一次函数的知识点与题型总结[1]

一次函数的章节的知识整理与题型总结 第一节 函数 1、知识归纳 1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 2、 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 3、函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给 定 一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是 自变量，y 是因变量。 *判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定 的值与之对应 4、定义域：一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 5、要使函数的解析式有意义(即确定函数定义域的方法)。 （1）函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数； （2）函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母0； （3）函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数0。 （4）函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。 （5）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。 6、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易 看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之 间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 7、函数的图像：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对 应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图象 8、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数 值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线 连 接起来） 。 二、经典题型 题型考点一 求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量 的值，相应地会求出函数的值。 例 1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水 300 吨，计 划内用水每吨收费 0.5 元，超计划部分每吨按 0.8 元收费。 写出该单位水费 y(元) 与每月用水量 x(吨) 之间的函数关系式： 用水量小于等于 3000 吨 ； 用水量大于 3000 吨 。 某月该单位用水 3200 吨，水费是 元；若用水 2800 吨，水费 元。 若某月该单位缴纳水费 1540 元，则该单位用水多少吨？ 参考答案： (1)y=0.5 x 、y=1500 0.8(x3000) (2)1660 1400 (3) 3050 例 2.函数是研究 ( ) A常量之间的对应关系的 B常量与变量之间的对应关系的 C变量与常量之间对应关系的 变量之间的对应关系的 学生自测 1、已知矩形的周长为 10cm，则其面积 y（cm 2）与一边长 x（cm）的函数关系 式为_ ，自变量 x 的取值范围是_。 2、等腰三角形中顶角的度数 y 与底角的度数 x 之间的函数关系式为_，自 变量的取值范围是_。 3、某种储蓄的年利率为 2.5%，存入 1000 元本金后，则本息和 y（元）与所存 年数 x 之间的关系式为 ；4 年后的本息和为 元（此利息要 交纳所得税的 20%） 4、某居民小区按照分期付款的方式售房，购房时，首期（第 1 年）付款 30000 元,以后每年付款如下表 年份 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年 交付房款 （元） 15000 20000 25000 30000 35000 上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量? 根据表格推测,第 7 年应付款多少元? 如果第 x 年 (其中 x1)应付房款为 y 元,写出 y 与 x 的关系式 小明家购得一套住房,到第 8 年恰好付清房款,8 年来他家一共交付房款多少元 题型考点三 确定函数的自变量取值范围， 例 1 （2010 四川凉山）在函数 中，自变量 的取值范围是_12xyx 学生自测 1 （2010 江苏苏州）函数 的自变量 x 的取值范围是1yx Ax0 Bx1 Cx1 Dx1 2 （2010 广东湛江）函数 的自变量 x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1x1xx 3 （2010 甘肃兰州）函数 y 2 3 1 中自变量 x 的取值范围是 Ax2 Bx 3 Cx2 且 x 3 Dx 2 且 x3 4 （2010 四川凉山）在函数 中，自变量 的取值范围是1 A B 且 C 且 D 1x x2x12 5函数 中，自变量 的取值范围是 1xyx 6在函数 中，自变量 的取值范围是 3 7函数 的自变量 x 的取值范围是_.1xy 8 （2010 湖南常德）函数 中，自变量 的取值范围是 .26yxx 9 （2010 黑龙江哈尔滨）函数 的自变量的取值范围是 1 。 10函数 的取值范围是 ，当 时，函数值 y= .xxy中 自 变 量1 2x 题型考点三 能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像 例 1、某游客为爬上 3 千米高的山顶看日出，先用了 1 小时爬了 2 千米，休息 0.5 小时后，又用了 1 小时爬上了山顶。游客爬山所用时间 t 与登山高度 h 间的函 数关系用图形表示是（ ） 学生自测 1、如图这是李明、王平两人在一次赛跑中， 路程 s 与时间 t 的关系，读图填空： 这是一次 赛跑 先到终点的是_ 王平在赛跑中速度是 m/s 2 （2009 年莆田）如图 1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 MNPQRNP 方向运动至点 处停止设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，QMxM y 如果 关于 的函数图象如图 2 所示，则当 时，点 应运动到（ ）yx 9x Q P R M N （图 1） （图 2） 4 9 y xO A 处 B 处 C 处 D 处PQM 3 （2010 江苏南京）如图，夜晚，小亮从点 A 经过路灯 C 的正下方沿直线走 0 92 100 t(s) 500 S (m) 李明 王平 到点 B，他的影长 随他与点 A 之间的距离 的变化而变化，那么表示 与yxy 之间的函数关系的图像大致为（ ）x 4 （2010 河北）一艘 轮 船 在 同 一 航 线 上 往 返 于 甲 、 乙 两 地 已 知 轮 船 在 静 水 中 的 速 度 为 15 km/h， 水 流 速 度为 5 km/h轮船先从甲地顺水航行到乙地，在 乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地设轮船从甲地出发后 所用时间为 t（h） ，航行的路程为 s（km） ，则 s 与 t 的函数图象大致是 t s O A t s O B t s O C t s O D 5已知：如图，点 P是正方形 AD的对角线 A上的一个动点( A、 C除外)， 作 BPE于点 ，作 F于点 ，设正方形 B的边长为 x，矩形F 的周长为 y，在下列图象中，大致表示 y与 x之间的函数关系的是（ ）. x y 0 A x y 0 Dx y 0 B y x0 C P D A B C C E F 6如图，在 中， ， 动点 分别在直线C 2A2BAQ， 上运动，且始终保持 设 ， ，则 与 之间的函数10PQPxyx 关 系用图象大致可以表示为 （ ） yx y xO y xO y xO y xO ADBCEF 7 （2010 广西桂林）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 ，E 是 BC 边上的一 个 动点，AEEF， EF 交 DC 于 F, 设 BE= ，FC= ，则当xy 点 E 从 点 B 运动到点 C 时, 关于 的函数图象是( A )y A B C D 第二节 一次函数 一、知识归纳 知识点一：一次函数的定义 函数y= (k、b为常数，k_,自变量x的次 数是U_ _U次)叫做一次函数. 知识点二：正比例函数的定义 当b_ 时，函数y=_ (k_,比例系数U _)叫做正比例函数. 知识点三：一次函数与正比例函数的异同 （1）一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b， 它可以看作由直线 y=kx 平移 b 绝对值个单位长度而得到（当 b0 时，向上平 移；当 b 0 时，向下平移） 。 （2）正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数中 y=kx+b 的 b=0 时， 一次函数就变成正比例函数 y=kx 二 经典题型 题型考点一： 理解一次函数和正比例函数的概念与定义 例 1 已知函数 y=(2-m)x+2m-3.求当 m 为何值时, (1)此函数为正比例函数 (2)此函数为一次函数 学生自测 1。下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ （ 1）y=-x-4 （2）y=5x2+6 （3）y=2x (4)y=-8x 2.若 是正比例函数，则 b 的值是 （ ）3yxb A.0 B. C. D.232 xy241O x241O x241O xy241O 3.若 y=(m1) x 是正比例函数，则 m 的值为（ ）2 A.1 B.1 C.1 或1 D. 或2 4.若函数 y=(3m2) x2+(12m)x( m 为常数)是正比例函数，则 m 的值为（ ） A.m B.m C.m= D.m=3 321 5.若 5y+2 与 x 3 成正比例，则 y 是 x 的（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.没有函数关系 D.以上答案均不正确 6.要使 y=(m-2)xn-1+n 是关于 x 的一次函数,n,m 应满足 , . 7、已知函数 y=(m24) x4n ( m2) ，当 m 且 时，它是一次函数；当 m 且 n 时它是正比例函数 8.若关于 x 的函数 是一次函数，则 m= ，n .1) 设函数 y（m3）x 3m m 2 （1） 当 m 为何值时，它是一次函数？（ 2）当 m 为何值时，它是正比例函数？ 题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值 例 1 气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空 11km 处，每升高 1 km,气温下降 6高于 11km 时，气温几乎不再变化，设地面的气温为 38，高空中 xkm 的气温为 y （1）当 0x11时，求 y 与 x 之间的关系式？ （2）求当 x=2、5、8、11 时，y 的值。 （3）求在离地面 13 km 的高空处、气温是多少度？ （4）当气温是一 16时，问在离地面多高的地方？ 学生自测 1 某城市的市内电话的月收费额 y（元）包括：月租费 22 元，拨打电话 x 分的计时 费（按 001 元分收取） 求出 y 与 x 的函数关系式 2 13.某市出租车起步价是 7 元（路程小于或等于 2 千米） ，超过 2 千米每增加 1 千米 加收 1.6 元，请写出出租车费 y（元）与行程 x（千米）之间的函数关系式. 第三节 一次函数图像 一、 知识归纳 知识点一 1、函数图象的的概念：把一个函数的自变量 x 与对应的函数 y 的值分别作为点的横 坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫这个函 数的图象； 2、画函数图象的步骤： 列表； 描点；连线 知识点二：一次函数的图象 (1) 比例函数 y=k x (k0)的图 象是过原点和（1，_）两点的_ 一次函数y=kxb(k0) 的图象是过点(0 ，_)、(_，0)的_ （3）一次函数 y=kx+b 的 k、b 的值对一次函数图象的影响。 y y y y o x o x o x o x k0,b0, ykx +b 的图象在一、二、三象限； k0, b0, ykx +b 的图象在一、三、四象限； k0,b0, ykx +b 的 图象在一、二、四象限； k0, b0, ykx +b 的图象在二、三、四象。 知识点三、一次函数的性质 （1） 比例函数y=kx(k0)是特殊的一次函数，当k0 时，图象过_象限，y随x的增 大而_；当k0时，y随x 的增大而_；当k0(或 kxb3 时，y 随 x 的增大而减小 学生自测 1.(2009 年漳州)已知一次函数 21yx，则 y随 x的增大而 U_U(填“增大” 或“减小”) 2.有下列函数：y=2x, y=2x1， y=x5, y=2x3 。其中过原点的直线是 _；函数y随x的增大而增大的是_；函数y随x的增大而减小的是_；图 象过第一、二、三象限的是_；互相平行的直线是_U_ _U_。 3.一次函数 (26)5m中，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是_. 4、如图，直线 是一次函数 y=kx+b 的图象，其中 k、b 的取值范围是（ ）l A、K0，b0 B、k0，b0 C、k0，b0 D、k0，b0 5、一次函数 y=（3a1）x+5 图象上两点 A（x 1、y 1） ，B（x 2、y 2）当 x1x 2 时，y 1y 2， 那么 a 取值范围是（ ） A、a0 B、a 0 C、a D、a33 6、已知点（-4，y 1） ， （2，y 2）都在直线 y= - x+b 上，则 y1 、y 2 大小关系是( ) 12 （A）y 1 y2 （B ）y 1 =y2 （C）y 1 y2 （D ）不能比较 7、函数 y=3x，y= ，y=6x 共同点是（ ） 5x A、图象位于同样象限 B、y 随 x 增大而减小 C、图象经过原点 D、y 随 x 增大而增大 题型考点四：一次函数图像与象限关系 o y x 1.一次函数 ykxb的图象只经过第一、二、三象限，则( ) A 0， B 0kb， C ， D ， 2（2009 年湖北十堰市）一次函数 y=2x2 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知直线 y=(53m) x+ m4 与直线 y= x+6 平行，求此直线的解析式.21 题型考点五：自变量与因变量取值范围 例 1、已知 y1 与 x 成正比例，当 x=2 时，y=4 （1）求出 y 与 x 函数表达式 （2）把（1）中函数图象向上平移 2 个单位，设点（a，2）在这个平移图象上求 a 值。 （3）如果 x 取值范围 0x5，求 y 取值范围 学生自测 1、如果一次函数自变量 x 的取值范围是1x3，函数 y 的取值范围是3y9，那此 此函数的解析式为（ ） A、y=3x B、y=3x+6 C、y=3x 或 y=3x6 D、y=3x 或 y=3x+6 2 （2010 湖北荆州）函数 ， 当 时，xy1341221y x 的范围是 A.x1 B1x2 Cx1 或 x2 Dx2 第四节 确定一次函数的表达式 一、知识归纳 知识点一：求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤: . 二 经典题型 题型考点一：用待定系数法求一次函数解析式 1 .当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx4的值相同，那么k和y的值分别为（ ） A.1,11 B.1,9 C.5,11 D.3,3 2 .若直线y=kx+b经过A（1，0），B（0，1），则（ ） A.k=1,b= 1 B.k=1,b=1 C.k=1,b=1 D.k=1,b=1 3、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个 函数的解析式为_。 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。 题型考点一：一次函数图像与面积 例8. 已知直线 ykx4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 _。 x y E C BA O F 学生自测 1、如图，在平面直角坐标系中，正方形 AOCB 的边长为 6，O 为坐标原点，边 OC 在 x 轴的正半轴上，边 OA 在 y 轴的正半轴上，E 是边 AB 上的一点，直线 EC 交 y 轴 于 F，且 SFAES 四边形 AOCE1 3。 （1） 求出点 E 的坐标； （2） 求直线 EC 的函数解析式 . 2 （10 分）已知一次函数 y=kx+b 的图象经 过 A（2，4） 、 B（0，2）两点， 且与 x 轴相交于 C 点 （1）求直线的解析 式 （3） 求AOC 的面积 3 （10 分）已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点 P（-2,2） ，且一次函数的图 象与 y 轴相交于点 Q（0，4） （1）求这两个函数的解析式 （2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象 （3）求出POQ 的面积 第五节 一次函数图像的应用 y 2 O 1 x 知识点一： 若直线 l与直线 ykxb关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 ykxb （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）直线yx对称，则直线l的解析式为 ykx1 （4）直线 x对称，则直线l的解析式为 b （5）原点对称，则直线l的解析式为 ykx 例1. 若直线l与直线 yx21关于y轴对称，则直线l 的解析式为_。 解：由（2）得直线l的解析式为 x 题型考点一：利用图像信息解决实际问题 1、某自来水公司中为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月应交水费 y（元）是用水量 x（t）的函数，其图象如图所示 （1）与出 x8时，函数表达式 。 （2）写出 x8 时，函数表达式 。 （3）由图象知收费标准为 。 （4）当某户居民该月用水15吨，则应交水费 元。 2已知直线 l 与直线 y2x 1 的交点横坐标为 2，与直线 yx8 的交点的纵坐标为7，求直线 l 的解析式 3.阻值为 和 的两个电阻，其两端电压 关于电流强度 的函数图象如图，1R2 UI 则阻值 A） （B） （C ） （D ）以上均有可能12R12R12R o 108 1412 x(t) y 2101 4. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分 钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间 t（分钟）的函数关系 式为_。 题型考点二：一次函数的应用 1如图所示的折线 ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的 电话费 y（元）与通话时间 t（分钟）之间的函数关系的图 象 （1）写出 y 与 t之间的函数关系式 （2）通话 2 分钟应 付通话费多少元？通话 7 分钟呢？ 2 （11