湖南省张家界市2017届高中毕业班第二次联考数学试题(文)含答案

2017 届高中毕业班联考试卷（二） 数学 (文科 ) 本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分 20 分钟，满分 150分 . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 数23)1()1( （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为 A. 1 C. i 合 1| 1| 则 “ 且 ” 成立的充要条件是 A. 11 x B. 1x C. 1x D. 11 x ， )( 且 )( ” 的否定形式是 A. ， )( 且 )( B. 0， )(0且00 )( C. ， )( 或 )( D. 0， )(0或00 )( a 、 b 满足 6)()2( 且 1| a ， 2| b ，则 a 与 b 的夹角为 A. 030 B. 045 C. 060 D. 0120 所示的 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “ 更相减损术 ” 程序框图，若输入的 14a ， 21b ，则输出的 a 43 a， 167 a，则 B. 8 D. 64 x 、 y 满足4531则最小值是 | 的图象大致为 个数，记得其中有 10、 2、 5、 2、 4、 2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均 数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为 1 B C D 图 1 A. 11 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的 2 倍，则最小内角的余弦值 是 正方形纸片按如图 2 所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分 沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型， 如图 3 放置若正四棱锥的正视图是正三角形（如图 4），则正四棱锥的体积是 A. 3368 3364 3328 3324 kx x | ),0( 有 且仅有 两个不同的解 , )( ,则下面结论正确的是 A. 11)4. 11)4. 11)4D. 11)4二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 油翁中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿，可见 “ 行行出状元 ” ，卖油翁的技艺让人叹为观止 圆，中间有 边长为 正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔 中的概率为 . 2 则它的离 心率为 . 15. 已 知 函 数 )4s i n()4s i n(c o ss i i n)( 2 0)20( 0 数 )(一个零点，则 02x. ,0( 的单调函数 )( 对任意 ),0( x ， 都有 6lo g)( 2 若0方程 4)()( 一个解 ， 且 )1,(0 ( 则实数 a . 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 . 17.（本小题满分 12 分） 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 喜欢甜品 不喜欢甜 品 合 计 南方学生 60 20 80 1 2 3 4 P 31 m 41 61 图 3 图 4 图 2 北方学生 10 10 20 合 计 70 30 100 根据表中数据，问是否有 95%的把握 认为 “ 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差 异 ” ； 已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机 抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率 . 附：)()()()( 22 ， 18.（本小题满分 12 分） 已知数列 21 a ， 021 ,2( 写出 2a 、3写结果），并求出数列 设，若对任意的正整数 n ，不等式 6122 恒成立， 求实数 t 的取值范围 . 19.（本小题满分 12 分） 如图 5 所示， 已知四棱锥 中，底面 矩形， 面 1 2 M 为 中点 . 指出平面 交点 N 所在位置 ，并 给出理由； 求平面 四棱锥 分成 上下两部分的体积比 . 20.（本小题满分 12 分） )( 02 5 如图 6 所示， 已知椭圆 C ： 12222 0( 1F 、 2F 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上任意一点，且 21的 周长是 1528 . 求椭圆 C 的方程； 设圆 T ：94)( 22 椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E 、 F 两点，当圆心在 x 轴上移动且 )3,1(t 时，求直线 斜率的取值范围 . 21.（本大题满分 12 分） 已知函数 x . 求函数 )(单调区间； 如果对于任意的 2,0 x, )( 恒成立，求实数 k 的取值范围； 设函数 x c o s)()( ， 22017,22015 0,2 1( 图象 的所有切线，令各切点的横坐标构成数列 数列 的值 . 请考生在第 22、 23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 题号 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 C 的极坐标方程为 1 ，直线 l 的参数方程为 t 为参数） . 求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程； 设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C ，设曲线 C 上任一点为 ),( 求2 的 最大值 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 |12|)( |)( . 当 0a 时，解不等式 )()( ； 若存在 ，使得 )()( 成立，求实数 a 的取值范围 . 2017 届高中毕业班联考试卷 (二 ) 数学 (文科 )参考答案及评分标准 ： 32(1 i )z 1 i(1 i ) Q，故选 A. ： Q 且 1x ，故选 D. ：0Q， )(0与00 )( 至少有一个成立 ，故选 D. ： ( a 2 b ) ( a b ) 6 Q ， 1 060, 故选 C. ： b 2 1 , a 1 4 , b 2 1 1 4 7 Q ； 7714,7,14 7 故选 C. ：4 74Q， 22 q ， 8235 选 B. ： 设 )0( z ，则有 2 ，则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域， 可知当 1 抛 物 线 相 切 时 z 取 得 最 小 值 ， 联 立 方 程122 4042 故选 D. ： f(x)Q 在 )0,( 和 )1,0( 上是减函数，在 ),1( 上是增函数，且 1)1( f ， 故选 B. ： 设这个数为 x ，则平均数为725 x，众数为 2. 若 2x ，则中位数为 2，此时 11x ； 若 42 x ，则中位数为 x ，此时 27252 x ； 若 4x ，则中位数为 4， 272542 x . 所有可能值为 11， 3， 17，故其和为 11 3 17 9，故选 C. ： 不妨 设 ，则 令 1 ， 1C 2AQ ，bc o i n 2s i ns i ns i n )1()1()1(11 222解得： 5x ， 4a ， 5b ， 6c 432c 故选 B. ：正四棱锥底面是由图 2 中大正方形的四个角拼成的，故图 2 中的虚线长为图 3 正四棱锥的 底面边长，设为 又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为 则 232 x ，易得四棱锥的体积 33 686831 . ： | x | Q |则 |与 在 )23,( 相切于点) co s 故选 C. 13.41解： P . 14. 5 或25解： 或 2， 5122 25. 53 解：001f ( x ) 2 s i n ( 2 x ) 062 Q ， 41)62s 0 x 00x 2Q ， 06260 x，415)62co s ( 0 536)62co s (2co s 00 ： )(为单调函数 ， 且对 ),0( x ， 都有 6lo g)( 2 必为 常数 ， 令 ， 则 2 ， 且 6 2 所以 4t . 4 2 2 ， 又因为 0x 是方程 4)()( 一个解 42 整理得 02 即01lo 20 令 1lo 0200 01)1( h ， 012( h 由零点存在性定理知 ， )2,1(0 x， 1a . 22 1 0 0 ( 6 0 1 0 2 0 1 0 ) 1 0 0K 3 . 8 4 17 0 3 0 8 0 2 0 2 1 5%的把握认为 “ 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异 ” . 6 分 从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件 共 10 个 ：),( 121 ),( 221 ),(321 ),( 211 ),(311 ),(321 ),( 212 ),( 312 ),(322 ),(321 其中2,1( 3,2,1( 甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的 . 用 A 表示 “3 人中至多有 1人喜欢甜品 ” 这一事件，则事件 A 由 7 个基本事件组成 ： ),( 211 ),( 311 ),( 321 ),( 212 ),( 312 ),( 322 ),( 321 107)( 12分 62 a ， 123 a2分 当 2n 时，n 1 2 1 3 2 n n 1a a ( a a ) ( a a ) ( a a ) 1 2 3 n ) n ( n 1 ) L 5 分 当 1n 时， 21 a 也满足上式 )1( n 6 分 n n 1 n 2 n 3 2 1 1ba a a a 1( n 1 ) ( n 2 ) ( n 2 ) ( n 3 ) 2 n ( 2 n 1 ) L 1 1 1 1 1 1n 1 n 2 n 2 n 3 2 n 2 n 1 11 8 分 n 1 1 1b b ( )n 2 2 n 3 n 1 2 n 1 Q )32 111(12 121 3252 33 22 nn 1，则 数列 61)( 1m a x 10 分 00261612612 222 t ),2()0,( t 12 分 N 为 点 . 2 分 理由如下： / 面 面 平面 又 平面 平面 面 又 中点 N 为 中点 6 分 底面 又 Q 底面 矩形 ， P A A B AQ 面 又 平 面 的中位线， 且 121252 32 5)121(21 A D M 到截面 距离为 P 到直线 距离52d 四棱锥 的体积4152853311 V 8 分 而四棱锥 的体积321231 四棱锥被截下部分体积125413212 10 分 故上 、 下两部分体积比5321 12 分 c 15Q， 15:1:4: 又12的周长 为 152822 15,4 1222 则所求 椭圆方程为： 116 22 5 分 由 椭 圆 方 程 可 得 )1,0(M ， 设 过 M 且 与 圆 T 相 切 的 直 线 方 程 为1 i )2,1( i 321|1|2 518)49( 22 ii 条切线斜率 21,方程 0518)49( 22 ii 49 18221 t 9 5221 k x 1x 1 6 y 1 6Q 032)161( 1221 21116132， 同理可得：22216132212121 设，可知 )( )3,1(t 上 为增函数 )18,256( 12 分 ： x ) e ( s i n x c o s x ) 2 e s i n ( x )4 Q)(的 增区间为 432,42 ( 减区间为 472,432 ( 4 分 令 x s )( 要使 )( 恒成立，只需当 2,0 0)( x ) e ( s i n x c o s x ) k Q 令 )c o s(s x ，则 0c o x 对 2,0 D )(在 2,0 上是增函数，则 ,1)( 2 当 1k 时， 0)( 成 立， )( 2,0 上为增函数 0)0()( m 1k 满足题意； 当 21 时， 0)( 2,0 上有实根0x, )( 2,0 上是增函数 则当 ),00， 0)( 0)0()(0 当 2时， 0)( 成立， )( 2,0 上为减函数， 0)0()( 符合题意 1k ， 即 1,(k . 8 分 x ) f ( x ) e c o s x e ( s i n x c o s x ) Q x co 设切点坐标为 )co s(s 000 0 x ，则切线 斜率为00 co 0 x从而切线方程为 )(co s2)co s( s 0 )2 1(c c s i n 0000 00 )2(2ta n 00 xy ， )2(22 两个函数的图象均关于点 )0,2(对称，则它们交点的横 坐标也关于2而所作的 所有切线的切点的横坐标构成数列 2在 22017,22015 共有