取值范围是 1 ,0)4，求 |最小值 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 ， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 ，建立极坐标系，曲线1 ，直线 l 的参数方程为2515515 （ t 为参数） . （ 1）求曲线1l 的普通方程； （ 2）若曲线2 （ 为参数），曲线1 的极角为4， Q 为曲线2 中点 M 到直线 l 距离的最大值 . 等式选讲 已知 0, 0，函数 ( ) | | | 2 |f x x a x b 的最小值为 1. （ 1）求证： 22 ； （ 2）若 2a b 恒成立，求实数 t 的最大值 . 2017年大连市高三一模测试 数学（文科）参考答案与评分标准 一选择题 （ 1） A；（ 2） D；（ 3） C； （ 4） A；（ 5） C；（ 6） B；（ 7） A；（ 8） B；（ 9） D；（ 10) B； （ 11）C； （ 12） D 二 （ 13） 95； （ 14） 1； (15) 2 ； 16 128. 三 （ 17） 解：（ I） ( 3 , 1 ) , ( 3 c o s , 1 s i n )O P Q P x x ， ( ) 3 3 c o s 1 s i n 4 2 s i n ( )3f x x x x ， 当 2 ( )6x k k Z 时， () (2) ( )=4 23A ， 又 3， 2 2 2 22 c o b c b c ， 29 ( )b c 1 3 3s i b c A ， 3 23 ， 三角形周长为 3 2 3 . (18) 解： （）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图： 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 . （）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于90 分的人数为 4 ，记为 , , ,A B C D ，评分不小于 90 分的人数为 2 ，记为 , 6 人人任取 2 人，基本事件空间为 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,A B A C A D A a A b B C B D B a B b C D( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) C a C b D a D b a b，共有 15 个元素 . 其中把“两名用户评分都小于 90 分”记作 M ， 则 M ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) A B A C A D B C B D C D，共有 6 个元素 . 所 以两名用户评分都小于 90 分的概率为 6215 5. (19) 解： (I)证明： 底 面 底 面 B ，又 底面 矩形， D ， D A ， 平面 平面 平面 又 平面 D ， P ， E 为 点 ， D ， B A ， 平面 平面 平面 (一 ：四 棱锥 P 外接球 球心 在线段 线段 垂直平分线交点 O ， 由已知 2 2 2 22 ( 2 7 ) 4 2B D A B A D ， 设 C 为 点， 12 2 12A M O M A P ， 2 2 2 21 ( 2 2 ) 3O A A M O M ， 四 棱锥 P 外接球是 34 363 法二： 四 棱锥 P 外接球和过 , , , ,P A B C D 的长方体外 接球相同， 球心在对角线的中点 由已知 对角线 2 2 2 2 2 22 ( 2 7 ) 2 6A B A D A P ， 球的半径为 3， 四 棱锥 P 外接球是 34 363 (20) 解： （ ）设切点为0 )(0直线的切线方程为 )()(00 ， )( ，001)( ， 即直线的切线方程为 )(1(， 又切线过原点 O ,所以 1 由 1x，解得 0， 所以切点的横坐标为 e . （）方法一： 不等式 )2( 对 1x ， ) 恒成立 , 2 a x a x x 对 1x ， ) 恒成立 . 设 2 ， 1x ， ) ，2)( . 当 0a 时， 01)12()( )(在 1 ， ) 上单调递减， 即 0)1()( 0a 不符合题意 . 当 0a 时，x 2)(2 8)41(212)( 22 在 1 ， ) 上单调递增，即 ( ) (1 ) 1h x h a . （）当 1a 时，由 0)( 得 0)( )(在 1 ， ) 上单调递增，即0)1()( 1a 符合题意； （ 10 a 时， 01a ， 10 x， ) 使得 0)(0 则 )( 1 ， )00(x， ) 上单调递增， 0)1()( 0 则 10 a 不合题意 . 综上所述， 1a . （）方法二： 不等式 2l n 2a x x a x x （ ）对 1x ， ) 恒成立 , 2 a x a x x 对 1x ， ) 恒成立 . 当 0a 时 ， 2 a x a x x ；当 01a时 ， 2 x a x a x x（ ） = ， 3 l n 3 0（ ） =6 不 恒成立；同理 x 取其他值不 恒成立 . 当 =1x 时 ， 2 a x a x x 恒成立 ； 当 1x 时 ，2xa x ，证明 2xx x x （ ）恒成立 . 设 2x x x x （ ） ， 1x ， ) ， 21 2 + 0 （ ）. ） 在 1x ， ) 为减函数 1g x g（ ） （ ） =0， 1a . （）方法三： 不等式 2l n 2a x x a x x （ ）对 1x ， ) 恒成立 , 等价于 2 x x x（ ） 对 1x ， ) 恒成立 . 设 212= l ny a x x y x（ ） ,，当 0a 时 ，12 0a ， 函数1 0,0）和（ 1,0），函数2 （ 12 1x 恒成立 ， 一定存在 一条过点（ 1,0）的直线和函数1y、2一定存在一条过点（ 1,0）的直线2 但交点横坐标小于 1， 当都相切时12 12 = 1y a x a a y x , 3 3 l n 3g a a（ ） =9 不大于等于 0. 1a . (21)（本小题满分 12 分） 解：（ ） 由题意可知 1， 2a ，故椭圆的方程为 2 2 12x y. ( ) 设 直线 l 方程为 ( 1 ) ( 0 )y k x k ， 代入 2 2 12x y有 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k ， 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 点00( , )N x y， 221 2 1 24 2 2( ) ,1 2 1 2x x x . 20 1 2 0 02212( ) , ( 1 )2 1 2 1 2x x y k x 垂直平分线方程为001 ()y y x ， 令 0y ，得00 2112 4 2Px x k y k 1 , 0)4， 21 1 14 2 4 2k ， 2 10 2k 4 2 22221 21 6 4 ( 2 1 ) ( 2 2 )| | 1 | | 121k k k x x 21 1 3 22 2 + 2 2 ( 2 1 ) 2k， m 2 (22)（本小题满分 10 分） 解 ：（ ）由 221 : 4 0 ,C x y x : 2 3 0l x y . （ ） (2 2, ),4P 直角坐标为 (2,2) ， 1( 2 c o s , s i n ) , ( 1 c o s , 1 s i n )2 ， : 2 3 0l x y M 到 l 的距离 | 1 c o s 2 s i n 3 | 1 0 | s i n ( ) |545d ， 从而最大值为 105. (23) 解 ： （ ） 法一： ( ) | | | 2 | = | | | | | |22x x a x b x a x x ， | | | | | ( ) ( ) |2 2 2b b bx a x x a x a 且 | 02， ()2bf x a， 当2取等号 ，即 () 12， 22 . 法二： 2， 3,( ) | | | 2 | = ,23,2x a b x x x a x b x a b a a b x ， 显然 () , 2b上单调递减 ， () , )2b 上单调递增 ， ()22， 12， 22 . （ ）方法一： 2a b 恒成立， 2恒成立， 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( 2 ) ( 1 4 )22a b a b b a b a b a 1 2 9(1 4 2 )22 当 23时 ， 2得最小值 92， 92 t， 即实数 t 的最大值为 92. 方法二： 2a b 恒成立， 2恒成立， 2 1 2a b b a 恒成立 ， 21 2 1 4 ( 1 2 ) 92 2 2b a b a b a 92 t， 即实数 t 的最大值为 92. 方法三： 2a b 恒成立， 2 ( 2 ) ( 2 )a a ta a 恒成立， 22 ( 3 2 ) 4 0ta t a 恒成立 ， 2( 3 2 ) 3 2 6 0t ， 1922t， 实数 t 的最大值为 92. 2017年大连市高三一模测试 数学（文科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择 题和填空题不给中间分 一选择题 （ 1） A；（ 2） D；（ 3） C； （ 4） A；（ 5） C；（ 6） B；（ 7） A； （ 8） B；（ 9） D；（ 10) B； （ 11） C； （ 12） D 二 （ 13） 95； （ 14） 1； (15) 2 ； 16 128. 三 （ 17） (本小题满分 12 分 ) 解：（ I） ( 3 , 1 ) , ( 3 c o s , 1 s i n )O P Q P x x ， 3 分 ( ) 3 3 c o s 1 s i n 4 2 s i n ( )3f x x x x ， 5分 当 2 ( )6x k k Z 时， () 6分 (2) ( )=4 23A ， 7分 又 3， 2 2 2 22 c o b c b c ， 29 ( )b c 9 分1 3 3s i b c A ， 3 10分 23 ， 三角形周长为 3 2 3 . 12分 (18)(本小题满分 12分 ) 解： （）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图： 评分频率组距100908070600 0250 0150 0050 04O 50 评分频率组距100908070600 0250 0150 0050 04O 50 12分 4 分 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 . 6分 （）运用分层抽样从 男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于90 分的人数为 4 ，记为 , , ,A B C D ，评分不小于 90 分的人数为 2 ，记为 , 6 人人 任 取 2 人 ， 基 本 事 件 空 间 为 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,A B A C A D A a A b B C B D B a B b C D ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) C a C b D a D b a b，共有 15 个元素 . 8分 其中把“两名用户评分都小于 90 分”记作 M ， 则 M ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) A B A C A D B C B D C D，共有 6 个元素 . 10分 所以两名用户评分都小于 90 分的概率为 6215 5. 12 分 (19)(本小题满分 12分 ) 解： (I)证明： 底 面 底 面 底面 ， 平面 平面 平面 平面 P， ， 平面 平面 平面 6 分 (一 ：四 棱锥 心 在线段 线段 ， 8分 由已知 2 2 2 22 ( 2 7 ) 4 2B D A B A D ， 9分 设 C 为 点， 12 2 12A M O M A P ，2 2 2 21 ( 2 2 ) 3O A A M O M ， 11 分 四 棱锥 4 363 12分 法二： 四 棱锥 接球和过 P、 A、 B、 C、 8分 球心在对角线的中点 9 分 由已知 对角线 2 2 2 2 2 22 ( 2 7 ) 2 6A B A D A P ， 10分 球的半径为 3， 11 分 四 棱锥 4 363 12分 (20) （本小题满分 12 分） 解： （ ）设切点为0 )(0直线的切线方程为 )()(00 ， )( ，001)( ， 2分 即直线的切线方程为 )(1(， 又切线过原点 O ,所以 1 由 1x，解得 0， 所以切点的横坐标为 e . 4分 （）方法一： 不等式 )2( 对 1x ， ) 恒成立 , 2 a x a x x 对 1x ， ) 恒成立 . 设 2 ， 1x ， ) ，2)( . 5分 当 0a 时， 01)12()( )(在 1 ， ) 上单调递减， 即 0)1()( 0a 不符合题意 . 7分 当 0a 时，x 2)(2 8)41(212)( 22 在 1 ， ) 上单调递增，即 ( ) (1 ) 1h x h a . 9分 （ i）当 1a 时，由 0)( 得 0)( )(在 1 ， ) 上单调递增，即0)1()( 1a 符合题意； 10分 （ 10 a 时， 01a ， 10 x， ) 使得 0)(0 则 )( 1 ， )00(x， ) 上单调递增， 0)1()( 0 则 10 a 不合题意 . 11分 综上所述， 1a . 12分 （）方法二： 不等式 2l n 2a x x a x x （ ）对 1x ， ) 恒成立 , 2 a x a x x 对 1x ， ) 恒成立 . 当 0a 时 ， 2 a x a x x ；当 01a时 ， 2 x a x a x x（ ） = ， 3 l n 3 0（ ） =6 不 恒成立；同理 x 取其他值不 恒成立 . 6分 当 =1x 时 ， 2 a x a x x 恒成立 ； 当 1x 时 ，2xa x ，证明 2xx x x （ ）恒成立 . 10分 设 2x x x x （ ） ， 1x ， ) ， 21 2 + 0 （ ）. ） 在 1x ， ) 为减函数 11分 1g x g（ ） （ ） =0， 1a . 12 分 （）方法三： 不等式 2l n 2a x x a x x （ ）对 1x ， ) 恒成立 , 等价于 2 x x x（ ） 对 1x ， ) 恒成立 . 5分 设 212= l ny a x x y x（ ） ,，当 0a 时 ，12 0a ， 6分 函数1 0,0）和（ 1,0），函数2 （ 12 1x 恒成立 ， 一定存在一条过点（ 1,0）的直线和函数1y、2一定存在一条过点（ 1,0）的直线2 但交点横坐标小于 1， 10 分 当都相切时12 12 = 1y a x a a y x , 11分 3 3 l n 3g a a（ ） =9 不大于等于 0. 6 分 1a . 12 分 (21)（本小题满分 12 分） 解：（ ） 由题意可知 1， 2分 2a ，故椭圆的方程为 2 2 12x y. 4分 ( ) 设 直线 l 方程为 ( 1 ) ( 0 )y k x k ， 代 入 2 2 12x y有2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k ， 5分 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 点00( , )N x y， 221 2 1 24 2 2( ) ,1 2 1 2x x x . 6分 20 1 2 0 02212( ) , ( 1 )2 1 2 1 2x x y k x 7分 垂直平分线方程为001 ()y y x ， 令 0y ，得00 2112 4 2Px x k y k 9分 1 , 0)4， 21 1 14 2 4 2k ， 2 10 2k 10分 4 2 22221 21 6 4 ( 2 1 ) ( 2 2 )| | 1 |