上海海事大学 2008–2009年第1学期 《高等数学b》课程期末考试试卷及解析

上海海事大学 20082009 年第 1 学期 高等数学 B课程期末考试试卷 A 2009.1 考生姓名： 班级： 学号： 题序 一 二 三 四 总 分 得分 评卷人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 2 分 , 共 8 分) 不 存 在 ， 则等 价 于时 ，、 若 当 )(1)()(1)( )(lim00xDCBAfxfx上 实 根 的 个 数 为在则、 若 )4,0()( ,4322xf （A）5 （B）2 （C ）3 （D）4 3、设 是奇函数且在 =0 处可导，则 在 =0 处为 （ ） )(fxxf)( (A)跳跃间断点. (B)可去间断点. (C) 无穷间断点. (C) 连续点. 4、下列广义积分发散的是（ ） 1112 )()(ln)()()( dxDdxCdxeBdxAe 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分 , 共 15 分) 1、 的单调增加区间为 2)(xy 2、若 ，则 k= 81limxkx 3、设 ，则 的拐点坐标为 dtf02arcn)( )(xf 4、 = dx1sin2 20 25dx、 确 定 定 积 分 三、计算题 （必须有解题过程） (本大题共 8 小题，总计 56 分) 1、 (本小题 7 分) 已知 ，求xxyarcsin12dy 2、 (本小题 7 分) 求曲线 在（0，0 ）处的切线方程yxysin21 3、 (本小题 7 分) 。求确 定 了 函 数设 dxyyteyxt )(sinco 4、 (本小题 7 分) 1lnim1xx求 极 限 5、 (本小题 7 分) 求 dxe1 6、 (本小题 7 分) 求 02cosxd 7、 (本小题 7 分) 。的 凹 凸 性 与 拐 点 坐 标试 求 曲 线 532xy 8、( 本小题 7 分) 。1010 2)ln()(大 小与不 计 算 积 分 ， 试 比 较 dxdx 四、应用与证明题 （必须有解题过程） ( 本大题共 21 分 ) 1、 （本小题 8 分） 最 小 值 。围 成 的 平 面 图 形 的 面 积求 曲 线 与 这 两 条 法 线 所两 条 法 线 作 曲 线 的及轴 交 点过 此 曲 线 和设 曲 线 , )0,2(,).0(42 xaxy 2、 （本小题 7 分） 天地校园行到海事大学演出，其道具有某运输公司承运，已知车辆运行费用 由油费和其他费用组成，已知速度为 60km/h，油费为 12 元/h ；其他费用 27 元/h ，且 油费和它的速度的平方成正比，假设道路通畅，限速 110km/h，问车辆速度为多少时 ，每公里所需费用总和最小？ 3、 ( 本小题 6 分 ) 唯 一 。时 ， 并 证 明 若为 曲 边 的 梯 形 的 面 积 ，上 以，等 于 为 高 的 矩 形 面 积上 以，使 得证 明 ： 存 在 上 可 导 ，上 非 负 连 续 ， 在，在已 知 ： 00 0021, 1xfxffyxfxf 上海海事大学 20082009 年第 1 学期 高等数学 B课程期末考试 A 试卷解答 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 2 分 , 共 8 分) 1、 B 2、C 3、B 4、 C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分 , 共 15 分) 1、 或)0 2、 ln 3、 ),( 4、 Cx1cos 5、 2 三、计算题 (本大题共 8 小题，总计 56 分) 1、 5 分2222 11xxy 7 分 dd2 2、解： ， 4 分yycos21ycos2 。 7 分03,xK切 线 ： 3、解： 4 分 )cs(in),sin(co) tetytetxtt 7 分tdyi 4、 4 分1lnm:1x x原 式解 7 分21lix x 5、令 2 分duxuxex 221),ln(,1 6 分Cdxarctn2 = 7 分ex1arctn （或 ）C2si 6、 4 分002 sin2ixdxdx原 式 7 分)co(s 7、解： 3 分1,6;632 xyxy得 ，所以凹区间（1，+）0,1 凸区间为 （-，1） 6 分 拐点（1，3 ） 7 分 8、解： ， 3 分2)ln()xx 011)( 2 xx 5 分2)ln(0,()( 单 调 增 加 ， 7 分1010 2)l()(dxdx 四、应用与证明题 ( 本大题共 20 分 ) 1、 （本小题 8 分） 1 分解 法 线:,(,:().yaxyayax24142 3 分202)14().4(dxaxaS 是 偶 函 数 5 分 2384213202().()axaxSaaSaS, .().00683 为 最 小 8 分.368,86最 小时当 )2(41xay )2(41xay 2、 （本小题 7 分） 解：设速度（率）为 ，行驶 1km 所需总费用为 y（元） ，速度为 ，km/hx km/h 燃料费为 p， ， ， 3 分12360p30 2xxx270)3(12 ， ，且 ，所以当速度为 90km/h 时9,712xy)(y 每公里所需费用总和最小。 7 分 3、 ( 本小题 6 分 ) 证：设 ， 2 分1(xdtfF1)()(xdtfF)(xf0,0)(role定 理由 即 4 分)(10ftfx 唯一性： )(2)(,)1 xffxfdtx ， 5 分0)(,)(2,)()( xfxfxff 严格单调减，故 唯一。 6 分0 (本题第一问若用零点定理无法说明端点扣 2 分)。 上海海事大学 20082009 年第 1 学期 高等数学 B课程期末考试试卷 B 2009.1 考生姓名： 班级： 学号： 题序 一 二 三 四 总 分 得分 评卷人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） ( 本大题分 4 小题, 每小题 2 分, 共 8 分).arctn)()(arctn) ;,1arct12 CxDCxBAIdxI 则、 设 91)1()(9)( 20)1 C98)()(25 152 16120 xfDCxf CBA xdtftff x， ， ， ， 则 必 有 ， 的 连 续 函 数 ， 满 足 方 程为、 若 1)( 0)( 21 0d)1()(、3 20aDaCBAxfxteft 点 连 续 ， 则 必 有在且 已 知 ，若 上 实 根 的 个 数 为在则、 若 )4,()( ),4(34xf xx （A）5 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分 , 共 15 分) 1、 ， 则设 _8)(limaaxx 2、 )1(3ln2yxeyx， 则设 badf abfaff)( )()(3则 ，有 连 续 的 二 阶 导 数 ， 且若、 4、 = 12x 5、 1)(d 三、计算题 （必须有解题过程） (本大题共 8 小题，总计 56 分) 1、 (本小题 7 分) 已知 dyxxy求,2arctn4(2 2、 (本小题 7 分) 求常 数 是 不 为 零 的其 中确 定 了 函 数 设 2, ,),(cosindxybaxyba 3、 (本小题 7 分) .d132xx求 4、 (本小题 7 分) 计 算设 10 1 )(2 dtfIdxetft 5、 (本小题 7 分) 求 02sinxd 6、 (本小题 7 分) 验 证 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数满 足 方 程 xyyxln()()102 7、 (本小题 7 分) 之 值 求 极 限 301)sin1limxx 8、 (本小题 7 分) 102102)1ln( 大 小与不 计 算 积 分 ， 试 比 较 dxdxx 四、应用与证明题 （必须有解题过程） ( 本大题共 21 分 ) 1、 （本小题 8 分） 曲线 y=x36x 与 y=x2 所围成图形的面积。 2、 （本小题 7 分） 所 需 费 用 总 和 最 小 ？时 ， 航 行， 问 轮 船 的 速 度 为 多 少元 费 用 是， 而 其 他 与 速 度 无 关 的元燃 料 费 为速 度 为 成 正 比 ， 已 知料 费 和 它 的 速 度 的 立 方一 艘 轮 船 在 航 行 中 的 燃 kmh1/96/h6km/,10 3、 （本小题 6 分） ),()(,)( 321030 xffxffxf 且上 具 有 三 阶 导 数在设 210x其 中 .0,30x使内 存 在试 证 明 在 上海海事大学 20082009 年第 1 学期 高等数学 B课程期末考试 B 试卷解答 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 2 分 , 共 8 分) 1、 C 2、 B 3、 C 4、 D 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分 , 共 15 分) 1、 2ln 2、 3e 3、 2()ab 4、 / 5、 ln2 三、计算题 (本大题共 8 小题，总计 56 分) 1、 5 分2arctnxy 6 分 dd)1t(2 2、解： 3 分tgabdxycosin 7 分b 22231ecscos 3、解： xdx21 1 分32() 3 分21122232() ()xxxd 5 分)()(134d 7 分.)1(83)1(4334272cxx 4、解： Itfdtedtexxt()()01101222 4 分tdtedx 21013244140ettt() 7 分4()e 5、解： 3 分02sin1xdI 4 分 = 7 分42 6、解： 4 分yx0 7 分)1(2yxy两 边 同 乘 7、解： 4 分原 式 limln(si)xxe013 7 分li(i)x03 10 分sn21 8、解： ， ， 3 分221)l()( xxxf 令 fx()ln)12 .1)ln(1 0)(,),0(,022xx fxfff 即单 调 增在时当 5 分 7 分102102)l( dxdxx 四、应用与证明题 ( 本大题共 20 分 ) 1、 （本小题 8 分） 解：交点为 1 分)9,3(42,0( 5 分03223 )66dxxdxS 8 分15 2、 （本小题 7 分） 解：设速度（率）为 ，行驶 1km 所需总费用为 y（元） ，速度为 ，km/hx km/hx 燃料费为 p， ， ， 3 分610 3103xpx9610)9610(23 ， ，所以当速度为 20km/h 时2,92xxy)(y 每公里所需费用总和最小。 7 分 3、 ( 本小题 6 分 ) 2 分 上 满 足 罗