2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x|2x 1 0， B=x|0 x 1，那么 A B 等于（ ） A x|x 0 B x|x 1 C x|0 x D x|0 x 2以（ 1， 1）为圆心且与直线 x y=0 相切的圆的方程是（ ） A（ x+1） 2+（ y 1） 2=2 B（ x+1） 2+（ y 1） 2=4 C（ x 1） 2+（ y+1）2=1 D （ x 1） 2+（ y+1） 2=4 3下列函数中，偶函数是（ ） A y=2x B y= y= y=x2+设 R， “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5我国南宋数学家秦九韶（约公元 1202 1261 年）给出了求 n（ n N*）次多项式 11+ + x=的值的一种简捷算法该算法被后人命名为 “秦九韶算法 ”，例如，可将 3 次多项 式改写为 （ a2）x+x+后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值 A x4+x+4 B x+5 C x3+x+3 D x+4 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A 2+ B 4+ C 2+2 D 5 7如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 = ，则 的值是（ ） A 2 B 1 C D 2 8 21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐一圈，按顺序从 1 到 3 循环报数，报数字 “3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（ ） A 19 B 38 C 51 D 57 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9若复数 是纯虚数，则实数 a 的值为 10已知实数 x， y 满足 ，那么 z=y x 的最大值是 11若抛物线 焦点与双曲线 的右顶点重合，则 p= 12 已知函数 f（ x） = ，若 f（ a） f（ 2 a），则 a 的取值范围是 13若函数 y=x+）（ 0）的部分图象如图所示，则 = 14在环境保护部公布的 2016 年 74 城市 均浓度排名情况中，某 14 座城市在 74 城的排名情况如图所示，甲、乙、丙为某三座城市 从排名情况看： 在甲、乙两城中， 2 月份名次比 1 月份名次靠前的城市是 ； 在第 1 季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15（ 13 分）数列 ， ， =an+c2n（ c 是常数， n=1， 2， 3 ），且公比不为 1 的等比数列 （ ）求 c 的值； （ ）求 通项公式 16（ 13 分）已知 a， b， c 分别是 三个内角 A， B， C 的三条对边，且c2=a2+ （ ）求角 C 的大小； （ ）求 最大值 17（ 13 分） “累积净化量（ ”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据 18801 2015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量（ 如下等级划分： 累积净化量 （ 3， 5 （ 5， 8 （ 8， 12 12 以上 （克） 等级 了了解一批空气净化器（共 2000 台）的质量，随机抽取 n 台机器作为样本进行估计，已知这 n 台机器的 累积净化量都分布在区间（ 4， 14中，按照（ 4， 6，（ 6， 8，（ 8， 10，（ 10，12，（ 12， 14，均匀分组，其中累积净化量在（ 4， 6的所有数据有： 绘制了如下频率分布直方图 （ ）求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值； （ ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共 2000 台）中等级为 空气净化器有多少台？ （ ）从累积净化量在（ 4， 6的样本中随机抽取 2 台，求恰好有 1 台等级为 18（ 14 分）如图，在 ， C 为直角， C=4沿 中位线 平面 起，使得 0，得到四棱锥 A （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积； （ ） M 是棱 中点，过 M 作平面 与平面 行，设平面 截四棱锥A 得截面面积为 S，试求 S 的值 19（ 13 分）已知函数 f（ x） = （ ）过原点作曲线 y=f（ x）的切线，求切线的方程； （ ）当 x 0 时，讨论曲线 y=f（ x）与曲线 y=m 0）公共点的个数 20（ 14 分）已知椭圆 E： + =1（ a b 0）过点（ 0， 1），且离心率为 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设直线 l： y= +m 与椭圆 E 交于 A、 C 两点，以 对角线作正方形直线 l 与 x 轴的交点为 N，问 B， N 两点间距离是否为定 值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由 2017 年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x|2x 1 0， B=x|0 x 1，那么 A B 等于（ ） A x|x 0 B x|x 1 C x|0 x D x|0 x 【考点】 交集及其运算 【分析】 先求出集合 A， B，由此利用交集性质能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=x|2x 1 0=x|x ， B=x|0 x 1， A B=0 故选： D 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用 2以（ 1， 1）为圆心且与直线 x y=0 相切的圆的方程是（ ） A（ x+1） 2+（ y 1） 2=2 B（ x+1） 2+（ y 1） 2=4 C（ x 1） 2+（ y+1）2=1 D（ x 1） 2+（ y+1） 2=4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 以（ 1， 1）为圆心且与直线 x y=0 相切的圆的半径为圆心到直线的距离，由此能求 出圆的方程 【解答】 解：以（ 1， 1）为圆心且与直线 x y=0 相切的圆的半径为圆心到直线的距离， 即 r=d= = ， 以（ 1， 1）为圆心且与直线 x y=0 相切的圆的方程是： （ x+1） 2+（ y 1） 2=2 故选： A 【点评】 本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用 3下列函数中，偶函数是（ ） A y=2x B y= y= y=x2+考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 利用奇偶函数的定义，进行判断，即可得出结论 【解答】 解：对于 A，是奇函数， 对于 B， f（ x） =（ x） x） =偶函数； 对于 C， f（ x） =e x） =e 奇非偶函数； 对于 D， f（ x） =奇非偶函数， 故选 B 【点评】 本题考查奇偶函数的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 4设 R， “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可 【解答】 解：若 =，（ k z）， 故 2=2，故 ，是充分条件， 若 ，则 2=， = + ，（ k z）， 不是必要条件， 故选： A 【点评】 本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题 5我国南宋数学家秦九韶（约公元 1202 1261 年）给出了求 n（ n N*）次多项式 11+ + x=的值的一种简捷算法该算法被后人 命名为 “秦九韶算法 ”，例如，可将 3 次多项式改写为 （ a2）x+x+后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值 A x4+x+4 B x+5 C x3+x+3 D x+4 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的 k， S 的值，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 k=0， S=1， k=1， S=x+1， 满足条件 k 4，执行循 环体， k=2， S=（ x+1） x+2=x2+x+2 满足条件 k 4，执行循环体， k=3， S=（ x2+x+2） x+3=x3+x+3 满足条件 k 4，执行循环体， k=4， S=（ x3+x+3） x+4=x4+x+4 不满足条件 k 4，退出循环，输出能求得多项式 x4+x+4 的值 故选： A 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A 2+ B 4+ C 2+2 D 5 【考 点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图可判断直观图为： 面 B， E 为 点， B=1， ，： 面 ， 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积 【解答】 解：根据三视图可判断直观图为： 面 B， E 为 点， ， B=1， ， 可得 运用直线平面的垂直得出： 面 ， S 2 2=2， S 1= S 2 = 故该三棱锥的表面积是 2 ， 故选： C 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质 7如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 = ，则 的值是（ ） A 2 B 1 C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意，可分别以边 在直线为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点 A， B， E 的坐标，并设 F（ x， 2），根据 即可求出 x 值，从而得出 F 点的坐标，从而求出 的值 【解答】 解：据题意，分别以 在直线为 x， y 轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则： A（ 0， 0）， B（ ， 0）， E（ ， 1），设 F（ x， 2）； ； x=1； F（ 1， 2）， ； 故选 C 【点评】 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算 8 21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐一圈，按顺序从 1 到 3 循环报数，报数字 “3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩两个人没有表演过节目 的时候，共报数的次数为（ ） A 19 B 38 C 51 D 57 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 首先求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少；然后把每轮报数的次数求和，求出仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数多少次即可 【解答】 解：根据题意，在第一轮报数中，有 =7 人表演节目，则第一轮报完数后剩下 14 人，一共报数 21 次； 在第二轮报数中， 14=3 4+2，有 4 人表演节目，则这一轮报完数后剩下 10 人，一共报数 14 次； 在第三轮报数中， 10=3 3+1，有 3 人表演节目，则这一轮报完 数后剩下 7 人，一共报数 10 次； 在第四轮报数中， 7=3 2+1，有 2 人表演节目，则这一轮报完数后剩下 5 人，一共报数 7 次； 在第五轮报数中， 5=3 1+2，有 1 人表演节目，则这一轮报完数后剩下 4 人，一共报数 5 次； 此时仅剩两个人没有表演过节目，一共报数： 21+14+10+7+5=57 次； 故选： D 【点评】 此题考查合情推理的运用，关键是求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9若复数 是纯虚数，则实数 a 的值为 1 【考点】 复数代 数形式的乘除运算 【分析】 利用两个复数代数形式的乘除法法则求得 z 的值，再根据它是纯虚数，求得实数 a 的值 【解答】 解： 复数 = = 为纯虚数，故有 a 1=0，且 a+1 0， 解得 a=1， 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题 10已知实数 x， y 满足 ，那么 z=y x 的最大值是 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至 A（ 3，0）时纵截距最大， z 最大 【解答 】 解：画出 的可行域如图： 将 z=y x 变形为 y=x+z 作直线 y=x 将其平移至 A（ 3， 0）时，直线的纵截距最大，最大为： 3 故答案为： 3 【点评】 利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义 11若抛物线 焦点与双曲线 的右顶点重合，则 p= 4 【考点】 抛物线的标准方程 【分析】 确定双曲线 的右顶点坐标，从而可得抛物线 焦点坐标，由此可得结论 【解答】 解：双曲线 的右顶点坐标为（ 2， 0）， 抛物线 焦点与双曲线 的右顶点重合， =2， p=4 故答案为： 4 【点评】 本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键 12已知函数 f（ x） = ，若 f（ a） f（ 2 a），则 a 的取值范围是 a 1 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 函数 f（ x） = 在 R 上单调递增，利用 f（ a） f（ 2 a），可得 a 2 a，即可求出 a 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） = 在 R 上单调递增， f（ a） f（ 2 a）， a 2 a， a 1， 故答案为 a 1 【点评 】 本题考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题 13若函数 y=x+）（ 0）的部分图象如图所示，则 = 3 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数 y=x+）的部分图象求出周期 T，从而求出 的值 【解答】 解：由函数 y=x+）（ 0）的部分图象知， =（ ） ， T= ， 即 = ， 解得 =3 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查了 y=x+）的图象与性质的应用问题，是基础题 14在环境保护部公布的 2016 年 74 城市 均浓度排名情况中，某 14 座城市在 74 城的排名情况如图所示，甲、乙、丙为某三座城市 从排名情况看： 在甲、乙两城中， 2 月份名次比 1 月份名次靠前的城市是 乙 ； 在第 1 季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是 二月份 【考点】 频率分布折线图、密度曲线 【分析】 由题意，乙的横坐标定义纵坐标，故在甲、乙两城中， 2 月份名次比 1月份名次靠前的城市是乙；由第 2 个图可得在第 1 季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份 【解答】 解：由题意，乙的横坐标大于纵坐标，故在甲、 乙两城中， 2 月份名次比 1 月份名次靠前的城市是乙； 由第 2 个图可得在第 1 季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份 故答案为乙、二月份 【点评】 本题考查分布图，考查数形结合的数学思想，比较基础 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15（ 13 分）（ 2017石景山区一模）数列 ， ， =an+c2n（ c 是常数，n=1， 2， 3 ），且 公比不为 1 的等比数列 （ ）求 c 的值； （ ）求 通项公式 【考点】 数 列递推式 【分析】 （ ）由递推式表示出 等比数列可得关于 c 的方程，解出即得 c 值，注意检验； （ ）利用累加法可求得 意检验 n=1 时是否满足 【解答】 解：（ ） ， +2c， +6c， 等比数列， （ 2+2c） 2=2（ 2+6c）， 解得 c=0 或 c=1 当 c=0 时， a1=a2=符合题意舍去，故 c=1 （ 2） =n， a2=1， a3=2， a4=3， ， an=1+2n 1， 累加可得 an=+21+22+ +2n 1=2+ =2n， 当 n=1 时，也满足， 故 通项公式 n，（ n N*） 【点评】 本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题 16（ 13 分）（ 2017石景山区一模）已知 a， b， c 分别是 三个内角 A，B， C 的三条对边，且 c2=a2+ （ ）求角 C 的大小； （ ）求 最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）根据余弦定理直接求解角 C 的大小 （ ）根据三 角形内角和定理消去 B，转化为三角函数的问题求解最大值即可 【解答】 解：（ ） c2=a2+ ab=a2+余弦定理： = ， 0 C ， C= （ ） A+B+C=， C= B= ，且 A （ 0， ） 那么： ） =）， A （ 0， ） ， 故得当 = 时， 得最大值为 1 【点评】 本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题属于基础题 17（ 13 分）（ 2017石景山区一模） “累积净化量（ ”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据 18801 2015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量（ 如下等级划分： 累积净化量（克） （ 3， 5 （ 5， 8 （ 8， 12 12 以上 等级 了了解一批空气净化器（共 2000 台）的质量，随机抽取 n 台机器作为样本进行估计，已知这 n 台机器的 累积净化量都分布在区间（ 4， 14中，按照（ 4， 6，（ 6， 8，（ 8， 10，（ 10，12，（ 12， 14，均匀分组，其中累积净化量在（ 4， 6的所有数据有： 绘制了如下频率分布直方图 （ ）求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值； （ ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共 2000 台）中等级为 空气净化器有多少台？ （ ）从累积净化量在（ 4， 6的样本中随机抽取 2 台，求恰好有 1 台等级为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）先求出在 （ 4， 6之间的数据一共有 6 个，再由频布直方图得：落在（ 4， 6之间的频率为 2=此能求出 n 的值及频率分布直方图中的 x 值 （ ）由频率分布直方图可知：落在（ 6， 8之间共 24 台，在（ 5， 6之间共 4台，从而落在（ 5， 8之间共 28 台，由此能估计这批空气净化器（共 2000 台）中等级为 空气净化器有多少台 （ ）设 “恰好有 1 台等级为 事件 B，依题意落在（ 4， 6之间共 6 台，属于国标 的有 4 台，则从（ 4， 6中随机抽取 2 台，基本事件总数 n= ，事件 B 包含的基本事件个数 m= =8，由此能求出恰好有 1 台等级为 概率 【解答】 解：（ ） 在（ 4， 6之间的数据一共有 6 个， 再由频布直方图得：落在（ 4， 6之间的频率为 2= n= =100， 由频率分布直方图的性质得： （ x+ 2=1， 解得 x= （ ）由频率分布直方图可知：落在（ 6， 8之间共： 2 100=24 台， 又 在（ 5， 6之间共 4 台， 落在（ 5， 8之间共 28 台， 估计这批空气净化器（共 2000 台）中等级为 空气净化器有 560 台 （ ）设 “恰好有 1 台等级为 事件 B， 依题意落在（ 4， 6之间共 6 台，属于国标 的有 4 台， 则从（ 4， 6中随机抽取 2 台，基本事件总数 n= ， 事件 B 包含的基本事件个数 m= =8， 恰好有 1 台等级为 概率 P（ B） = 【点评】 本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 18（ 14 分）（ 2017石景山区一模）如图，在 ， C 为直角， C=4沿 E，将平面 得 0，得到四棱锥 A （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 E 体积； （ ） M 是棱 中点，过 M 作平面 与平面 行，设平面 截四棱锥A 得截面面积为 S，试求 S 的值 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由 C=90，得 时 C=D，可得 平面 证得 平面 （ ）由 平面 面 0，可得 ，可证得 平面 用等积法即可求出三棱锥 E 体积； （ ）分别取 中点 N， P， Q，并连接 平面 平面 平面 与平面 交线平行于 M 是中点，可得平面 与平面 交线是 中位线 理可证，四边形 截四棱锥 A 截面，即 S=（ ）可知， 平面得 得 可得到四边形 直角梯形，在 ， D，求出 一步求出 P， S 的值可求 【解答】 （ ）证明： C=90， 时 又 ， 平面 又 平面 （ ）解：由（ ）可知， 平面 面 又 0， 又 ， 平面 = ； （ ）解：分别取 中点 N， P， Q，并连接 平面 平面 平面 与平面 交线平行于 M 是中点， 平面 与平面 交线是 中位线 同理可证，四边形 平面 截四棱锥 A 截面，即 S= 由（ ）可知， 平面 又 四边形 直角梯形 在 ， D=2， ， ， S=（ 1+3） 【点评】 本题考查直线与平面垂直的证明，考查利用等积法求体积，考查平面 截四棱锥 A 得截面面积的求法，考查空间想象能力及思维能力，是难题 19（ 13 分）（ 2017石景山区一模）已知函数 f（ x） = （ ）过原点作曲线 y=f（ x）的切线，求切线的方程； （ ）当 x 0 时，讨论曲线 y=f（ x）与曲线 y=m 0）公共点的个数 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理 【分析】 （ I）先求出其导数，利用导数得出切线的斜率即可； （ f（ x） = h（ x） = （ x 0），利用导数研究函数 h（ x）的单调性即可得出 【解答】 解：（ ）设切线方程 为 y= 切点为（