广东省汕头市2017届高三第一次模拟考试文数试题含答案解析

广东省汕头市 2017 届高三第一次模拟考试 文数试题 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 =（ ） . A. 1,2 B. 0,1,2 C. 1 D. 1,2,3 【答案】 A 【解析】 ， ，故选 A. 2. 已知 ，则在复平面内，复数 对应的点位于（ ） . A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 A 3. 一个袋中有大小相同，编号分别为 1, 2,3,4,5,6,7,8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2次，则取得两个球的编号之和不小于 15 的概率为（ ） . A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】基本事件为 (1,1),(1,2),(1,8),(2,1),(2,2),(8,8), 共 64 种 5 的情况有三种 ,分别为 (7,8),(8,7),(8,8), 所求概率为 . 4. 命题 “ 恒成立 ” 是假命题，则实数 的取值范围是（ ） . A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】 B 【解析】 命题 “ 恒成立 ” 是假命题，即 “ 恒成立 ” 是真命题 当 时， 不成立；当 时，要使 成立，必须 ，解得 或 ，故选 B. 5. 函数 的图像大致是（ ） . A. B. C. D. 【 答案】 D 【解析】由函数 的表达式知，函数 为奇函数，因此函数的图像关于原点对称，所以排除 A,B；又因为 ，所以排除 C，故应选 D. 6. 已知 ， ，则 （ ） . A. B. 7 C. D. 答案】 C 7. 已知向量满足 、 ， 满足 ， ， ，那么向量 、 的夹角为（ ） . A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】 C 【解析】设向量 、 的夹角为 ；则由题意可得，解之可得 ，故 ，故选 C. 点睛；此题主要考查平面向量的 数量积公式和平面向量的夹角公式；设向量 、 的夹角为；则由题意可得 ，由此即可求出结果 . 8. 已知双曲线的方程为 ，过左焦点 作斜率为 的直线交双曲线的右支于点 ，且 轴平分线段 ，则双曲线的离心率为（ ） . A. B. C. D. 【答案】 A 9. 函数 的周期是 ，将 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 ，则 具有性质（ ） . A. 最大值为 1，图像关于直线 对称 B. 在 上单调递增，为奇函数 C. 在 上单调递增，为偶函数 D. 周期为 ，图像关于点 对称 【答案】 B 【解析】由题意可知， ,所以 ；令，所以 ，可知函数 在上单调递增，且为奇函数 . 点睛：三角函数图象变换 ： (1)振幅变 (2)周期变换 (3)相位变换 (4)复合变换 . 10. 在四面体 中， ， ，且平面 平面 ，为 中点，则线段 的长为（ ） . A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ， 又平面 平面 ， 平面 建立空间直角坐标系又 ，故选 C. 11. 过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线 于 两点若抛物线 在点 处的切线斜率为 1，则线段 =（ ） . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 A 12. 在 中， 分别为内角 所对的边，且满足 ， ，若点是 外一点， ， ， ，则平面四边形 面积的最大值是（ ） . A. B. C. 3 D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由 得 ，由 得 ，所以，所以 ，所以 是等边三角形，设 ，则在 中由余弦定理理 ，所以，所以 故选 A 点睛 ： 本题考查解三角形的应用，涉及余弦定理、三角形的面积、两角和与差的正弦公式、三角函数的最值问题，解题的关键是把四边形的面积用一个参数表示出来，构造一个函数，为此把四边形分成两个三角形 和 ，由面积公 式有 ，而 是正三角形，只要把 通过余弦定理用 表示，则就有，由正弦函数的性质可得最值 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 如图所示的程序框图，输出的 _ 【答案】 88 【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 循环前 0 1 第一圈 是 20+2=2 2 第二圈 是 22+3=7 3 第三圈 是 27+4=18 4 第四圈 是 218+5=41 5 第五圈 是 241+6=88 6 第六圈 否 241+6=88 6 故最终的输出结果为： 88；故答案为 88 14. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 _ 【答案】 64+4 15. 若非负实数 满足： ，（ 2,1）是目标函数 取最大值的最优解，则 的取值范围为 _ 【答案】 【解析】作出可行域如图所示， 将 化成 ， ， 斜率 ，要使（ 2， 1）是目标函数取最大值的最优解，则满足 时，即目标函数仅在点 处取得最大值，解得 ，故答案为 16. 若直角坐标系内 两点满足：（ 1）点 都在 的图像上；（ 2）点 关于原点对称，则称点对 是函数 的一个 “ 姊妹点对 ” ，点对 与 可看作一个 “ 姊妹点对 ”. 已知函数 ，则 的 “ 姊妹点对 ” 有_个 【答案】 2 点睛：根据题意： “姊妹点 ”，可知，欲求 的 “姊妹点 ”，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数 交点个数即可 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 的前 项和为 ， . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）已知 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（ 1） ;(2) . 【解析】试题分析： （ 1） ，所以： ，即 ： ， 成立；由等比数列的定义即可证明数列 是公比为 2，首项为 2 的等比数列，由此即可求出通项公式； (2)由（ 1） 可得： ， ， 根据裂项相消求和法即可求出结果 . 试题解析： （ 1） . 两式作差得： ， 所以： ，即 . 又当 时： ， 成立； 所以数列 是公比为 2，首项为 2 的等比数列， . 点睛：裂项相消在使用过 程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一 : 型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如 型，常见的有 ； 对数运算 本身可以裂解； 阶乘和组合数公式型要重点掌握 和 . 18. 如图，在三棱柱 中， 平面 菱形，. （ 1）求证： ； （ 2）若 ,三棱锥 的体积为 ，求 的面积 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 试题解析： （ 1）证明：连结 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 . 因为四边形 是菱形，所以 , 又因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . （ 2）由 平面 ， 可知 . 设菱形 的边长为 ， 因为 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以 . 因为 平面 ， 侧面 ，所以 , 所以在 中， . 因为 , 解得： ，所以 ， . 所以 . 19. 二手经销商小王对其所经营的 型号二手汽车的使用年数 与销售价格 （单位：万元 /辆）进行整理，得到如下数据： 下面是 关于 的折线图： （ 1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明； （ 2）求 关于 的回归方程并预测某辆 型号二手汽车当使用年数为 9年时售价大约为多少？（ 、 小数点后保留两位有效数字） . （ 3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于 7118元，请根据（ 2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？ 参考公式：回归方程 中斜率和 截距的最小二乘估计公式分别为： ， . . 参考数据： ， ， ， ， ， ，. 【答案】（ 1） 与 的相关系数大约为 明 与 的 线性相关程度很高；（ 2） 元； （ 3） 11 年 . 【解析】试题分析： （ 1）由已知： , , ， ，根据公式 得 的相关系数大约为 明 与 的线性相关程度很高 .（ 2）由公式可得，. 于 的回归方程为：，将 代入，可得 ，所以预测某辆 型号二手车当使用年数为 9年时售价大约为 元 .（ 3）令 ，即 ,所以 ，解不等式，即可求出结果 . （ 2） . . 所以 关于 的线性回归直线方程为 . 所以 关于 的回归方程为： ， 当 时， ， 所以预测某辆 型号二手车当使用年数为 9 年时售价大约为 元 . （ 3）令 ，即 , 所以 ，解得： . 因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年 数不得超过 11 年 . 20. 已知 为坐标原点，圆 ，定点 ，点 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交圆 的半径 于点 ，点 的轨迹为 . （ 1）求曲线 的方程； （ 2）已知点 是曲线 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线 与 轴的焦点分别为 ，直线 和 分别与 轴相交于 两点，请问线段长之积 是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，若点 坐标为（ ），设过点 的直线 与 相交于 两点，求 面积的最大值 . 【答案】（ 1） ；（ 2）见解析；（ 3） . （ 2）设 直线 方程为： ，令 得： ，同理可得：，所以 ，因为点 是 上且不在坐标轴上的任意一点，所以 ，可得 ，因此的定值为 4. （ 3）当点 的坐标为（ ）时，点 ， , 设直线 的方程为： ， ,联立 消 并整理得：, 所以 面积 , 得，所以当 即直线 的方程为： 时， 面积的最大值是 . 试题解析： （ 1）依题意可得：圆 的圆心坐标为 半径为 ， , 则 . 根据椭圆定义， 是以 , 为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 设其方程为： , 即 ， . 的方程为： . （ 3）当点 的坐标为（ ）时，点 ， , 设直线 的方程为： ， , 联立 消 并整理得： . 解得： , 所以 . 所以 的面积 , . ， ， 在 上为增函数 , ，所以 ， 所以当 即直线 的方程为： 时， 面积的最大值是 . 21. 已知函数， ， . （ 1）讨论函数 的单调性； （ 2）当 时，记函数 ，设 是方程 的两个根， 是 的等差中项 . 为函数 的导函数，求证： . 【答案】（ 1）当 时，在 上 为减函数；当 时，在 上 是增函数；在 上 是减函数；（ 2）见解析 . , ， 令，即 ,即证 . 令 ,根据函数的单调性即可证明结果 . （ 2） ， . 又 , . 两式相减得： , . , , 令 ，即 , 即证 . 令 , . 当 时， ， 为增函数， . 成立，所以原不等式成立 . 点睛： 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题 ,可以求函数最值的方法 , 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数 ，利用 恒成立 ； 恒成立 ，即可求出参数范围 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 是参数） . （ 1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）； （ 2）若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值 . 【答案】（ 1） ；（ 2） 或 【解析】试题分析： 本题（ 1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）先将直 l 的参数方程是 （ 是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联 解，求出对应的参数 的关系式，利用 ，得到 的三角方程，解方程得到 的值，要注意角 范围 试题解析： （ 1）由 得 ， , ， 曲线 的直角坐标方程为 ， 即 ； 23.