上海海事大学高数第二学期期末考试试卷

上 海 海 事 大 学 试 卷 2009 2010 学年第二学期期末考试 高等数学 A（二） （A 卷） （本次考试不能使用计算器） 班级 学号 姓名 总分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) 1、设 ，则 =（ ）fxyxy()3231fy(,)32 (A) 41 (B) 40 (C) 42 (D) 39 2、设圆域 D：x 2+y21,f 是域 D 上的连续函数，则 答 ( ) 3、如果 ,则幂级数81limna03nxa (A)当 时,收敛；2x (B) 当 时,收敛； (C) 当 时,发散；81x 题 目 一 二 三 （1） 三 （2） 三 （3） 三 （4） 三 （5） 三 （6） 三 （7） 得 分 阅卷人 - 装 订 线- 2 (D) 当 时,发散；21x 答( ) 4、设 为球体 x2+y2+z21,f(x,y ,z)在 上连续，I= x2yzf(x,y2,z3),则 I= (A) 4 x2yzf(x,y2z3)dv (B) 4 x2yzf(x,y2,z3)dv (C) 2 x2yzf(x,y2,z3)dv (D) 0 答 ( ) 5、设 L 是圆周 x2+y2=a2 (a0)负向一周，则曲线积分 （ ） 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) 1、设 ， 则 )ln()22zyxzyxf2,1(fdgra 2、 z处 全 微 分在 ,01(,2 3、设 L 为圆周 ，则 2yxLsx2 4、如果幂级数 在 = -2 处条件收敛，则收敛半径为 R= na 5、曲面 在（1，2，0）处切平面方程为 3xyez 三 计算题（必须有解题过程） （本大题分 7 小题，共 60 分） 1、 （本小题 8 分） 已知 ，试求：22)1()(lnyxu 2yux 第 3 页 共 39 页 2、 （本小题 8 分） 求函数 的极值。23yxyz 3、 （本题 12 分，每题 6 分） 判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。 （1） 12)(nn 4 （2） 14)(nn 4、 （每小题 8 分） 在 内把函数 展开成以 为周期的正弦级数。0,fx2 第 5 页 共 39 页 5、 （本小题 8 分） 计算 ， 为曲面 所围立体表面外侧。xydzdyx22 21zxyz和 6、 （本小题 8 分） 已知 满足 为正整数，且)(xfn nexffnn,)(1 nef)1( 求： 1nf 6 7、(本小题 8 分) 已知 连续，且满足 ，求 。(xf xdtfxf0)(sin)( )(xf 高等数学 A（二） （A 卷）(答案) 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分 , 共 20 分) 1、(C) 2、(A). 3、( A ) 4、 D 5、 （A ） 二、填空题(本大题分 5 小题 , 每小题 4 分, 共 20 分) 1、 , 2、 dyx 3、 4、2 5、 06yx 三、解答下列各题 (本大题共 7 小题，总计 60 分 ) 1、(本小题 8 分) 第 7 页 共 39 页 4 分2222 )1()()1()( yxyxu x解 ： 22)()(y 7 分2222 )1()()1()( yxyxuy 。 （8 分）0 2、(本小题 8 分) 解：由 ，得驻点 3 分 0632yzxyx )2,(0),(, 5 分xxzD1)(3y06)2,(,06)2,( 036)2,(036),( x D 点 非极值点；函数 在点 处取极大值 ； 7 分z(,)z(,) 在点 处取极小值 。 8 分),(),(4 3、(本小题 12 分) （1）解： ,)12(nnu 。 原 级 数 收 敛,14lim2nnn 6 分 或 ，所以原级数收敛。 nnu4120 （2）解： ， 3 分lim1nn 收敛，所以原级数绝对收敛。 6 分1nu 8 4、(本小题 8 分) 解：在 内对 做奇延拓，延拓后所得函数的 Fourier 系数 1 分,0fx 3 分ann012, bxn0sid2020nxnnxcoscosd ,321, 6 分 由 在 内连续，单调，故在 内fx0,0, 8 分f nx21si 5、(本小题 8 分) 解：原式= 4 分dvyx)0( = 6 分1022 )sinco(r dzr =0 8 分 6、 （本题 8 分） 解： ， 3 分)(xfn)Cen 由 ，得 C=0，所以 = 4 分fn)1( )(xfnex ， 7 分 1)(nxf )1l(1exn 收敛域 。 8 分, 7、 （本题 8 分） 解： 4 分0()cos(),sin(),xfxftdxfx ()sinfx 解得： ，且 7 分121cscoC0,1 第 9 页 共 39 页 得 ，所以 8 分120,C1()sincos2fxx 上 海 海 事 大 学 试 卷 2009 2010 学年第二学期期末考试 高等数学 A（二） （B 卷） （本次考试不得使用计算器） 班级 学号 姓名 总分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) 1、设 ，则 =（ ）fxyxy()3231fx(,)32 (A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 55 2、设函数 ，则 （ ）zxy232 （A）函数 在点 处取得极大值(,)0 （B）函数 在点 处取得极小值z （C）点 非函数 的极值点(,) （D）点 是函数 的最大值点或最小值点，但不是极值点 0z 3、若幂级数 的收敛半径为 R,那么 ( ) 0nxa 题 目 一 二 三 （1） 三 （2） 三 （3） 三 （4） 三 （5） 三 （6） 三 （7） 得 分 阅卷人 - 装 订 线- 10 (A) ,Ran1lim (B) ,n1li (C) ,Rali (D) 不一定存在 .n1lim 4、设 1:x2+y2+z2R 2, 2:x2+y2+z2R 2;x0;y 0;z0.u=f(t)是(,+) 上的偶函数，且在(0，+) 上严格单调增加，则 （ ） (A) x f (x)dv=4 x f (x)dv (B) f (x+z)dv=4 f (x+z)dv (C) f (x+y)dv=4 f (x+y)dv (D) f (xyz)dv=4 f (xyz)dv 5、微分方程 满足条件 的解是e22 1)0,)(y （A） （B）1eyx 12ex （C） （D ）y2 y 答（ ） 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) 1、设 ， 则 22)zyxzyf)2,1(fdgra 2、 zez 则 全 微 分的 函 数是确 定 了 ,1 3、设 L 为圆周 ，则 42yxLsx)(2 4、如果幂级数 在 = 4 处条件收敛，则收敛半径为 R= na 5、x 2y 2+z2=3 在点（1，1，1）的切平面方程为 三 计算题（必须有解题过程） （本大题分 7 小题，共 60 分） 1、 （本小题 8 分） 已知 ，试求：21lnyxz2yux 第 11 页 共 39 页 2、 （本小题 8 分） 试求曲面 4z=x2+y2 含于球面 x2+y2+z2=12 内部部分曲面的面积。 3、 （本题 12 分，每题 6 分） 判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。 （1） !2n 12 （2） 1)ln()(n 4、 （本小题 8 分） 在 内把函数 展开成以 为周期的余弦级数。,0fx()2 第 13 页 共 39 页 5、 （本小题 8 分） 计算 ， 为曲面 所围立体表面外侧。zdxyydzx22 1z2和yxz 6、 （本小题 8 分） 求微分方程 的一条积分曲线，使其在原点处与直线 相切。yy230yx4 14 7、(本小题 8 分) 设 ，其中 在 内满足 ，(xgfxF)(,xgf, fgf, 且 ， ，求：0)ef2) 1） 满足的方程， 2）(x)(xF 高等数学 A（二） （B 卷）(答案) 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分 , 共 20 分) 1、(B) 2、(C). 3、( D ) 4、 D 5、 （C ） 二、填空题(本大题分 5 小题 , 每小题 4 分, 共 20 分) 1、 , 第 15 页 共 39 页 2、 xyezd 3、 8 4、4 5、 01zyx 三、解答下列各题 (本大题共 7 小题，总计 60 分 ) 1、(本小题 8 分) 4 分21yxu xx解 ： 7 分2y 。 （8 分）21yxuyx 2、(本小题 8 分) 3、(本小题 12 分) （1）解： ,0!2nu 。 所以级数收敛 6 分1limli1nn （2）解： ，级数加绝对值发散 3 分nnn)1l(,)l(1 16 又 收敛，所以)2ln(1)l(,0)1ln(im 原级数条件收敛。 6 分 4、(本小题 8 分) 解：对 在 内作偶延拓， 1 分fxx,0,)0 所以 bnn123 ， 2 分ax02()d ,321,)1(2cos2 dsinsin0 000nxn xxnn 所以， 6 分a22124,(), 故在 内 。8 分,0fxnxncos()211 5、(本小题 8 分) 解：原式= 4 分dvy)12( = 6 分02 )1sin2co(r dzr = 8 分31 6、 （本题 8 分） 方程的通解为 （3 分）xxeCy321 由已知 ，代入上式得(),()04 （7 分）12 故所求积分曲线的方程为 第 17 页 共 39 页 （8 分）yex3 7、 （本题 8 分） 解：1） 2 分fgfgfgfF)(22 4 分xex4)( 2） ， 6 分xxddCee2224)( ，C=-1 8 分0FxeF)( 上 海 海 事 大 学 试 卷 2009 2010 学年第二学期期末考试 高等数学 A（二） （C 卷） （本次考试不能使用计算器） 班级 学号 姓名 总分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) 1、设 ，则 =（ ）132)(3yxxyf ),3( yf (A) 21 (B) 20 (C) 22 (D)19 2、设上半圆域 D：x 2+y21, f 是域 D 上的连续函数，则0 dfD)(2 102102 )()()()( drfdrfCBA 题 目 一 二 三 （1） 三 （2） 三 （3） 三 （4） 三 （5） 三 （6） 三 （7） 得 分 阅卷人 - 装 订 线- 18 3、如果 ,则幂级数41limna 02nxa (A)当 时 ,收敛；2x (B) 当 时,收敛； (C) 当 时,发散；41x (D) 当 时,发散；2 答( ) 4、设 为球体 x2+y2+z21,f(x,y ,z)在 上连续，I= xyzf(x2,y,z3)dv,则 I= (A) 4 xyzf(x2,y,z3)dv (B) 4 xyzf(x2,y,z3)dv (C) 2 xyzf(x2,y,z3)dv (D) 0 答 ( ) 5、设 L 是圆周 x2+y2=1 正向一周，则曲线积分 d)(424DCBA 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) 1、设 ， 则 22)zyxzyf)2,1(fdgra 2、 zx处 全 微 分在 ),01(,2 3、设 L 为圆周 ，则 2yLsy2 4、如果幂级数 在 = 3 处条件收敛，则收敛半径为 R= nxa 5、曲面 在（1，2，0）处切平面方程为 yez 第 19 页 共 39 页 三 计算题（必须有解题过程） （本大题分 7 小题，共 60 分） 1、 （本小题 8 分） 已知 ，试求：2lnyxz2yzx 2、 （本小题 8 分） 求函数 的极值。13623yxyz 3、 （本题 12 分，每题 6 分） 判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。 （1） )12(nn 20 （2） 13)(nn 4、 （每小题 8 分） 在 内把函数 展开成以 为周期的正弦级数。0,xf2 5、 （本小题 8 分） 计算 ， 为曲面 所围立体表面外侧。xydzxdy21zxyz和 第 21 页 共 39 页 6、 （本小题 8 分） 求微分方程 的一条积分曲线，使其在原点处与直线 相切。yy230yx4 7、(本小题 8 分) 设 ，其中 在 内满足 ，(xgfxF)(,xgf, fgf, 且 ， ，求：0)ef2) 1） 满足的方程， 2）(x)(xF 。 高等数学 A（二） （ C 卷)答案 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 22 (本大题分 5 小题, 每小题 4 分 , 共 20 分) 1、A 2、B 3、A 4、 D 5、 B 二、填空题(本大题分 5 小题 , 每小题 4 分, 共 20 分) 1、 , 2、 dyx 3、 4、3 5、 0yx 三、解答下列各题 (本大题共 7 小题，总计 60 分 ) 1、(本小题 8 分) 4 分221yxz xx解 ： 2yy 7 分221xzy 。 （8 分）0yx 2、(本小题 8 分) 解：由 ，得驻点 3 分 06312yzyx )2,4(0),(, 5 分2xxzD1)(3y02),4(,07),4( 072),(072),( x D 点 非极值点；函数 在点 处取极大值 ； 7 分2z(,)1),(z 在点 处取极小值 。 8 分),(35),( 第 23 页 共 39 页 3、(本小题 12 分) （1）解： ,)12(nnu 。 原 级 数 收 敛,12limnn 6 分 （2）解： ， 3 分31linn 收敛，所以原级数绝对收敛。 6 分1nu 4、(本小题 8 分) 解：在 内对 做奇延拓，延拓后所得函数的 Fourier 系数 1 分,0fx 3 分ann012, 0dsixbn 0dcos2cos2xnnx ,321,)1( 6 分 由 在 内连续，单调，故在 内fx0,0, 8 分 1sin)(2nxf 5、(本小题 8 分) 解：原式= 4 分dv)0( =2V 6 分 = 8 分32 6、 （本题 8 分） 方程的通解为 24 （3 分）xxeCy321 由已知 ，代入上式得y(),()04 （7 分）12 故所求积分曲线的方程为 （8 分）yex3 7、 （本题 8 分） 解：1） 2 分fgfgfgfF)(22 4 分xex4)( 2） ， 6 分xxddCee2224)( ，C=-1 8 分0FxeF)( 第 25 页 共 39 页 上 海 海 事 大 学 试 卷 2009 2010 学年第二学期期末考试 高等数学 A（二）(船) （A 卷） 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、设 L 为下半圆周 将曲线积分 化为定积分的12yx0(Ldsyx)2( 正确结果是 （ ） dttA)sin(co)0 ttB)sin(co)0 ttC2i dttD2i23 2、设为平面 在第一卦限的部分，则 =（ ）143zyx Syxz)34( )21(026)(xdyA、 302461)(dB、 30)1(2043)(xCy、 )21(302)(xyD、 3、设 具有二阶连续导函数，而 ，则 =fr()rxufr2,()2uxy (A) (B) f ff()1 - 装 订 线- 26 (C) (D) frf()()1rf2() 答（ ） 4、设 是曲面 在点 P(1,1,1)处指向内侧的法向量,n6322zyx 则 在点 P 沿 方向的方向导数为（ ）zun (A) (B) (C) 12 (D) -121614 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、级数 的收敛半径为 12)(nnx 2、微分方程 为常数）用待定系数法确定的特解（系数值不必求）yx64si()( 形式是 3、设函数 由方程 所确定，则 ),(xzyezdz 4、设 ，已知 是 的以 为周期的f xx(),0220Sx()f2 正弦级数展开式的和函数，则 = S94 三 计算题（必须有解题过程） （本大题分 10 小题，共 68 分） 1、(本小题 7 分) 设 连续函数，化二重积分,(yxf Ddyxf),( 为极坐标系下的累次积分(先 )其中 D：r2 2、(本小题 6 分) 设 ，求 。xyzlnxz 3、(本小题 8 分) 求函数 的极大值点或极小值点。yxy3261 4、(本小题 8 分) 设有可微函数 满足 ，求 所满足的微分方程并求解。fx()0xttfef0)(d)(2fx() 第 27 页 共 39 页 5、(本小题 5 分) 判别级数 的敛散性 12sin 6、(本小题 5 分) 判别级数 的敛散性，若收敛，说明其是绝对收敛还是条件收敛 1cosn 7、(本小题 8 分) 试将函数 展开为 的幂级数2arctxy 8、(本小题 8 分) ， 被 z=0 所截上侧。22()xzdzdxzy 2:1zxy 9、(本小题 7 分) 若对平面上任何简单闭曲线 ，恒有 ，其中 在LL yxfxyf 0d)()(2fx() 内具有连续的一阶导数，且 ，试求 。(,)02 10、(本小题 6 分) 已知 收敛。 1212,1nnnaxaxf 证 明 ： 28 试卷号： 高等数学 B（二） （船） （A 卷） (答案) 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 4 分 , 共 16 分) 1、答：D 2、A 3、(C) 4、B 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 4 小题, 每小题 4 分 , 共 16 分) 1、2 2、 yxx*(cosin 3、 zed 4、 S934 三、解答下列各题 (本大题共 10 小题，总计 68 分) 1、(本小题 7 分) 7 分cos02 )sin,(rdrfdI 2、(本小题 6 分) （6 分）xz1 3、(本小题 8 分) 第 29 页 共 39 页 由 ，得驻点 3 分 012632yxzy (,),2194Dzxyx 36 6 分zx(,),02912940D14, 点 非极值点。(,)02 函数 无极大值点，在点 处取极小值。 8 分z1294, 4、(本小题 8 分) （2 分）tfexfxtd)(022 （3 分）)()(f 故 所满足的微分方程是fx （4 分） 1)0()(2fxf 6 分Cx C=1， 8 分2)(xf 5、(本小题 5 分) 解： ,0sinu 同 发 散 。原 级 数 与 1,21limnnu 5 分 6、(本小题 5 分) ， 所以原级数条件收敛。 5 分1(cosn21,0linn 30 7、(本小题 8 分) 解： , 4 分 044121nnxxy 。 8 分1200 nnn 1,x 8、(本小题 8 分) 补一曲面 下侧。则原式= 3 分2:1xy11A = 6 分dv)( = 8 分23 9、 （本小题 7 分 ） 解： ， 2 分 2)()(xfxyff2d 5 分 21)(xCexf 由 ，求得 ，故 03231)(xef （7 分） 10、 （本小题 6 分 ） 证明： 2 分1,1)1( 112 nnnn xaxaxax )( 20010210 nnnna 4 分,1210nanaaann ,3,2, 1230122 （部分和，拆项） 。 1212,0limnn a 第 31 页 共 39 页 所以级数收敛 6 分 上 海 海 事 大 学 试 卷 2009 2010 学年第二学期期末考试 高等数学 A（二） （船） （B 卷） （本次考试不得使用计算器） 班级 学号 姓名 总分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、设 C 表示椭圆 ，其方向为逆时针方向，则曲线积分 ( )192yx Cdxy)2( (A) 36; (B) 0; (C) 20; (D) 18 2、设为柱面 x2+y2=1 被平面 z=0 及 z=3 所截得的第一卦限部分，则 = （ ）dzd （A） ； （B） ；1302yzd12023 （C） ; （D ） .rdd2 rcos 三题 目 一 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分 阅卷人 - 装 订 线- 32 3、设 ，那么 （ ）yxyxzarcsin)1(2)1,(z (A) 0 ; (B) 2 ; (C) 2 ; (D) 2+ .2 4、旋转抛物面 z=x2+2y2-4 在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ ） （A） ; （B ） ;41zyx 141zyx （C） ; （D ）22 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、级数 的和函数为 02!)1(nnx 2、微分方程 用待定系数法确定的特解形式是 yx4cos 3、设 由 给出， 可微(,)zx(,)0zFy),(vuF 则 y 4、交换 得 221(,)ydfxd 三 计算题（必须有解题过程） （本大题分 10 小题，共 68 分） 1、(本小题 7 分) D 由 围成，求0,1,xyxDxd 2、(本小题 6 分) 第 33 页 共 39 页 设 确定了 z 是 x， y 的二元函数，求 。13xyz xz 3、(本小题 8 分) 求 的极值点和极值。yexyxf)2(, 4、(本小题 8 分) 求解微分方程 的通解()0ydxy 34 5、(本小题 5 分) 判别级数 的敛散性 132)(cosn 6、(本小题 5 分) 判别级数 的敛散性，若收敛，说明其是绝对收敛还是条件收敛 1,)(sin11 a 7、(本小题 8 分) 试将函数 展开为 的幂级数。231(2xf x 第 35 页 共 39 页 8、(本小题 8 分) 计算 其中是球面 x2+y2+z2=1 的外侧。 。dxyzyxdz222 9、(本小题 7 分) 为全微分方程，其中函数 连续可微，0)()( 2dyx