辽宁省鞍山市2017届高三第一次质量检测数学试题（理）含答案

鞍山市 2017 年高中毕业班第一次质量调查 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 ，集合 13A x x ，集合 24 ，则 （ ） A 12 B 12 C 02 D 11 2若复数 z 满足 1 1 2z i i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若 62 2x m 的展开式中 4x 的系数为 30，则 m 的值为（ ） A 52B 52C 152D 1524已知数列 211n n na a a 2n，若2 3a ，2 4 6 21 ，则4 6 8a a a （ ） A 84 B 63 C 42 D 21 5已知向量 足 1ar ， a b ar r r ， 2a b br r r ，则向量 夹角为（ ） A6B4C3D 346执行下图程序框图，如果输入的 x ， t 均为 2，则输出的 S （ ） A 7 B 6 C 5 D 4 7已知函数 c o s s i x x x，则函数 ） A最小正周期为 2T B图象关于点 2,84对称 C在区间 0,8上为减函数 D图象关于直线8x 对称 8某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A 4 B 203C 263D 8 9已知 l o g 1 1af x x （ 0a 且 1a ）恒过定点 M ，且点 M 在直线 1（ 0m ， 0n ）上，则 的最小值 为（ ） A 3 2 2 B 8 C 42 D 4 10已知点 P 在抛物线 2 4上，则当点 P 到点 1,2Q 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） A 2,1 B 2,1 C 11,4D 11,411已知定义域在 R 上的函数 1 1 2f x f x x 时， 1 1fx x x 的方程 20f x a没有负实根时实数 a 的取值范围是（ ） A 1, 1 ,2 B 0,1 C 111 , ,22 D 112 , , 022 12过双曲线 221（ 0a ， 0b ）的右焦点 ,0圆 2 2 2x y a的切线，切点为 M M 交抛物线 2 4y 于点 N ，若 2O F O N O MO 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A 52B 512C 5 D 15 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若 x ， y 满足约束条件 1 0 ,2 0 ,2 2 0 , ，则 2z x y 的最小值为 14现在要安排 6 名大学生到工厂去做 3 项不同的实习工作，每项工作需要 2 人，则甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、 丁二人不能做同一项工作的概率为 15已知等差数列 25a ，5113设 1 前 n 项和，则2017S 16给出下列五个命题： “若 5，则 2x 或 3y ”是假命题；从正方体的面对角线中任取两条作为一对，其中所成角为 60 的有 48 对；“ 2m ”是方程222 112表示焦点在 x 轴上的双曲线的充分不必要条件；点 ,P x y 是曲线1m x n y（ 0m ， 0n ）上的动点，且满足2221x y y 22 2 1 4x y y ，则 32的取值范围是 2, ；若随机变量 服从正态分布 3,4N ，且 23 2 ，则 73a （请把正确命题的序号填在横线上） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知锐角 内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 2b ， 3c ， 32，又 2D记 . （ ）求 a ， A ， 值； （ ）求 的值 . 18如图四棱锥 P 的底面 菱形，且 60 ， 2C，2B. （ ）求证：平面 平面 （ ）二面角 P 的余弦值 . 19上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析 0 名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示 . （ ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数； （ ）假设抽出学生的数学成绩在 90,100 段各不相同，且都超过 94 分 用简单随机抽样的方法，从 95， 96， 97， 98， 99， 100 这 6 个数字中任意抽取 2 个数，有放回地抽取 3 次，记这 3 次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为 X ，求 X 的分布列和期望 . 20过椭圆 C ： 221 0上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足为右焦点 F ， A 、 的左顶点和上顶点，且 P ， 63. （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若动直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点，且以 直径的圆恒过坐标原点 O l 总相切 出该定圆的方程；若不存在，请说明理由 . 21已知函数 2l n 1f x x a x ，其中 （ ）若函 数 x 处的切线与直线 10 垂直，求 a 的值； （ ）讨论函数 说明理由； （ ）若 0x， 0恒成立，求 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线1（ 0 ， 为参数），在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2经过极点的圆 1,2M对应的参数3，射线3与曲线2D . （ ）求曲线2 （ ）若点 1,A ，2 , 2B在曲线1221211 的值 . 23选修 4等式选讲 设函数 52f x x x a ， . （ ）当 12a时，求不等式 4的解集； （ ）若关于 x 的不等式 f x a 在 R 上恒成立，求实数 a 的最大值 . 鞍山市 2017 年第一次质量调查数学（理科）参考答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、 填空题 13 4 14 21515 3025 16 三、解答题 17解：（ 1）由 面积为 332，有 33s i b c AV，即 1 3 32 3 ，得 3， 又 A 为锐角，故3A 再由余弦定理： 2 2 2 2 c o sa b c b A 222 3 2 2 3 c o s 73 ，得 7a ， 2 2 2c o c bB 2 227 3 2 2772 7 3 . （ 2）由 2D知 1，由 正三角形，即 3，且2 21s i n 1 c o s 7 ， 所以 c o s c o c o s c o s s i n s i 1 2 7 3 2 1 5 72 7 2 7 1 4 ， 所以 2c o s 2 2 c o s 11114. 18解：（ 1）证明：取 点 O ，连结 由 2B， 2，知 1， B ，由 2C， 60 ，知 边三角形，3， 由 2得 2 2 2P O C O P C， O，又 O O ， 平面平面 又 平面 平面 平面 （ 2）由（ 1） 两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则 0, 1,0A ， 3, 0, 0C ， 0,0,1P ， 3 , 1, 0 0,1,1AP设 平面 法向量为 ,n x y zr ，则300n A C x P y z r 取 1x ， 则 1, 3 , 3n r ，又平面 一个法向量为 0, 0,1m 设二面角 P 的大小为 ， 易知其为锐角， c o s c o s , r r 2 171 3 3 ， 二面角 P 的余弦值为 217. 19解：（ 1）平均分 0 . 0 5 4 5 0 . 1 5 5 5 0 . 2 6 5 0 . 3 7 5 0 . 2 5 8 5 5 72分 . 众数的估计值是 75 分 . （ 2）在 90,100 段的人数 80 （人）， 设每次抽取两个数恰好是两名学生的成绩的概率为 p ，则 242625， 显然， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3. 23,5Q:， 33 2255 K C 0,1, 2, 3k X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 2712554125361258125 2 7 5 4011 2 5 1 2 5 3 6 8 6231 2 5 1 2 5 5 , 263 55 或 20解：（ 1）由题意得 2, ，所以 2，AB bk aB 得 2a，解得 ， 2， 由 63A F a c ，得 3 ， 6a ，椭圆 C 的方程为 22163. （ 2）假设存在这样的圆 11,M x y， 22,N x y. 由已知，以 直径的圆恒过原点 O ，即 N所以1 2 1 2 0x x y y. 当直线 l 垂直于 x 轴时，1212，所 以 22110，又 2211163，解得22112， 不妨设 2 , 2M ， 2 , 2N 或 2 , 2M ， 2 , 2N ，即直线 l 的方程为 2x 或 2x ，此时原点 O 到直线 l 的距离为 2d . 当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y kx m，解 22163kx m 消去 y 得方程： 221 2 4k x km x 22 6 0m ，因为直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点，所以方程的判别式 2 24 4 1 2k m k 22 6 0m ，即 2232，且 12 2412k ，212 22612k . 由1 2 1 2 0x x y y，得 1 2 1 2x x k x m k x m 221 2 1 210k x x k m x x m ， 所以 222261 12mk k 22 224 012km ，整理得 2221（满足 0 ） . 所以原点 O 到直线 l 的距离2 21点 O 到直线 l 的距离为定值2 ，即存在定圆 222总与直线 l 相切 . 21解：（ 1）因为 1 21f x a ，由 x 处的切线与直线 10 垂直， 可知 11 2 12 ，所以 14a； （ 2）由题意知，函数 1, ， 1 21f x a 22 2 11ax ， 令 22 2 1g x a x a x ， 1,x . （ i）当 0a 时， 1，此时 0 ，函数 1, 单调递增，无极值点； （ 0a 时，方程 22 2 1g x a x a x 的判别式 24 8 4 2a a a a . 当 02a 时， 0 ， 0， 0 ，函数 1, 单调递增，无极值点； 当 2a 时， 0 ，设方程 22 2 1 0a x a x 的两根为1x， 2 1 2x x x，因为121 ， 22 2 1g x a x a x 的对称轴方程为 12x ，所以 1 12x ， 2 12x ，由 1 0 1 0 ， 可得1 11 2x 2 0x. 所以当 11,， 0， 0 ，函数 当 12,x x x时， 0， 0 ，函数 当 2 ,时， 0， 0 ，函数 因此函数 （ 0a 时， 0 ，由 1 0 1 0 ，可得1 1x ，2 0x 当 21,时， 0， 0 ，函数 当 2 ,时， 0， 0 ,函数 以函数有一个极值点 . 综上所述，当 0a 时，函数 当 02a 时，函数 当 2a 时，函数 （ 3）由（ 2）知， 当 02a 时，函数 0, 单调递增，因为 00f ，所以 0,x 时， 0，符合题意； 当 2a 时， 0 1 0g ，得2 0x ，函数 0, 上单调递增，又 00f ，所以 0,x 时， 0，符合题意； 当 0a 时，设 h x x x ，因为 0,x 时，所以 11 1hx x 01 ，所以 0, 上单调递增，所以 00h x h，即 ，可得 2l n 1f x x a x 2x ，而当 1时，2 1 0x a x a x x a ，即此时 0，不符合题意 . 综上所述， a 的取值范围是 0, . 22解：（ ）将 31,2M及对应的参数3，代入 ，得1 c o ，即 21， 所以曲线1 （ 为参数），或 2 2 14x y ，由题意，圆2 ，（或 2 22x R y R ） ,3D 代入2 ，得 1 2 R ，即 1R . （或由 1,3D ，得 13,22D，代入 2 22x R y R ，得 1R ）， 所以曲线2 2 211 .