苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研数学试题（一）含解析

江苏省苏锡常镇四市 2017 届高三教学情况调研（一） 数学试题 一、填空题 1. 已知集合 ， ， _ 【答案】 【解析】 由 ，得： ，则 ，故答案为 . 2. 若复数 满足 （ 为虚数单位），则 _ 【答案】 【解析】 由 ，得 ，则 ，故答案为 . 3. 函数 的定义域为 _ 【答案】 【解析】 要使函数有意义需满足 ，解得 ，故答案为. 4. 下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果 是 _ 【答案】 【解析】 由题意列出如下循环过程： ； ； ； 不满足循环条件 ，输出 的值 ，故答案为 . 5. 某高级中学共有 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 个容量为 的样本，其中高一年级抽 人，高三年级抽 人则该校高二年级学生人数为 _ 【答案】 300 【解析】 由题意得高二年级应抽取 人，则高二年级学生人数为，故答案为 . 点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样 本，根据高一年级抽 人，高三年级抽 人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有 名学生，算出高二年级学生人数 . 6. 已知正四棱锥的底面边长是 ，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为 _ 【答案】 【解析】 正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长为 ，底面对角线长为 ，所以棱锥的高为 ，所以棱锥的体积为 ，故答案为 . 7. 从集合 中任取两个不同的数，则这两个数的和为 的倍数的概率为 _ 【答案】 【解析】 从 中任取两个不同的数，共有 6种情况，和是 3的倍数的有 ， 两种情况，所以根据古典概型公式得 ，故答案为 . 8. 在平面直 角坐标系 中，已知抛物线 的焦点恰好是双曲线 的右焦点，则双曲线的离心率为 _ 【答案】 2 【解析】 抛物线 的焦点坐标为 ，则在双曲线中 ， ，则离心率为 ，故答案为 . 9. 设等比数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，且 ，则 的值为_ 【答案】 2 【解析】 设等比数列 的公比为 ，首项是 ， 当 时，有 、 、 ，不满足 成等差数列； 当 时，因为 成等差数列，所 以 ，化简得，解得 或 （舍去）， 则 ，得 ，则 ，故答案为 2. 点睛：本题考查等比数列的前 项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前 项和公式时需要对公比与 1的关系进行讨论；设等比数列 的公比为 、首项是 ，根据公比 与 1的关系进行分类，由等比数列的前 项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简 可得 和 的值，故可求得 . 10. 在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与圆 交于 两点，其中 点在第一象限，且 ，则直线 的方程为 _ 【答案】 11. 在 中，已知 ，若点 满足 ，且 ，则实数 的值为 _ 【答案】 或 【解析】 中， ，点 满足 ， ， ，又 ，整理得 ，解得 或 ，故答案为 或 . 12. 已知 ，则 _ 【答案】 【解析】 由 ，得 ， 即 整理得： ，即 ， 而 ，故 ，故答案为 . 13. 若函数 ，则函数 的零点个数为 _ 【答案】 4 【解析】 当 时， ，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且，故 由两个解 ；当 时， ， ，故当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减； ，故 ，故 由两个解，综上可得函数 的零点个数为 4，故答案为 . 点睛：本题考查分段函数的应用， 函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对 ，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当 时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可 . 14. 若正数 满足 ，则 的最小值为 _ 【答案】 1 【解析】 由正数 满足 ，可得 ， 则 ， ， 又 ， 其中 ， 即 ，当且仅当 时取得等号， 设 ， 的导数为 ， 当 时， ， 递增， 时， ， 递减 即有 在 处取得极小值，也为最小值 ，此时 ， 则 当且仅当 ， 时，取得最小值 1，故答案为 1. 点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得 ， ，又，求出 ，当且仅当 时取 得等号，设 ，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值 . 二、解答题 15. 在 中， 分别为角 的对边若 ，且 （ 1）求边 的长；（ 2）求角 的大小 【答案】 （ 1） ;（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）由 ，利用余弦定 理化为： ，相加即可得出 ；（ 2）运用正弦定理结合题意可得： ，将其代入 中可解出 ，结合 的范围可得结果 . 试题解析：（ 1） （法一） 在 中，由余弦定理， ，则 ，得 ； ，则 ，得 ， + 得： ， . （法二） 因为在 中， ， 则 ， 由 得： ， ，代入上式得： . （ 2）由正弦定理得 ， 又 ， 解得 ， ， . 16. 如图，在斜三棱柱 中，侧面 是菱形， 与 交于点 ， 是棱上一点，且 平面 （ 1）求证： 是 中点； （ 2）若 ，求证： 【答案】 （ 1）见解析 ;(2)见解析 . 17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 （如图）设计要求彩门的面积为 （单位： ），高为 （单位： ）（ 为常数）彩门的下底 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不锈钢支架的长度和记为 （ 1）请将 表示成关于 的函数 ； （ 2）问当 为何值 最小，并求最小值 【答案】 （ 1） 函数为 ( )； （ 2）当 时， 【解析】 试题分析：（ 1）求出上底，即可将 表示成关于 的函数 ； （ 2）求 导数，取得函数的单调性，即可解决当 为何值时 最小，并求最小值 . 试题解析：（ 1）过 作 于点 ，则 （ ）， ，设 ， 则 ， ， ， 因为 S= ，则 ； 则 ( )； （ 2） ， 令 ，得 . 减 极小值 增 所以， . 答：（ 1） 函数为 ( )； （ 2）当 时， 18. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，椭圆的右顶点为 . （ 1）求该椭圆的方程； （ 2）过点 作直线 交椭圆于两个不同点 ，求证： 直线 的斜率之和为定值 . 【答案】 （ 1） （ 2）直线 . 【解析】 试题分析：（ 1）由题意可知 ， ，离心率 ，求得 ，则，即可求得椭圆的方程；（ 2）则直线 的方程： ，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线 ， 的斜率，即可证明直线， 的率之和为定值 . 试题解析：（ 1）由题 所以 ， . 所以椭圆 （ 2）当直线 合题意； 当直线 直线 代入 得 ， 设 ， ，则： ， ， ， 所以 ， ， 又 =1. 所以直线 . 19. 已知函数 （ 为正实数，且为常数） . （ 1）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围； （ 2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 【答案】 （ 1） .（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）对函数进行求导即 ，因 在 上单调递增，则 ，利用分离参数思想得 恒成立，即即 可；（ 2）分为 和 两种情形，当 时，结合（ 1）很容易得到结论，当 时，运用二次求导确定其单调性得解 . 试题解析：（ 1） ， . 因 在 上单调递增，则 ， 恒成立 . 令 ，则 ， x 减 极小值 增 因此， ，即 . （ 2）当 时，由（ 1）知，当 时， 单调递增 . 又 ，当 ， ；当 时， . 故不等式 恒成立 若 ， ， 设 ，令 ，则 . 当 时， ， 单调递减，则 ， 则 ，所以当 时， 单调递减， 则当 时， ，此时 ，矛盾 . 因此， . 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题； 考查恒成立问题，正确分离参数是关键 ，也是常用的一种手段 通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 或即可，利用导数知识结合单调性求出 或 即得 解 . 20. 已知 为正整数，数列 满足 ， ，设数列 满足 . （ 1）求证：数列 为等比数列； （ 2）若数列 是等差数列，求实数 的值； （ 3）若数列 是等差数列，前 项和为 ，对任意的 ，均存在 ，使得成立，求满足条件的所有整数 的值 . 【答案】 （ 1）见解析 ;（ 2） ; （ 3）当 N*，对任意的 N*，均存在 N*，使 . 【解析】 试题分析：（ 1）将 经过移项、两边同时除以 可得，故可得结论 为等比数列；（ 2）由 （ 1）得 ，代入得 ，由数列 是等差数列易知 ，代入可解得 ， ，将其进行检验得结果； （ 3）由（ 2）得 ，利用等差数列前 项和公式代入 ，解出 ，经讨论当 时符合题意，当 时不符合题意 . 试题解析：（ 1）由题意得 ，因为数列 各项均正， 得 ，所以 ， 因此 ，所以 是以 为首项公比为 2的等比数列 . （ 2）由（ 1）得 ， ， ， 如果数列 是等差数列，则 ， 得： ，即 ，则 ， 解得 ， . 当 时， ， ，数列 是等差数列，符合题意； 当 =12时， ， ， ， ，数列 不是等差数列， =12不符合题意； 综上，如果数列 是等差数列， . （ 3）由（ 2）得 ，对任意的 N*，均存在 N*，使 ， 则 ，所以 . 当 ， N*，此时 ，对任意的 N*，符合题意； 当 ， N*，当 时， . 不合题意 . 综上，当 N*，对任意的 N*，均存在 N*，使 . 21. 已知二阶矩阵 有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 对应的 变换将点 变换成 . （ 1）求矩阵 ； （ 2）求矩阵 的另一个特征值 . 【答案】 (1)M= . （ 2）矩阵 【解析】 试题分析：（ 1）先设矩阵 M= ，由二阶矩阵 有特征值 及对应的一个特征向量 及矩阵 对应的变换将点 换成 ，得到关于 的方程组，即可求得矩阵 ；（ 2）由（ 1）知，矩阵 的特征多项式为 ，从而求得另一个特征值为 2. 试题解析：设 M= ， M ， M ， 解得 即 M= . （ 2）则令特征多项式 ， 解得 的另一个特征值为 . 22. 已知圆 和圆 的极坐标方程分别为 . （ 1）把圆 和圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程 . 【答案】 （ 1）圆 的直角坐标方程为 ， 圆 的直角坐标方程为 ， （ 2）该直线的极坐标方程为 . 【解析】略 23. 如图，已知正四棱锥 中， ，点 分别在 上，且 . （ 1）求异面直线 与 所成角的大小； （ 2）求二面角 的余弦值 . 【答案】 （ 1） .; （ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）设 ， 交于点 ，以 为坐标原点， ， 方向分别是 轴、轴正方向，建立空间直角坐标系 ，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（ 2）将二面角用面的法向量所成的角表示 . 试题解析：（ 1）设 ， 交于点 ，在正四棱锥 中， 平面 . 又，所以 . 以 为坐标原点， ， 方向分别是 轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图： 则 ， ， ， ， 故 ， ， 所以 ， ， ， 所以 与 所成角的大小为 . （ 2） ， ， . 设 是平 面 的一个法向量，则 , ， 可得 令 ， ， ，即 ， 设 是平面 的一个法向量，则 ， ， 可得 令 ， ， ，即 ， ， 则二面角 的余弦值为 . 点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为 来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围 . 24. 设 ， 为正整数，数列 的通项公式 ，其前 项和为 . （ 1）求证：当 为偶数时， ；当 为奇数时， ； （ 2）求证：对任何正整数 ， . 【答案】 （ 1）当 ；当 ;（ 2）见解析 . 【解析】 试题分析：（ 1）当 为偶数时，易得 ，当 为奇数，即 时，分为 和 两种情形分别讨论；（ 2）利用数学归纳法证明 . 试题解析：（ 1）因为