2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷（四）含答案

绝密 启用前 江西省 2017年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 理科 数学（四） 本试题卷共 2页， 23题（含选考题）。全卷满分 150分。考试用时 120分钟。 祝考试顺利 第 卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1已知集合 2| 6 0A x x x ，1|1 ，则 （ ） A 1,3 B 2, 0 1, 3 C 2,0 D 3, 0 1, 2 【答案】 B 【解析】 2| 6 0 = 2 , 3 A x x x ，1| 1 = ( , 0 ) 1 , + )Bx x ， 所以 2 , 0 1 , 3 ，选 B 2若复数 3 （ ， 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A 6 B 2 C 4 D 6 【答案】 A 【解析】设 3i ia b ， 3 i i ( 1 2 i ) 2 ia b b b ，即23 ，解得 6a ，故选 A 3下列说法正确的是（ ） A “ 1x ”是 “ 2lo g ( 1) 1x ”的充分不必要条件 B命题 “ 0x， 21x ”的否定是 “ 0 0x ， 021x ” C命题 “若 ，则 22ac ”的逆命题为真命题 D命题 “若 5 ，则 2a 或 3b ”为真命题 【答案】 D 【解析】选项 A： 2l o g ( 1 ) 1 0 1 2 1 1x x x ，所以 “ 1x ”是其必要不充分条件；选项 B：命题 “ 0x， 21x ”的否定是 “ 0 0x， 021x ”；选项 C：命题 “若 ，则 22ac ”的逆命题是 “若 22ac ，则 ”，当 0c 时，不成立；选项 D：其逆否命题为 “若 2a 且 3b ，则 5 ”为真命题，故原命题为真， 故选 D 4函数 ( ) s i n ( ) ( 0 )6f x x 的图象与 x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为 2 的等差数列，若要得到函数 ( ) x x 的图象，只要将 () ）个单位 A向左平移 6 B向右平移 6 C向左平移 12 D向右平移 12 【答案】 C 【解析】由题意，知函数 () 2T ，所以 2 2T ，所以 ( ) s i n ( 2 )6f x x 2 ( )12x ，所以要得到函数 ( ) x x 的图象，只要将()12 ，故选 C 5中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 2x ， 2n ，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的 s （ ） A 7 B 12 C 17 D 34 【答案】 C 【解析】第一次循环，得 2 , 2 , 1a s k ；第二次循环，得 2 , 6 , 2a s k ；第三次循环，得 5 , 1 7 , 3 2a s k ，此时不满足循环条件，退出循环，输出 17s ，故选C 6三棱柱 1 1 1 B C 的侧棱垂直于底面，且 C ， 1 2A B B C A A ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A 48 B 32 C 12 D 8 【答案】 C 【解析】如图，由题可知矩形 11中心 O 为该三棱柱外接球的球心， 221 2 3 该球的表面积为 24 3 1 2 选 C 7正方体 1 1 1 1A B C D A B C D 中 E 为棱 1中点（如图），用过点 A ， E ， 1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ） 【答案】 C 【解析】由已知可得剩余几何体的左视图应是选项 C 8已知实数 满足 2244 ，则 | 2 4 | | 3 |x y x y 的最大值为（ ） A 6 B 12 C 13 D 14 【答案】 B 【解析】实数 满足的区域为椭圆2 2 14x y及其内部，椭圆的参数方程为2 （ 为参数），记目标函数 | 2 4 | | 3 |z x y x y ，易知 2 4 0 ，30 ， 故 4 2 3 7 2 3z x y x y x y 设椭圆上的点 ( 2 c o s s P ， ，则 7 4 c o s 3 s i n 7 5 s i n ( )z ，其中 4 ，所以 z 的最大值为 12，故选 B 9函数 2 2 1( ) s i n ( ) c o s ( ) c o s l o g | |4 4 2f x x x x x 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】 B 【解析】由已知得 221 1 c o s 2 1( ) c o s 2 l o g | | c o s 2 l o g | |2 2 2xf x x x x x ，令 ( ) 0，即 2c o s 2 lo g | |，在同一坐标系中画出函数 和 2 |的图象，如图所示，两函数图象有两个不同 的交点，故函数 ()，故选 B 10 P 为双曲线 19422 21, 21,别为双曲线的左、右焦点，且021 直线 2 y 轴于点 A ，则 1的内切圆半径为（ ） A 2 B 3 C 23 D 213 【答案】 A 【解析】 如图所示，记 1 2 1的内切圆相切于点 N ， M ，则M ， Q ， 11F ， 12F ，则1 1 2 2N F A F A N A F A M M F ，则 12F ，则1 2 1 2 1 2( ) ( )P F P F Q F P Q M F P M Q F P Q M F P M 2 2 4P Q P M P Q a ， 所以 2，因为 021 12F ，所以2r ， 故选 A 11 如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 33有 10 个不同的点 12， ， 10P ， 记 2 ( 1 2 1 0 ) B A P i ， ， ，则 1 2 1 0m m m 的值为（ ） A 15 3 B 45 C 60 3 D 180 【答案】 D 【解析】因为 2 33直，设垂足为 C ，所以 2影为 2B 2| | | | 2 3 3 3 1 8A B A C ，从而 1 2 1 0m m m 的值1810 180 ， 为选 D 12设函数 () 0)， 上的可导函数，其导函数为 ()，且有2( ) 3 ( )x f x x f x ，则不等式 38 ( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 4 ) ( 2 ) 0f x x f 的解集为（ ） A ( 2016) ， B ( 2 0 1 8 2 0 1 6 )， C ( 2018 0) ， D ( 2018) ， 【答案】 A 【解析】函数 () 0)， 上的函数，所以有 2014 0x ， 不等式 38 ( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 4 ) ( 2 ) 0f x x f 可变形为： 33( 2 0 1 4 ) ( 2 )( 2 0 1 4 ) ( 2 )f x ， 构造函数 3()() x ，24 4 2( ) 3 ( ) 1( ) 0x f x f x x x x ，所以 ()( 0)， 上单增，由 ( 2 0 1 4 ) ( 2 )g x g ，可得2 0 1 4 0 20162 0 1 4 2x ，故选 A 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。第 (22)(23)题为选考题，考生根据要求作答 。 二 、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13设 x ， y 满足约束条件1400 ， 则 3z x y 的取值范围为 【答案】 2,4 【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数 3z x y过点 53( , )22A 时，取得最小值，此时最小值为 m i n 533222z ；当目标函数 3z x y过点 (4,0)B 时，取得最大值，此时最小值为 z ，所以 3z x y 的取值范围为 2,4 14若 A、 B、 C、 A、 k ，则二项式 (1 )展开式中含 2x 项的系数为 _ 【答案】 1124 【解析】由题 知 332 12，所以 1 2 1 2 1 21 1 2 1 2 1( ) ( )1 2 1 2r r r r rr C x ，则由题 知 1 2 2 1 0 ，所以 2x 项的系数为 1012 221 1 1 1661 2 1 2 2 4C ，应填 答案 1124 15已知平面向量 a b c， ， 满足 | | 1 1 2a a b b c a c ， ，则 |a b c的最小值是 _ 【答案】 4 【解析】不妨设 (1 0)a ， ， ()b m n ， ， ()c p q ， ， 则 12， ， 2 1 1b c n q n q ，1n q， 1(1 ) ( 2 )b c ， ， ， 2 2 2 2| | 2 2 2a b c a b c a b b c a c 2222111 1 4 2 2 4 1 4 1 4 2 1 6 ， | | 4a b c ，当且仅当 2 1q ，即 1q 时 “ ”成立 16 已知函数 2 ( ) c o s 2xf x x ，数列 ， *( ) ( 1 ) ( )na f n f n n N，则数列 前 100项之和 100S _ 【答案】 10200 【解析】因为 2 c o s 2xf x x ， 所以 22 1 1 c o s 1 c o f n f n n n ()（ ）， 2 2 243 43 42 4 3 c o s 4 2 c o s ( 4 2 )22n n n n ( ) ( )（ ） （ ） 同理可得： 2 2 24 2 4 1 4( 4 2 ) ( 4 ) ( 4 )n n na n a n a n ， ， 224 3 4 2 4 1 4 2 ( 4 2 ) 2 ( 4 ) 8 ( 4 1 )n n n na a a a n n n ， 前 100项之和 100 8 3 7 9 9 1 0 2 0 0S 故答案为： 10200 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12分）如图，在 中，角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ，( s i n c o s )a b C C （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 2A ， D 为 外一点， 2， 1，求四边形 积的最大值 【答案】（ 1） 4B ；（ 2） 5 24 【解析】（ 1）在 中， ( s i n c o s )a b C C 有 s i n s i n ( s i n c o s )A B C C， s i n ( ) s i n ( s i n c o s )B C B C C ， c o s s i n s i n s i B C ， C ，则 ， 即 B ； (0,)B ，则 4B （ 2）在 中， 2， 1， 2 2 21 2 2 1 2 c o s 5 4 c o D D 又 2A ，则 为等腰直角三角形， 21 1 1 5= c o 4 4 C B C B C D ， 又 1 s i n s i D D C D D ， 55 c o s s i n 2 s i n ( )4 4 4A B C D D ， 当 34D 时，四边形 面积有最大值，最大值为 5 24 18（本小题满分 12分北京时间 3月 15日下午，谷歌围棋人工智能 得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1:4人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了 100 名学生进行调查根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于 40分钟的学生称为 “围棋迷 ” （ 1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有 95%的把握认为 “围棋迷 ”与性别有关？ （ 2）将上述 调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取 1名学生，抽取 3次，记所抽取的 3名学生中的 “围棋迷 ”人数为 X若每次抽取的结果是相互独立的，求 望 E(X)和方差 D(X) 附：22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d ，其中 n a b c d 2 0()P x k k 答案】见解析 【解析】（ 1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “围棋迷 ”有 25 人，从而22列联表如下： 非围棋迷 围棋迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 22 列联表中的数据代入公式计算，得 ： 222 ( ) 1 0 0 ( 3 0 1 0 4 5 1 5 ) 1 0 0 3 0 3 0( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 2 5 4 5 5 5 3 3n a d b b c d a c b d . 因为 3 030 3 841 ，所以没有理由认为 “围棋迷 ”与性别有关 （ 2）由频率分布直方图知抽到 “围棋迷 ”的频率为 025 ，将频率视为概率，即从观众中抽取一名 “围棋迷 ”的概率为 14 由题意 1(3 )4， ，从而 X 的分布列为 ： X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 13( ) 3 44E X n p ， 1 3 9( ) 3 4 4 1 6 19 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 1 ，在 中，2 9 0A C A C B ， ，30A B C P ， 是 的中点，现把 沿 所示的三棱锥 A ，使得 10 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求平面 平面 【答案】（ 1）详见解析，（ 2） 6513 【解析】（ 1）在图 1中，取 ，连接 ，则 P ， 在图 2中，取 ，连接 因为 2A C A P C P ， 所以 P ，且 3， 在 中，由余弦定理有 2 2 21 ( 2 3 ) 2 1 2 3 c o s 3 0 7 ， 所以 2 2 210A O O B A B ，所以 B 又 A O C P C P O B O， ，所以 平面 又 平面 所以平面 平面 （ 2）因为 平面 且 E ，故可如图建立空间直角坐标系，则 ( 0 0 0 ) (1 0 0 ) ( 0 0 3 ) ( 1 0 0 ) ( 2 3 0 )O C A P B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ( 2 3 3 ) ， ， ， (1 0 3 )， ， ， 设平面 法向量为 ()m x y z ， ， ，则由00m C 得 ( 3 3 1)m ， ， ； 同理可求得平面 3 1 1)n ， ， ， 故所求角的余弦值5 6 5c o s | c o s | | |1313 ， 20（本小题满分 12分）已知椭圆 C ：22 1 ( 0 )xy 过点 ( 1, 1)P ， c 为椭圆的半焦距，且 2，过点 P 作两条互相垂直的直线 1l ， 2l 与椭圆 C 分别交于另两点M ， N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 1l 的斜率为 1 ，求 的面积； （ 3）若线段 中点在 x 轴上，求直线 方程 【答案】（ 1）223 144；（ 2） 2 ；（ 3） 0或 12x 【解析】（ 1）因为椭圆 C ：22 1 ( 0 )xy ，过点 ( 1, 1)P ， c 为椭圆的半焦距，且 2， 所以 22111，且 222， 所以 223，解得 2 43b ， 2 4a ， 所以椭圆方程为223 144 （ 2）设 1l 方程为 1 ( 1)y k x ， 由 221,3 4 ,y kx 整理得 2 2 2( 1 3 ) 6 ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 0k x k k x k ， 因为 ( 1, 1)P ，解得22223 6 1 3 2 1( , )1 3 1 3k k k kM ， 当 0k 时，用 1k 代替 k ，得22226 3 2 3( , )33k k k kN ， 将 1k 代入，得 ( 2,0)M ， (1,1)N 因为 ( 1, 1)P ，所以 2， 22， 所以 的面积为 1 2 2 2 22 （ 3）设 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，则2211223 4 ,3 4 , 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 ( ) ( ) 0x x x x y y y y ， 因为线段 中点在 x 轴上， 所以 120，从而可 得 1 2 1 2( ) ( ) 0x x x x ， 若 120，则 11( , )N x y ， N ，所以 0N，得 22112 又因为 221134，所以解得 1 1x ， 所以 ( 1,1)M ， (1, 1)N 或 (1, 1)M ， ( 1,1)N ， 所以直线 程为 若 120，则 11( , )N x y ， 因为 N ，所以 0N，得 2211( 1) 1 ， 又因为 221134，所以解得 1 12x 或 1 ， 经检验： 1 12x 满足条件， 1 1x 不满足条件 综上，直线 方程为 0或 12x 21 （本小题满分 12 分）记 示 ,的最大值，如 m a x 3 , 1 0 1 0 已知函数 2m a x 1 , 2 l n ,f x x x 2 2 21m a x l n , 2 4g x x x x a x a a （ 1）设 21312h x f x x x ，求函数 0,1 上零点的个数； （ 2）试探讨是否存在实数 2,a ，使得 3 42g x x a对 2, 恒成立？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由 【答案】（ 1） 2 ；（ 2）存在， 1 ,24 【解析】（ 1 ）设 22 1 121 2 l n , 2 x x x F x ，令 0 ，得 1,x F x 递增；令 0 ，得 0 1,x F x 递减， m i n 10F x F， 0，即 2 1 2 ， 2 1f x x设 21312G x x x ，结合 0,1 上图象可知，这两个函数的图象在 0,1 上有两个交点，即 0,1 上零点的个数为 2（或由方程 f x G x 在 0,1 上有两根可得） （ 2）假设存在实数 2,a ，使得 3 42g x x a对 2, 恒成立， 则2 2 23l n 42132 4 422x x x ax a x a a x a ，对 2, 恒成立， 即 21l n 4220x x ax x a ，对 2, 恒成立 ， 设 1H x x x， 1 1 222 ， 令 0 ，得 0 2 ,x H x 递增；令 0 ，得 2,x H x 递减， m a x 2 l n 2 1H x h ， 当 0 2 2a 即 20a 时， 4 1a ， 14a ， 0a ， 1 ,04a 故当 1 ,04a 时， 12x x a对 2, 恒成立， 当 22a 即 0a 时， 2,a 上递减， 12 l n 2 12H x H a a a 1 1 1l n 2 1 02 2 2aa a ， 2 0 l n 2 1 0H a H ， 故当 0a 时， 12x x a对 2, 恒成立 若 220x x a 对 2, 恒成立，则 22 ， 1,2a 由 及 得， 1 ,24a 故存在实数 2,a ，使得 3 42g x x a对 2, 恒成立， 且 a 的取值范围为 1 ,24 请考生在 22、 23题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10分）选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，将曲线1 c o s: 1 s （ t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到曲线 1C ；以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立