三角函数真题练习

一、解答题（共 31 小题，1 、2 、57、9、10、14、1719、2327、29 题每题 12 分，3 、20 、21、30 题每题 14 分， 4、 8、22、31 题每题 10 分， 1113、15、16、28 题每题 13 分，满分 394 分） 1、 （ 2010上海）已知 ，化简：lg（cosxtanx+12 ）+lg cos（x ）lg（1+sin2x） 0 2 22 2 4 考点：对数的运算性质。 分析：根据三角函数的有关公式，先对对数的真数部分进行化简，然后再根据对数运算法则得出答案 解答：解：原式=lg（cosx +cosx）+lg （cosx +sinx ）lg （sin 2x+cos2x+2sinxcosx） 2 22 22 =lg（sinx+cosx ） +lg（cosx+sinx） lg（sinx+cosx ） 2=0 点评：本题主要考查对三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式的等的应用，其次考查对数运算法则要求对一 些基本的公式和运算法则能够熟练掌握 2、 （ 2010湖南）已知函数 f（x）=sin2x 2sin2x （I）求函数 f（x ）的最小正周期 （II）求函数 f（ x）的最大值及 f（x）取最大值时 x 的集合 考点：三角函数的周期性及其求法。 分析：（1）先将函数 f（x）化简为 f（x）= sin（2x+ ） 1，根据 T= 可得答案2 4 22 （2 ）令 2x+ =2k+ ，可直接得到答案 4 2 解答：解：（1）因为 f（x）=sin2x （1 cos2x）= sin（2x+ ）12 4 所以函数 f（x）的最小正周期为 T= = 22 （2 ）由（1 ）知，当 2x+ =2k+ ，即 x=k （k Z）时，f （x）取最大值 4 2 +8 21 因此函数 f（x）取最大值时 x 的集合为：x|x=k+ ，kZ 8 点评：本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法属基础题 3、 （ 2010浙江）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2C= 14 （I）求 sinC 的值； （）当 a=2，2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长 考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理。 专题：计算题。 分析：（1）注意角的范围，利用二倍角公式 （2 ）利用正弦定理先求出边长 c，由二倍角公式求 cosC，用余弦定理解方程求边长 b 2 解答：解：（）解：因为 cos2C=12sin2C= ，及 0C 所以 sinC= 14 104 （）解：当 a=2，2sinA=sinC 时， 由正弦定理 = ，得：c=4 由 cos2C=2cos2C1= ，及 0C 得 14 cosC= 64 由余弦定理 c2=a2+b22abcosC，得 b2 b12=06 解得 b= 或 26 6 所以 b= 或 b=2 ，c=46 6 点评：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力 4、 ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB= ，cosADC= ，求 AD 513 35 考点：同角三角函数基本关系的运用；正弦定理。 分析：先由 cosADC= 确定角 ADC 的范围，因为BAD= ADCB 所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案 35 解答：解：由 cosADC= 0 ，知 B 35 2 由已知得 cosB= ，sinADC= 1213 45 从而 sinBAD=sin（ ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB= = 451213355133365 由正弦定理得 ， = 所以 AD= = 33513 3365 =25 3 点评：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现这类题型难度比较低，一 般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变解决此类问题，要根据已知条件， 灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化 5、 （ 2010陕西）在 ABC 中，已知 B=45，D 是 BC 边上的一点，AD=10 ，AC=14，DC=6，求 AB 的长 考点：余弦定理；正弦定理。 分析：先根据余弦定理求出ADC 的值，即可得到ADB 的值，最后根据正弦定理可得答案 解答：解：在ADC 中，AD=10，AC=14，DC=6， 由余弦定理得 cosADC= = ， 2+222100+361962106 =12 ADC=120， ADB=60 在ABD 中，AD=10 ，B=45，ADB=60， 由正弦定理得 ， = AB= =106045=10322 2 =56 点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用属基础题 6、 （ 2010辽宁）在 ABC 中， a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，且 2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC （）求 A 的大小； （）若 sinB+sinC=1，试判断ABC 的形状 考点：解三角形；三角函数的化简求值。 专题：计算题。 分析：（）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得 a，b 和 c 关系式，代入余弦定理中求得 cosA 的 值，进而求得 A （）把（）中 a，b 和 c 关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与 sinB+sinC=1 联立求得 sinB 和 sinC 的值，进而根 据 C，B 的范围推断出 B=C，可知 ABC 是等腰的钝角三角形 解答：解：（）由已知，根据正弦定理得 2a2=（2b+c ）b+（2c+b）c 即 a2=b2+c2+bc 由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA 4 故 =12， =120 （）由（）得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC 又 sinB+sinC=1，得 =12 因为 0B90，0C 90， 故 B=C 所以ABC 是等腰的钝角三角形 点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边 达到解题的目的 7、 （ 2010辽宁）在 ABC 中， a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b ）sinC （）求 A 的大小； （）求 sinB+sinC 的最大值 考点：余弦定理的应用。 分析：（）根据正弦定理，设 ，把 sinA，sinB，sinC 代入 2asinA=（2a+c） = sinB+（2C+b）sinC 求出 a2=b2+c2+bc 再与余弦定理联立方程，可求出 cosA 的值，进而求出 A 的值 （）根据（）中 A 的值，可知 c=60B，化简得 sin（60+B）根据三角函数的性质，得出最大值 解答：解：（）设 = 则 a=sinAt，b=sinBt，c=sinCt 2asinA=（2a+c ）sinB+ （2C+b）sinC 2a =（2a+c） +（2C+b） 2a2=（2b+c）b+ （2c+b）c 即 a2=b2+c2+bc 由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA 故 cosA= ，A=120 12 （）由（）得：sinB+sinC =sinB+sin（60B） = cosB+ sinB 32 12 =sin（60+B） 故当 B=30时， sinB+sinC 取得最大值 1 点评：本题主要考查了余弦函数的应用其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握 5 8、 （ 2010江西）已知函数 f（x）=（1+cotx ）sin 2x+msin（x+ ）sin （x ） 4 4 （1 ）当 m=0 时，求 f（x ）在区间 上的取值范围； 8， 34 （2 ）当 tana=2 时， ，求 m 的值 （ ） =35 考点：同角三角函数间的基本关系；弦切互化。 专题：综合题。 分析：（1）把 m=0 代入到 f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及 特殊角的三角函数值把 f（x）化为一个角的正弦函数，利用 x 的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得 到 f（x）的值域； （2 ）把 f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于 sin2x 和 cos2x 的式子，把 x 换成 ，根据 tan 的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出 sin2 和 cos2 的值， 把 sin2 和 cos2 的值代入到 f（）= 中得到关于 m 的方程，求出 m 的值即可 35 解答：解：（1）当 m=0 时， = （ ） =（ 1+） 2=2+=12+22 ， 122（ 24） +1 由已知 ，得 ，从而得：f （x）的值域为 8， 34 24 22， 1 0， 1+22 （2 ）因为 （ ） =（ 1+） 2+（ +4） （ 4） =sin2x+sinxcosx+ （ 22） 2 = + 122 22 22 = 122（ 1+） 2+12 6 所以 = （ ） =122（ 1+） 2+1235 当 tan=2，得： ， ， 2=22+2= 21+2=452=35 代入式，解得 m=0 点评：考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题依托三角函数化简，考查函数值域， 作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题 9、 （ 2010安徽） ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，cosA= 1213 （）求 ； （）若 cb=1，求 a 的值 考点：同角三角函数间的基本关系；平面向量数量积的运算；余弦定理的应用。 专题：计算题。 分析：根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求 bc 的值，考虑已知ABC 的面积是 30，cosA= ，所以先求 1213 sinA 的值，然后根据三角形面积公式得 bc 的值第二问中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理 即可根据同角三角函数关系，由 cosA= 得 sinA 的值，再根据ABC 面积公式得 bc=156；直接求数量积 1213 由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，代入已知条件 cb=1，及 bc=156 求 a 的值 解答：解：由 cosA= ，得 sinA= = 1213 1（ 1213） 2513 又 sinA=30，bc=156 12 （） =bccosA=156 =144 1213 （）a 2=b2+c22bccosA=（cb） 2+2bc（1 cosA）=1+2156（1 ）=25 ， 1213 a=5 点评：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能 力 10、 （ 2010重庆）设 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，且 3b2+3c23a2=4 bc2 （）求 sinA 的值； 7 （）求 的值 2（ +4） （ +4） 12 考点：余弦定理的应用；弦切互化。 专题：计算题。 分析：（）先把题设条件代入关于 A 的余弦定理中，求得 cosA 的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 的值 （）利用三角形的内角和，把 sin（B+C+ ）转化为 sin（ A+ ） ，进而利用诱导公式，两角和公式和化简整理后， 4 4 把 sinA 和 cosA 的值代入即可 解答：解：（）由余弦定理得 =2+222=223 又 0 ，故 =12=13 （）原式= 2（ +4） （ +4） 12 = = 2（ +4） （ 4） 22 2（ 22+22）（ 22 22） 22 = = 22 22 72 点评：本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值考 查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力 11、 （ 2010浙江）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，满足 =34（ 2+22） （）求角 C 的大小； （）求 sinA+sinB 的最大值 考点：余弦定理的应用。 专题：计算题。 分析：（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得 = absinC，可求出 tanC 的值， =34（ 2+22） 12 8 再由三角形内角的范围可求出角 C 的值 （2 ）根据三角形内角和为 180将角 AB 转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案 解答：（）解：由题意可知 absinC= 2abcosC 12 34 所以 tanC= 3 因为 0C ， 所以 C= ； 3 （）解：由已知 sinA+sinB =sinA+sin（CA） =sinA+sin（ A） 23 =sinA+ cosA+ sinA= sinA+ cosA= sin（A+ ） 32 12 32 32 3 6 3 当ABC 为正三角形时取等号， 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 点评：本题主要考察余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力 12、 （ 2010重庆）设函数 f（ x）=cos（x+ ）+2 ，x R 23 22 （1 ）求 f（x）的值域； （2 ）记ABC 内角 A、B 、C 的对边长分别为 a，b，c，若 f（B）=1，b=1，c= ，求 a 的值3 考点：正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理。 专题：计算题。 分析：（I）将 f（x ）=cos（x+ ）+2 化简，变形后可以用三角函数的有界性有值域 23 22 （II）由 f（B ）=1 求出 B，利用余弦定理建立关于 a 的方程求出 a 解答：解：（I ）f （x ）=cos（x+ ）+2 23 22 =cosxcos sinxsin +cosx+1 23 23 = cosx sinx+cosx+1 12 32 9 = cosx sinx+1 12 32 =sin（x+ ） +1 56 因此函数 f（x）的值域为0，2 （II）由 f（B ）=1 得 sin（B+ ）+1=1，即 sin（B+ ）=0，即 B+ =0 或 ，B= 或 56 56 56 6 56 又 B 是三角形的内角，所以 B= 6 由余弦定理得 b2=a2+b22abcosB 即 1=a2+33a，整理 a23a+2=0 解得 a=1 或 a=2 答：（I）函数 f（x ）的值域为 0，2 （II）a=1 或 a=2 点评：考察利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形 公式与余弦定理 13、 （ 2010山东）已知函数 f（x ）=sin （ x）cosx+cos 2x（0 ）的最小正周期为 （）求 的值； （）将函数 y=f（x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y=g（x ）的图象，求函数 12 y=g（x）在区间 上的最小值 0， 16 考点：三角函数中的恒等变换应用；函数 y=Asin（x+）的图象变换。 分析：（1）本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力 （2 ）要求三角函数的有关性质的问题，题目都要变形到 y=Asin（x+）的形式，变形时利用诱导公式和二倍角公式 逆用 解答：解：（）f（x ）=sin（ x）cosx+cos 2x， f（x）=sinxcosx+ 1+22 = sin2x+ cos2x+ 12 12 12 = sin（2x+ ）+ 22 4 12 10 由于 0，依题意得 ， 22= 所以 =1； （）由（）知 f（x）= sin（2x+ ）+ ， 22 4 12 g（x） =f（2x ）= sin（4x+ ）+ 22 4 12 0x 时， 4x+ ， 164 42 sin（4x+ ）1， 22 4 1g（x） ， 1+22 g（ x）在此区间内的最小值为 1 点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式（1）化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低， 而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出 14、 （ 2010北京）已知函数 f（x ）=2cos2x+sin 2x4cosx （）求 的值； （ 3） （）求 f（x）的最大值和最小值 考点：三角函数的最值；二倍角的余弦。 专题：计算题。 分析：（）把 x= 代入到 f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可； 3 （）利用同角三角函数间的基本关系把 sin2x 变为 1cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把 cos2x 变为 2cos2x1， 得到 f（ x）是关于 cosx 的二次函数，利用配方法把 f（x ）变成二次函数的顶点式，根据 cosx 的值域，利用二次函数 求最值的方法求出 f（x）的最大值和最小值即可 解答：解：（I ） = （ 3） =223+23431+342=94 （）f（x）=2（2cos 2x1）+（1cos 2x） 4cosx =3cos2x4cosx1 = 3（ 23） 273， 11 因为 cosx1，1，所以当 cosx=1 时，f （x ）取最大值 6；当 时，取最小值 =23 73 点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考 查二次函数求最值的方法 15、 （ 2010四川） （）证明两角和的余弦公式 C+：cos（+ ）=coscossinsin；由 C+ 推导两角和的正弦 公式 S+：sin（ +）=sincos+cossin （）已知ABC 的面积 ，且 ，求 cosC =12， =3 =35 考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数。 专题：计算题；证明题。 分析：（I）建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简 整理既得；由诱导公式 cos （+）=sin（+）变形整理可得 2 （II） ，求出角 A 的正弦，再由 ，用 cosC=cos（A+B）求解即可 =12， =3 =35 解答：解： （1 ） 如图，在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角 、 与 ，使角 的始边为 Ox，交O 于点 P1， 终边交O 于 P2； 角 的始边为 OP2，终边交 O 于 P3；角 的始边为 OP1，终边交O 于 P4 则 P1（1，0 ） ，P 2（cos，sin） P3（cos（+） ，sin（+） ） ，P 4（cos（） ，sin （） ） 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式，得 cos（+） 12+sin2（+）=cos（ ）cos 2+sin（ ）sin 2 展开并整理得：2 2cos（+）=22（coscos sinsin） cos（+）=coscos sinsin （4 分） 由易得 cos（ ）=sin ，sin （ ）=cos 2 2 12 sin（+）=cos （+）=cos（ ）+ （） 2 2 =cos（ ）cos （）sin（ ）sin （） 2 2 =sincos+cossin（6 分） （2 ）由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S= bcsinA= =bccosA=30 12 12 A（0， ） ，cosA=3sinA 2 又 sin2A+cos2A=1， sinA= ，cosA= 1010 31010 由题意，cosB= ，得 sinB= 35 45 cos（A+B ）=cosAcosB sinAsinB= 1010 故 cosC=cos（A+B）= cos（A+B ）= （12 分） 1010 点评：本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力 16、 （ 2010天津）在 ABC 中， = （）证明 B=C： （）若 cosA= ，求 sin 的值 13 （ 4+3） 考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用。 专题：证明题。 分析：（1）先根据正弦定理将边的比值转化为正弦值的比，交叉相乘后根据两角和与差的正弦公式可求出 sin（B C） =0再由 B，C 的范围可判断 B=C 得证 （2 ）先根据（1）确定 A，与 B 的关系，再由诱导公式可求出 cos2B 的值，然后由基本关系式可求 sin2B 的值最后由 二倍角公式和两角和与差的正弦公式可求最后答案 解答：（）证明：在ABC 中，由正弦定理及已知得 = 于是 sinBcosCcosBsinC=0，即 sin（B C）=0 13 因为 B C，从而 BC=0所以 B=C； （）解：由 A+B+C= 和（ ）得 A=2B， 故 cos2B=cos（ 2B）= cosA= 13 又 02B，于是 sin2B= = 122223 从而 sin4B=2sin2Bcos2B= ， 429 cos4B= 2222=79 所以 （ 4+3） =43+43=427318 点评：本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识， 考查基本运算能力 17、 （ 2010天津）已知函数 f（x ）=2 sinxcosx+2cos2x1（x R）3 （）求函数 f（x）的最小正周期及在区间0， 上的最大值和最小值； 2 （）若 f（x 0）= ，x 0 ， ，求 cos2x0 的值 65 42 考点：三角函数中的恒等变换应用；函数 y=Asin（x+）的图象变换。 分析：先将原函数化简为 y=Asin（x+）+b 的形式 （1 ）根据周期等于 2 除以 可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间0， 上的最值 2 （2 ）将 x0 代入化简后的函数解析式可得到 sin（2x 0+ ）= ，再根据 x0 的范围可求出 cos（2x 0+ ）的值， 6 35 6 最后由 cos2x0=cos（2x 0+ ）可得答案 66 解答：解：（1）由 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1，得3 f（x）= （2sinxcosx）+ （2cos 2x）1）= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）3 3 6 所以函数 f（x）的最小正周期为 14 因为 f（ x）=2sin（2x+ ）在区间0， 上为增函数，在区间 ， 上为减函数， 6 6 62 又 f（0）=1，f（ ）=2，f （ ）=1 ，所以函数 f（x）在区间0， 上的最大值为 2，最小值为 1 6 2 2 （）由（1）可知 f（x 0）=2sin（2x 0+ ） 6 又因为 f（x 0）= ，所以 sin（ 2x0+ ）= 65 6 35 由 x0 ， ，得 2x0+ ， 42 623 76 从而 cos（2x 0+ ）= = 6 12（ 20+6） 45 所以 cos2x0=cos（2x 0+ ） =cos（2x 0+ ）cos +sin（2x 0+ ）sin = 6 6 6 6 6 634310 点评：本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y=Asin（x+）的性质、同角三角函数的基本关系、 两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力 18、 （ 2010广东）已知函数 f（x ）=Asin （3x+） （A0，x（ ，+） ，0）在 时取得最大值 4 =12 （1 ）求 f（x）的最小正周期； （2 ）求 f（x）的解析式； （3 ）若 ，求 sin （ 23+12） =125 考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值。 专题：计算题。 分析：（1）根据 T= 可直接得到答案 2 （2 ）先根据最大值求出振幅 A 的值，再由 时取得最大值可求出 的值，进而可得到函数 f（x）的解析式 =12 （3 ）根据 ，求出 cos2 的值，最后根据二倍角公式得到 sin 的值 （ 23+12） =125 解答：解：（1）由周期计算公式，可得 T= 23 15 （2 ）由 f（x）的最大值是 4 知，A=4 ，即 sin（ ）=1 （ ） =（ 12） =4（ 312+） =4 4+ 0 ， ， 4 4+ 544+=2 =4 f（x）=4sin（ 3x+ ） 4 （3 ） f（ ）=4sin3（ ）+ = ，即 sin3（ ）+ = 23+4 23+124125 23+12435 ， ， ， ， （ 2+2） =352=35122=352=15=55 点评：本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的基本性质周期和最值属基础题 19、 （ 2010广东） f（x ）=3sin （x+ ） ，0 ，x （ ，+ ） ，且以 为最小周期 6 2 （1 ）求 f（0） ； （2 ）求 f（x）的解析式； （3 ）已知 f（ + ）= ，求 sin 的值 41295 考点：由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值。 专题：计算题。 分析：（1）直接把 x=0 代入函数 f（x）=3sin（x+ ） ，求 f（0 ）即可； 6 （2 ）根据函数的周期求出 ，即可求 f（x ）的解析式； （3 ）利用 f（ + ）= ，化简求出 cos= ，利用三角函数的平方关系求 sin 的值 41295 35 解答：解：（1）f（0）=3sin（0+ ）=3 = ， 6 1232 （2 ） T= =4 2=2 所以 f（ x）=3sin（4x+ ） 6 （3 ） f（ + ）=3sin4（ + ）+ =3sin（ ）= 412 4126 +2 95 16 cos= 35 sin= 12=45 点评：本题是基础题，考查三角函数的值的求法，函数解析式的求法，三角函数基本关系式的应用，考查计算能力， 常考题 20、已知ABC 的内角 A，B 及其对边 a，b 满足 a+b=acotA+bcotB，求内角 C 考点：正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值。 专题：计算题。 分析：先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得 sin（A ）=sin（B+ ） ， ，进而根据 A，B 的范 4 34 围，求得 A 和 B+ 的关系，进而求得 A+B= ，则 C 的值可求 4 34 2 解答：解：由已知及正弦定理，有 sinA+sinB=sinA +sinB =cosA+cosB， sinAcosA=cosBsinB sin（A ）=sin（B+ ） ， 4 34 0A，0B A B+ 4 434 3474 A +B+ =， 4 34 A+B= ，C= （A+B）= 2 2 点评：本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题 21、 （ 2010四川） （）证明两角和的余弦公式 C+：cos（+ ）=coscossinsin； 由 C+ 推导两角和的正弦公式 S+：sin（+）=sincos+cossin （）已知 ， =45， （ ， 32）， =13， （ 2， ）， （ +） 求 cos（+） 考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数。 专题：计算题。 分析：（I）建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简 17 整理既得；由诱导公式 cos （+）=sin（+）变形整理可得 2 （II） ，求出角 A 的正弦，再由 ，用 cosC=cos（A+B）求解即可 =12， =3 =35 解答：解：（）如图，在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O， 并作出角 、 与，使角 的始边为 Ox， 交 O 于点 P1，终边交 O 于 P2；角 的始边为 OP2， 终边交O 于 P3；角 的始边为 OP1，终边交O 于 P4 则 P1（1，0 ） ，P 2（cos，sin） P3（cos（+） ，sin（+） ） ， P4（cos（） ，sin （） ） 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式，得 cos（+） 12+sin2（+）=cos（ ）cos 2+sin（ ）sin 2 展开并整理得：2 2cos（+）=22（coscos sinsin） cos（+）=coscos sinsin；（4 分） 由易得 cos（ ）=sin ，sin （ ）=cos 2 2 sin（+）=cos （+）=cos（ ）+ （） 2 2 =cos（ ）cos （）sin（ ）sin （） 2 2 =sincos+cossin；（6 分） （）（， ） ，cos= 32 45 sin= 35 （ ， ） ，tan= 2 13 cos= ，sin= 31010 1010 cos（+）=coscos sinsin 18 =（ ） （ ）（ ） 45 31010 35 1010 = 31010 点评：本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力 22、 （ 2010湖北）已经函数 （ ） =222 ， （ ） =12214. （）函数 f（ x）的图象可由函数 g（x）的图象经过怎样变化得出？ （）求函数 h（x ）=f（x）g（x）的最小值，并求使用 h（x）取得最小值的 x 的集合 考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；函数 y=Asin（x+）的图象变换。 专题：计算题；综合题。 分析：（）先利用诱导公式把函数 f（x）中余弦函数转化成正弦函数，进而利用图象平移的法则，求得答案 （）把函数 f（x）和 g（x）的解析式代入 h（x）中，利用两角和公式化简整理，进而根据余弦函数的性质求得函 数的最小值以及此时 x 的集合 解答：解：（） ， （ ） =122=12（ 2+2） =122（ +4） 所以要得到 f（ x）的图象只需要把 g（x）的图象向左平移 个单位长度，再将所得的图象向上平移 个单位长度即 4 14 可 （） （ ） =（ ） （ ） =122122+14=22（ 2+4） +14 当 2x+ =2k+z（kZ）时，h（x ）取得最小值 4 22+14=1224 h（x）取得最小值时，对应的 x 的集合为 =+38， 点评：本题主要考查了三角函数中恒等式变换应用，两角和公式，图象的平移等知识点三角函数中公式多且复杂， 平时应注意多积累 23、 （ 2010山东）已知函数 f（x ）= sin2xsin+cos2xcos sin（ +） （0 ） ，其图象过点（ ， ） 12 12 2 612 19 （）求 的值； （）将函数 y=f（x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y=g（x ）的图象，求函数 12 g（ x）在 0， 上的最大值和最小值 4 考点：y=Asin（x+ ）中参数的物理意义；三角函数的最值。 分析：（1）由已知中函数 f（x）= sin2xsin+cos2xcos sin（ +） （0 ） ，其图象过点（ ， ） 我们将（ 12 12 2 612 ， ）代入函数的解析式，结合 的取值范围，我们易示出 的值 612 （2 ）由（1 ）的结论，我们可以求出 y=f（x） ，结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数 y=g（x）的解析式，进 而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值 解答：解：函数 f（x ）= sin2xsin+cos2xcos sin（ +） （0 ） ， 12 12 2 又因为其图象过点（ ， ） 612 12=12（ 26） +2612（ 2+）（ 0 ） 解得：= 3 （2 ）由（1 ）得 = ， 3 f（x）= sin2xsin+cos2xcos sin（ +） 12 12 2 = 12（ 2+6） （ ） =12（ 4+6） x0， 4 4x+ 66， 56 20 当 4x+ = 时，g（x）取最大值 ； 62 12 当 4x+ = 或 时，g（x）取最小值 6656 14 点评：本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与 解决问题的能力已知函数图象求函数 y=Asin（x+） （A 0 ，0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法， 由图中的最大值或最小值确定 A，由周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定 ，但由图象求得的 y=Asin（x+ ） （A 0，0）的解析式一般不唯一，只有限定 的取值范围，才能得出唯一解，否则 的值不确定， 解析式也就不唯一 24、 （ 2010湖南）已知函数 f（x ）= sin2x2sin2x3 （）求函数 f（x）的最大值； （）求函数 f（x）的零点的集合 考点：三角函数的最值；集合的含义；函数的零点。 专题：计算题。 分析：（）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案 （）令 f（x）=0 可得到 2 sin xcos x=2sin2x，进而可得到 sin x=0 或 tan x= ，即可求出对应的 x 的取值集合，得3 3 到答案 解答：解：（）f（x ）= sin2x2sin2x= sin2x+cos2x1=2sin（2x+ ）13 3 6 故函数 f（x）的最大值等于 21=1 （）由 f（x）=0 得 2 sin xcos x=2sin2x，于是 sin x=0，或 cos x=sin x 即 tan x=3 3 3 由 sin x=0 可知 x=k； 由 tan x= 可知 x=k+ 3 3 故函数 f（x）的零点的集合为x|x=k 或 x=k ，kZ +3 点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质三角函数是高考的重点，每 年必考，要强化复习 25、 （ 2010湖北）已知函数 f（x ）=cos（ +x）cos（ x） ，g （x）= sin2x 3 3 12 14 （）求函数 f（x）的最小正周期； （）求函数 h（x ）=f（x）g（x）的最大值，并求使 h（x）取得最大值的 x 的集合 考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值。 专题：计算题。 分析：（）对于求函数 f（ x）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦公式展开后，再利用降幂公 21 式化成一个角一个函数的形式后，用公式 T= 周期即可求出 2 （）对于函数 h（x ）=f（x）g（x） ，把 f（x）与 g（x）解析式带入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个 函数为 h（x）= cos（2x+ ） ，由于定义域为全体实数 R，故易知最值为 ，而此时角 2x+ 应为 x 轴正半轴的所有 22 4 22 4 角的取值，即 2x+ =2k，kZ由此确定角 x 的取值几何即可 4 解答：解：（1）f（x）=cos （ +x）cos（ x）=（ cosx sinx） （ cosx+ cosx）= cos2x = 3 3 12 32 12 32 14 342 1+28 3328 = cos2x ， f（x ）的最小正周期为 = 12 14 22 （2 ） h（x）=f（x ）g（x）= cos2x sin2x= （ cos2x sin2x）= （cos cox2xsin sin2x）= cos（2x+ ） 12 12 22 22 22 22 4 4 22 4 当 2x+ =2k，k Z，即 x=k ，k Z 时，h（x）取得最大值 ，且此时 x 取值集合为x/x=k ，k Z 4 8 22 8 点评：本题主要考查三角函数的周期和最值问题，并兼顾检测了学生对两角和，差的正余弦公式和降幂公式等，属于 三角函数的综合性问题而解决有关复合角三角函数问题的关键还是在于对三角函数性质的掌握，本题难度系数 0.6 26、 （ 2010福建）某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该