三角函数的综合应用

解答题规范练 三角函数的综合应用 (推荐时间：70 分钟) 1 设函数 f(x)ab，其中向量 a(2cos x,1)，b(cos x， sin 2x)，x R.3 (1)若函数 f(x) 1 ，且 x ，求 x 的值；3 3，3 (2)求函数 yf(x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出 yf(x) 在区间0，上的图 象 解 (1)依题设得 f(x)2cos 2x sin 2x1cos 2x sin 2x2sin 1.3 3 ( 2x 6) 由 2sin 11 ，得 sin .( 2x 6) 3 (2x 6) 32 x ， 2x ， 3 3 2 6 56 2x ，即 x . 6 3 4 (2)当 2k2x 2k(k Z)， 2 6 2 即 kx k (kZ)时，函数 yf(x)单调递增，即函数 yf(x) 的单调增区间为 3 6 (kZ)， 3 k，6 k x 0 6 3 2 23 56 y 2 3 2 0 1 0 2 2 已知向量 a(cos x sin x， sin x)，b(cos x sin x，2cos x)，函数 f(x)3 3 3 abcos 2x . (1)求函数 f(x)的值域； (2)若 f() ， ，求 sin 2 的值 15 6，3 解 (1)f(x) abcos 2x (cos x sin x)(cos x sin x) sin x2cos xcos 2x3 3 3 cos 2x3sin 2x2 sin xcos xcos 2x3 cos 2xsin 2x2sin 2x2 sin xcos xcos 2x3 cos 2x sin 2x13 2sin 1，( 2x 6) f(x)的值域为3,1 (2)由(1)知 f()2sin 1，( 2 6) 由题设 2sin 1 ，即 sin ，( 2 6) 15 (2 6) 35 ，2 ， 6，3 6 2，56 cos ，( 2 6) 45 sin 2sin sin cos cos sin ( 2 6) 6 (2 6) 6 (2 6) 6 . 35 32 ( 45) 12 33 410 3 已知向量 m 与 n(3，sin A cos A)共线，其中 A 是ABC 的内角( sin A，12) 3 (1)求角 A 的大小； (2)若 BC2，求ABC 面积 S 的最大值 解 (1)mn，sin A(sin A cos A) 0.3 32 sin 2A 0， 1 cos 2A2 32 32 即 sin 2A cos 2A1， 32 12 即 sin 1.( 2A 6) A(0，)，2A . 6 ( 6，116) 故 2A ，A . 6 2 3 (2)BC2，由余弦定理得 b2c 2bc4， 又 b2c 22bc，bc4( 当且仅当 bc 时等号成立)， 从而 SABC bcsin A bc 4 . 12 34 34 3 即ABC 面积 S 的最大值为 .3 4 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 已知 . cos A 3cos Ccos B 3c ab (1)求 的值； sin Csin A (2)若 B 为钝角，b10，求 a 的取值范围 解 (1)由正弦定理，设 k ， asin A bsin B csin C 则 ， 3c ab 3ksin C ksin Aksin B 3sin C sin Asin B 所以 ， cos A 3cos Ccos B 3sin C sin Asin B 即(cos A3cos C)sin B(3sin Csin A)cos B， 化简可得 sin(AB) 3sin(BC) 又 ABC ，所以 sin C3sin A， 因此 3. sin Csin A (2)由 3 得 c3a. sin Csin A 由题意知Error!， 又 b10，所以 0，0， 22) 示 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知函数 f(x)的图象上的三点 M，N ，P 的横坐标分别为1,1,5，求 sinMNP 的 值 解 (1)由图可知，A 1，最小正周期 T428. 由 T 8，得 . 2 4 又 f(1)sin 1，且 ，( 4 ) 2 2 所以 ，解得 . 4 2 4 所以 f(x)sin .( 4x 4) (2)因为 f(1)0，f(1)1， f(5)sin 1，( 54 4) 所以 M(1,0) ，N(1,1)，P(5，1) 所以|MN | ，|PN| ，|MP| .5 20 37 由余弦定理得 cosMNP . 5 20 372520 35 因为MNP(0，) ， 所以 sinMNP . 45 6 已知向量 a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其 中 0x. (1)若 ，求函数 f(x)bc 的最小值及相应 x 的值； 4 (2)若 a 与 b 的夹角为 ，且 ac ，求 tan 2 的值 3 解 (1)b(cos x ，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )， ， 4 f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x (sin xcos 2 x) 令 tsin x cos x ，则 2sin xcos xt 21，且1t .( 4x) 2 则 yt 2 t 1 2 ，1t ，2 ( t 22) 32 2 t 时，y min ，此时 sin xcos x ， 22 32 22 即 sin ，2 ( x 4) 22 x， x ， 4 2 454 x ，x . 4 76 1112 函数 f(x)的最小值为 ，相应 x 的值为 . 32 1112 (2)a 与 b 的夹角为 ， 3 cos cos cos xsin sin xcos(x)