三角函数公式总结与推导--很全很实用

三角函数公式总结与推导 1. 与 （0 360）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：Zkk,360| 终边在 x 轴上的角的集合： Zk,180| 终边在 y 轴上的角的集合： ,9| 终边在坐标轴上的角的集合： Zk,0| 终边在 y=x 轴上的角的集合： ,4518| 终边在 轴上的角的集合：Zkk,0| 若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系：k360 若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系：18 若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： k0 角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：936 2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad 57.30=57 18 1 0.01745（rad）18080 3、弧长公式： . 扇形面积公式：rl| 2|slr扇 形 4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 ； ； ； ； ；. rysinrxcosxytanyxcotxrsec .c 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 、 - - - + + - + 、 o oox y x y x y yxSINCO三 角 函 数 值 大 小 关 系 图sinxco24表 示 第 一 、 二 、 三 、四 象 限 一 半 所 在 区 域 1241sixco r o x y a的的的 P、x,y) T MAO P x y 第 1 页 共 7 页 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sinx)(f Rx| cosx tanxf Zkx,21| 且 cotx)(f x|且 secx kRx,|且 cscx)(f Zx|且 8、同角三角函数的基本关系式： tancosicotsi 1cotansin 1e si2taec2t2 9、诱导公式： k把 的 三 角 函 数 化 为 的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 xkcot)2cot(ananss i)i(xcot)t(ansi)i( 公式组四 公式组五 公式组六 xcot)ct(anass i)i(xcot)2t(ansi)i(xcot)t(ansi)i( （二）角与角之间的互换 公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+cs=1oeitaeta2 (3) 个 o|cosx| |cosx|sinx|cosx|sinx| |sinx|cosx| sinxcosx cosxsinx 16. 个个个个个个 : O Ox y x y 2 公式组一 公式组二 sincos)cos( cosin2i 222sin1csicos sincosin)si( 2tan1ta iii cosi tan1t)tan(21cs tt)t( 公式组三 公式组四 公式组五 2tan1si 2tan1cos tat2 , , , .4675cos1in 42615cos7in 3275cot1tan 3215cot7tan 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin （A、 0） 定义域 R R R 值域 1,1,R R , 周期性 222 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶,0 当 奇函数, coscs21sinocosinsi21sinco2isinosiccsiisinco1sico2tan Zkx,21|且 Zkx,|且ycotytanxycosxysin sin)21cos(s)si(ctta si)2(csinotta 第 3 页 共 7 页 单调性 2,k 上为增函 数； 23,k 上为减函 数 （ ）Zk ,1k ；上为增 函数1, 上为减函 数 （ ）Z k2, 上为增函数（ ）Zk 上为减函1,k 数（ ）Z)(21),(Ak 上为增函数； )(23),(Ak 上为减函数（ ）Zk 注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样相反.一般地，若xysinxysi xycosxycs 在 上递增（减） ，则 在 上递减（增）.)(xf,ba)(xfy,ba 与 的周期是 .sicos 或 （ ）的周期 .)n(xy)(xy02T 的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. ta2T 的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ； 的对称轴方程是)sin(xy kxZ0,k)cos(xy （ ） ，对称中心（ ） ； 的对称中心（ ）.kxZ0,21)tan(xy,2ycos)s(2cos 原 点 对 称 当 ； .tan,1)(Zkta,1)(Zk 与 是同一函数,而 是偶函数，则xycs2i )(xy)cos()()( xk . 函数 在 上为增函数.（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， 为xytanR xytan 增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原)(xf 点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数： ）)(xf)(xff 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定义域不关于原xytan31tany 点对称） 奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此性质）x0)(f0)(fx Oyx 4 xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；xysinT 是周期函数（如图） ； 为周期函数（ ） ；coco 的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxy .Rkff),(5)( 有 .abbabay cos)sin(sinco2 y2 11、三角函数图象的作法： ） 、几何法： ） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线） ，三点二线作图法（正、余切曲线）. ） 、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 yAsin（x ）的振幅|A|，周期 ，频率 ，相位 初相 （即当 x02|T1|2fT;x 时的相位） （当 A0， 0 时以上公式可去绝对值符号） ， 由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当 0|A|1）到原来 的|A| 倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y） 由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| |1）或缩短（| 1）到原来的 倍，得到 ysin x 的图象，叫做 周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换( 用 x 替换 x)1| 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 ysin（ x）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y） 由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x ） （A0，0） （xR）的图象，要特别 注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数 ysin x， 的反函数叫做反正弦函数，记作 yarcsin x，它的定义域是1，1 ，值域是2， 2， 函数 ycos x， （x 0， ）的反应函数叫做反余弦函数，记作 yarccosx，它的定义域是 1，1 ，值域是0， 函数 ytanx， 的反函数叫做 反正切函数，记作 yarctanx，它的定义域是（，） ，2， 值域是 2， 函数 yctgx， x（0， ） 的反函数叫做反余切函数，记作 yarcctg x，它的定义域是 yx=cos|图 象 1/2yx|cos+图 象 第 5 页 共 7 页 （，） ，值域是（0， ） II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：反正弦函数 是奇函数，故 ， （一定要注明xyarcsinxxarcsin)arcsin(1, 定义域，若 ，没有 与 一一对应，故 无反函数）,xxyi 注： ， ， .)sin(arc1,2,arcsi 反余弦函数 非奇非偶，但有 ， .xyros kx2)arcos()rs(1,x 注： ， ， .)cos(a1,0acox 是偶函数， 非奇非偶，而 ysin和 rsin为奇函数.xrs 反正切函数： ，定义域 ，值域（ ） ， 是奇函数，xyctn),(2,xyact ， .ar)arctn(),( 注： ， .xt 反余切函数： ，定义域 ，值域（ ） ， 是非奇非偶.rcyot),(2,xarcyot ， .karc2)()ot(x 注： ， .xt),( 与 互为奇函数， 同理为奇而 与 非奇非偶但xyrsin)1rcsinyxyarctnxyarcosxarcyot 满足 .1,2)o(t,2ao)ac( xkxrck 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： 的取值范围 解集 的取值范围 解集a 的解集 的解集axsin xcos 1 1 =1 =1 Zkak,rcsin2|aZka,rcos2| 1 1 ax,i1| kx,| 的解集： 的解集：tnkarctn| acot kax,cotr| 二、三角恒等式.