中国矿业大学11级数学分析(2)试题(a卷)

中国矿业大学 1112 学年第 2 学期 数学分析(2) 试卷 (A) 考试时间：120 分钟 考试方式：闭卷 学院_班级_姓名_学号_ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 阅卷 一 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 下面命题不正确的是（ ） A 若 在 上可积，则 在 上也可积；f,abf,ab B 若 在 上可积，则 在 上也可积； C 若 在 上可积，则 在 上也可积； 2f,f, D 若 在 上可积，则 在 上也可积.ab 2ab 2. （ ） 210limdxxte A ； B ； C ； D 10e 3. 下列反常积分中，发散的是（ ） A ； B ； C ； D 1320sindx120dx21dlnx231d()x 4. 下列级数绝对收敛的是（ ） A ；B ；C ；D 1 ()ln1()6n1()nn1()ne 5. 若级数 收敛，则 （ ） 21na1na A 条件收敛； B 绝对收敛； C 发散； D 可能收敛，也可能发散 2 二、填空题（每题 4 分,共 20 分） 1 . 334lim2nn 2 .0 dx 3. . 1l 4 的收敛域为 . 1 3(2)1nnx 5. 若将 展开为余弦级数，则当 时该级数收敛于 . 2()(0)f12x 三（10 分）用可积准则证明：若 为 上的连续函数，则 在 上可积.f,abf,ab 四 （10 分）设 在 上可导，且 证明： 使)(xf0,2120()d(2)xeff (0,2) .)(f 3 五（10 分）求由抛物线 与它在点 的切线及 的切线所围243yx(0,3)A(3,0)B 区域的面积. 六（10 分）将函数 在 展开为幂级数. 1()arctnxfx0 4 七（10 分）把函数 展开为傅里叶级数. ,0,()xf 八（10 分） （1） （数学与物理专业做）证明函数 22,0(,)0xyf 在点 连续且偏导数存在，但在 不可微)0,( ),( （2） （力学专业做）证明：若 收敛，且存在极限 ，则 .dafxlim()xfA0 5 中国矿业大学 1112 学年第 2 学期 数学分析(2) 试卷(A) 参考答案 一 单项选择题（每小题 4 分,共 20 分） 1. B; 2. C; 3. A; 4. D; 5. B. 二、填空题（每题 4 分,共 20 分） 1. ; 2. ; 3. ; 4 ; 5. . 14212,)314 三（10 分）用可积准则证明：若 为 上的连续函数,则 在 上可积.fabf,ab 证 由于 在闭区间 上连续,因此在 上一致连续这就是说,任给 ,存在fba0 0,对 中任意两点 ,只要 ,便有 .所以只要ba,xxabxff 对 所作的分割 满足 ,在丁所属的任一小区间 上,就能使 的振幅满足TixffmMiii sup 从而导致 i iTTxxba 由可积准则证得 在 上可积fa, 四 （10 分）设 在 上可导,且 证明： 使)(xf02120()d(2)xeff (0,2) .)(f 证 由 ,利用积分中值定理,可知 ,使得120()d(2)xeff (01)c 即 .c2()()ceff 6 令 ,那么 在区间 上满足罗尔定理条件,所以()()xFefF2c ,使得,20c ,即 ,()()0ef 也就证明了 .f 五（10 分）求由抛物线 与它在点 的切线及点 的切线所243yx(0,3)A(3,0)B 围区域的面积. 解 , , .24yx(0)y(3)2 过点 与过点 的切线方程分别为(,3)AB 与 .yx6yx 两条切线的交点是 ,那么要求面积的区域被()2 直线 分成两部分,分别计算它们的面积,然后3x 作和.区域面积 3220(4)(43)dAxx 322(6)(43)dxx .9 六（10 分）将函数 在 展开为幂级数. 1()arctnxfx0 解 , , 220()arct (1)1nfx xx(1) 因此 20 0()()(1)4x xnfxftdtd 7 , 210()4nx,) 七（10 分）把函数 展开为傅里叶级数. ,0,()xfx 解 , 00 01()d()daxx0coscosnnnx01ddxx02cs2(1)n24,0n 01()sid()sind0nbxx 所以 , .2041()cos(1)2()nfxx 8 八（10 分）证明函数 22,0(,)0xyf 在点 连续且偏导数存在,但在 )0( ),( 证 由 , ,可知 , 2, 0xyfx(0)y(,)0,lim()(0)xyff 即 在点 连续.f)0,( 另外, ,00(,)(,)limlixx xfff ,00,(,)lilimyy yfff 说明