东北四市2016二模数学含答案

1 2016 年 东 北 三 省 四 市 教 研 联 合 体 高 考 模 拟 试 卷 含 答 案 （ 二 ） 数 学（ 理 科 ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 22 题第 24 题为选 考题，其它题为必考题 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域. 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题 卷上作答无效 3. 考试结束后，考生将答题卡交回. 第卷 一选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1、集合 ，集合 ，则 （ ）13Ax139xBAB A.,2 B.,2 C. , D. 1,3 2. 的虚部为31i A. 2 B. 2 C. 2 D. 2ii 3. 已知向量 ， ，则 =（ ）)1,(a),0(b|ba A. B. C. 2 D. 45 4. 下列函数中与 具有相同的奇偶性的是()xf A B C Dsiny21yx|yx|lgyx 5. 甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的 两旁都空座，则有多少种坐法 A、10 B、16 C、20 D、24 6、执行右图的程序框图，则输出的 S（ ） A. 21 B. 34 C. 55 D. 89 7. 已知 ，则 （ ）sin()cos()6cos2 A. 1 B. 1 C. D.02 2 7. 如图，在长方体 中，点 P 是棱 上一点，则三棱锥 的左视图可1DCBACABP1 能为（ ） A B C D 9. 将函数 的图象向右平移 个单位后的图象关于 轴对称，则函数)2sin()xf )2|12y 在 上的最小值为（ ）)(xf,0 A.0 B.1 C. D.2123 10. 已知点 是双曲线 ： 的右焦点 10、已知双曲线 C：FC(0,)ab 的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交 21(0,)xyab 点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为（ ） 且 与双曲线的实轴垂直则，双曲线 的离心率是 A. B. F 23 C. 2 D. 5 11、已知底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 内接于半径为 1 的球，顶点 P 在底面 ABCD 上的射影是 ABCD 的中心，当四棱锥 PABCD 的体积最大时，四棱锥的高为 A、 B、1 C、 D、34435 3 12、已知 ， 给出下列2 4log(5)(1),()3|,xxf 21()(4)8gxx 四个命题： 函数 有且只有三个零点； 函数 有且只有三个零点；()yfgx ()yfx 函数 有且只有六个零点； 函数 有且只有一个零点； g 其中正确命题的个数是 A、1 B、2 C、3 D、4 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二.填空题:（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上） 13. 已知实数 满足 ，则 的最大值为 .yx, 120xyyxz 14.F1，F 2 分别为椭圆 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且 ， 21367 1()2OBAF 则 .2()OCA |OBC 15. 在一幢 10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为 60，塔基的俯角为 30，假定房屋与塔建 在同一水平地面上，则塔的高度为 m. 16.设 是一个非空集合， 是定义在 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：GG （）对于 ，都有 ；,abab （）对于 ，都有 ；c()()c （iii ）对于 ，使得 ；,eea （iv）对于 ，使得 （注：“ ”同（iii ）中的“ ”） .aGee 则称 关于运算 构成一个群.现给出下列集合和运算： 是整数集合， 为加法； 是奇数集合， 为乘法； 是平面向量集合， 为数量积G 运算； 是非零复数集合， 为乘法. 其中 关于运算 构成群的序号是_（将你 4 认为正确的序号都写上）. 三.解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 满足 ，且数列 的每一项加上 1 后成为等比数列。na1615,2ana （I）求 ； （II）令 ，求数列 的前 项和 .2lognnbnbnT 5 18.（本小题满分 12 分） 某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生 30 人，测试跳远的成绩用茎叶 图表示如下（单位：cm）： 男生成绩在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“ 合格”，成绩在 175cm 以下（不包括 175cm）定 义为“不合格” 女生成绩在 165cm 以上（包括 165cm）定义为“ 合格”，成绩在 165cm 以下（不包括 165cm）定 义为“不合格” （I）求男生跳远成绩的中位数； （II）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取 5 人，求抽取的 5 人中女生人数； （III）若从男、女生测试成绩“ 合格”的学生中选取 2 名参加复试，用 表示其中男生的人数，X 写出 的分布列，并求 的数学期望XX 19、（本小题满分 12 分） 如图（1） ，在等腰梯形 中， ， 分别为 和 的中点，ABCDA,EFABCD 且 ， ， 为 CE 中点，现将梯形 ABCD 沿 所在直线折起，使平面2ABEF4M 平面 ，如图（2）所示， 是 的中点 .CN （）证明： 平面 ；NF （）求二面角 的余弦值. A 6 20.（本小题满分 12 分） 曲线 上任意一点为 A，点 B（2,0）为线段 AC 的中点。 2(4)xy （I）求动点 C 的轨迹 的方程；E （II）过轨迹 的焦点 F 作直线交轨迹 E 于 M、N 两点，在圆 1 上是否存在一点 P，2xy 使得 PM、PN 分别为轨迹 E 的切线？若存在，求出轨迹 E 与直线 PM、PN 所围成的图形的面积； 若不存在，请说明理由。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 ， aR.1(cosxfe （I）判断函数 在 上的单调性；)(0,2 （II）证明： ，总有 .1,x 0)1cos()21( xfxf 7 请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 已知四边形 为 的内接四边形且 ，其对角线 与 相交于点 ，过ABCDOBCDACBDM 点 作 的切线交 的延长线于点 .P （）求证： ；M （）若 ，求证： . PA 23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 的参数方程为 为参数 ，以坐标原点为极点，l 2(xmty) 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且曲线x C22cos3in1 的左焦点 在直线 上.CFl （I）若直线 与曲线 交于 两点，求 的值；,ABFB （）设曲线 的内接矩形的周长的最大值. 24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知 0xR使得关于 的不等式 12xt成立。 (I)求满足条件的实数 的集合 ；tT ()若 ，且对于 ，不等式 3logmnt恒成立，试求 的最小值.1,mntmn DB C A M P O 8 2016 年二模理科数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C C C D D D A C D 13、 4 14、 6 15、40 16、 17. （I）由题意数列 是等比数列，设公比为1naq ， （1 分）521a562 解得 （2 分）4q 则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，n14 所以 ，（4 分）a2 .（5 分）1n （II） ，（6 分）|b 当 ，（8 分）205nTn时 ， 当 ，（10 分）16时 ， 所以 （12 分）6,52n 18.解：（I）男生跳远成绩的中位数 (cm) （2 分）1728 （II）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是 ， （4 分）61305 根据茎叶图，女生 18 人， 抽取的女生有 （人） ； （6 分）3618 （III）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有 8 人、10 人（7 分） 的取值为 0.1.2，则X ， ， ，（10175)0(28CP1530)1(28CXP15328)(CXP 分） 9 的分布列如下：X 0 1 2 P（11 分） （12 分）98EX 19. （）连接 ， （2 分）DMNE 又 ，FA平 面EFDA平 面 所以 （4 分）平 面 （）由题意 E平 面 CB平 面 ， ， FDA平 面 EF平 面 CFEB平 面 所以 （6 分）C平 面 以 为坐标原点， 方向为 x轴， D方向为 y轴， 方向为 z轴，建立空间直角坐标系. 由题意 （7 分）)0,12(,)1,0(),2(),0(),2(),0( ANMCEF 得平面 的法向量为（1,1,2）（8 分）AMN 平面 的法向量为（ 1,-2,2）（9 分） 设所求的二面角为 则 ，（10 分）6|cos| 又所求二面角为锐角（11 分） 所以求二面角的余弦值为 （12 分）6 20. （） 解：设 ),(,nmAyxC （1 分） 20 10 所以 （ 2 分）ynxm4 又 （3 分）)( 2 所以所求方程为 （4 分）x4 （）假设存在点 ),(0yP 设 ， ，直线 的方程为),( 21M2NAB1kxy 联立 ， yxk42 得 ，0 则 （5 分）421xk 切线 的方程为PM)(211xxy 点 代入化简得),(0x 0401y 同理得 420 所以知 是方程 的两根（6 分）1, 02x 则 02yx 所以 ，代入圆方程得 （7 分）0x 所以存在点 （8 分）)1,(P 可得 （9 分）2NM 切线 的方程为 xy 切线 的方程为 （10 分）1 所求面积为 （12 分）2034)4(d 21. 解：（I）由题 （2 分）xexexf sinco)11 )cos(in1xex 因为 2,( 所以 （3 分）0)xf 11 所以函数 在 上单调递减（4 分）)(xf)2,0 (II) .)1cos(1cos122 xeef x 而 ，（5 分）(in)() x 又因为 ，所以 .（6 分）2,10)1cosx 要证原不等式成立，只要证 ，0)cos(in2xexx 只要证 ，)cos(in12exx 只要证 ，在 上恒成立. （7 分）4i12x 21,x 首先构造函数 ， ，)4sin(2)(xg , 因为 ，)4cos(2)(xg )co(x 可得，在 时， ，即 在 上是减函数，0,10xg)g0,1 在 时， ，即 在 上是增函数，（8 分）2,x)(x2, 所以,在 上， ，所以 .1, 0)()(mingx0)(g 所以， ，等号成立当且仅当 时. 10 分24si2x 其次构造函数 ， ，)()(1xexh21, 因为 ，2112 xx 可见 时， ，即 在 上是减函数，,0)(h)(h21, 12 时， ，即 在 上是增函数，21,x0)(xh)(xh21, 所以在 上， ，所以 ，, )21()(min0)( 所以， ，等号成立当且仅当 时. （11 分）212xe x 综上所述， ，)4sin( 因为取等条件并不一致， 所以 ，在 上恒成立，)4sin(212xex 21,x 所以 ，总有 成立. 12 分, 0)cos()( xff 22. （）由题意可知 （1 分）BDC 所以 （2 分）AC 由角分线定理可知 M，（3 分） 即 B得证. （4 分） （）由题意 PD，即 BC，. （4 分） 由四点共圆有 . （5 分）A 所以 （6 分）C 所以 . （7 分） 又 ， . （8 分）BD 所以 . （9 分）A 所以 . （10 分） 23. 解：(I)曲线 的直角坐标方程为 （1 分）C412yx 左焦点 代入直线 的参数方程)0,2(FAB 得 （2 分）m 直线 的参数方程是 （ ）AB tytx2为 参 数 13 代入椭圆方程得 （3 分）022t 所以 =2（4 分）|FBA () 设椭圆 的内接矩形的顶点为 ， ，C)sin2,co()sin2,co3( ， （6 分）)sin2,co3(0i,s3 所以椭圆 的内接矩形的周长为 = （8 分）sin8co)3i(1 当 时，即 时椭圆 的内接矩形的周长取得最大值 1