中国矿业大学(徐州)0401级数学分析(1)期末试题a与答案

中国矿业大学理学院 2004 级课程考试试卷 2005.01.19. 一、叙述题(每题 5 分共 20 分) 1叙述函数 在区间 上有界、无界的定义，以及函数 在区间 上的上确界和下)(xfI )(xfI 确界的定义。 (答案略,见教材) 2 叙述极限 存在的 Cauchy 准则，再据此叙述 不存在的充要条件。)(limxfax )(limxfax (答案略,见教材) 3叙述 在区间 上一致连续和不一致连续的定义。)(fI (答案略,见教材) 4用“ ”语言叙述函数 在区间 上 Riemann 可积的定义。f,ba (答案略,见教材) 二、计算题（每题 8 分共 40 分） 1 设 ，求极限)0,(limaann nlim 【解】取 满足 ，由 知， ，当 时，有00anli Nn00 从而 nnaa00 上式两边取极限并利用结论 ( 为常数)和迫敛性得1limnc1limna 2设 ，求 使 在点 可导。3)(2xbaxf ba,f3x 【解】首先要在点 连续知, （*）93 下面可用导数极限定理或定义来做。 用导数极限定理来做： ， ，32)(xaf 6)0(f af)03( 从而 ，603ff ff 要可导即要求 得 再由（*）式得)3(ff6a9b 用定义来做： 3lim3)(li)3( 2 xxffx 39)(lili)(li)( 3233 xbabaff xxx （也可用洛必达法则求导得）ax3(*)lim式由 其它同上 3求 )1ln(li2In 【解】 21)ln(im llim2012 ttxxtx 上一步用 LHospital 法则和 Taylor 展开都可以做 用 LHospital 法则: 21)(li21li)1ln(i 0020 ttt ttt 用 Taylor 展开: (lim)l(i 2020 tottt 4 求 1 )ln(lim4si02xdtIxx 【解】(下面用到等价无穷小和 LHospital 法则等)4sin021)l(l2xdtIxx 1sinlm)sin1l(icosin)siln(im202030 xxxx 第页 共 7 页 5 求 02cos1indxI 【解】 020202 )(cos1incos1ini dttdxtItdttdt020202 icos1incos1in 从而 4)(2cosartnssi 200202 ttI 三、证明题（每题 10 分共 40 分） 1设函数 在点 存在左右导数，试证 在点 连续。f0xf0x 【证】由 存在知，)()(lim000 xffx1)(offf 从而 ，即 在 左连续。同理由 存在，知 在 右连)(li00x)(xf0)(0xf)(xf0 续。综上, 在 处连续f 注以上也可用增量公式写 2证明：当 时，0x1)ln(x 【证】对 在 用 L-中值定理)1l()f, ,1)0(ln0( xfxfx ),0(x ，1)1ln( )ln(x 3 设 为 上的非负可积函数，在 连续且 ，f,ba,0ba0)(xf 证明： 。0)(adx 【证】不妨假设 。bxa0 由连续函数的性质，存在 ，当 时，有),(,(baU),(0xU2100fxf 从而 bxxxaba dfdfdfdf 000 )()()()(0x2100 x 4. 设 是 上的连续增函数，f,baaxaf bdtxF)(1 试证明 也是 上的增函数。F,ba 【证】当 时，由(x 0)()()()()( 22 axfaxffaxdtffFx （以上用到了积分中值定理）知 在 上增，又F,(b (这里用了洛必达法则)1)lim)(li ffxaax 知 在点 连续，从而 在 上增。)(F, = 以下是备用题 求 210tanlimxxI 第页 共 7 页 【解】 而2 2)tanl(1tanxxe )(31)(31ln()(3ltl 223 xoxoxox )1limanli 2020 xx31eI 求 dx 【解】当 时，0 1Cexdexxx 当 时，x 2ex 由 的连续性可得， ，这样d112C （ 为任意常数）02xexexx 求 （ ）)1(coscos1lim)(n nxnf R 【解】当 时，显然原式0x 当 时，原式 xtxtdxini sinis1sl 1001 综上 01si)(xxf 设 在 上可导，且)(f,anax anfdfe10 )1()( 证明， 使 。,0)(f 【证】令 ，则 。由积分中值定理，存在 使)()(xfeFa)(afFn10)()(1101fedxfenaax 再由条件知 。对 在 上用 Rolle 中值定理得：)(1afF)(F,1 使：,0),(0)(0)()( ffea 设 是区间 上的凸函数，证明 在 的任一内点（非区间端点）上连续。)(xfIfI 【证】 （I）首先证明对任意固定的 弦斜率函数 是增函数。这x0 0)()(xfxk 一点由凸函数的充要条件：对 上任意三点 有I321231312 )()()( xffxffxff 易知。 (II) 其次证明对 的任一内点 ， 和 都存在。当 时，由 是I0)(0f)(0f0)(xk 增函数且 有界（这里任取 固定） ，由单调有界020)()( xfxfxk 02x 定理，得 存在。同理 存在。)(lim0fx )(f (III)最后证明 在 的任一内点上连续。由 存在，即I )()(lim000 xfxfx ，即得 在 左连续。同理由 存在，)(1)()(00oxfxff f )(0xf 得 在 右连续。因此 在 处连续f 设 在点 二阶可导，证明fa 第页 共 7 页 20 )()(lim)(hafaffh 【证】不 haffhffh