公考行测之数量学运算20秒极限解题法

公考行测之数量关系 20 秒极限解题法 极限技巧一：整除法 整除法在公务员行测考试中占有非常重要的位置，能够快速提高数量关系 的解题速度，有效节省做题时间。运用整除法的关键在于找到题干中隐藏的关 键数字信息，结合选项利用数字的整除特性解题。 例 1：在一次测验中，甲答对 4 道题，乙答错题目总数的 1/6，两人都答对 的题目是总数的 1/4。那么乙答对了多少题? A.10 B. 8 C. 20 D. 16 -2010 年河南省选调生录用考试 【答案】A 一般解法：设总量为 x，乙答对总题量的 5/6，甲答对 4 道题，又因为两人 都答对的题目是总数的 1/4，则有 x/44，x16。再往下就无从着手了。 【20 秒极限解题法】整除法，同时代入排除法。由题意知，题目的总数= 乙答对的题目数(6/5)，显然乙答对的题目数是 5 的倍数，首先排除 B、D; 将 20 代入，若乙答对的题目数为 20 道，则题目的总数为 24 道，又甲答对 4 道 题，所以两人都答对的题目数最多为 4 道，4/241/4，所以排除 C。故选 A。 例 2：某公司去年有员工 830 人，今年男员工人数比去年减少 6%，女员工 人数比去年增加 5%，员工总数比去年增加 3 人。问今年男员工有多少人?( ) -2011 年中央、国家机关公务员录用考试 A.329 B.350 C.371 D.504 【答案】A 一般解法：因此题计算比较繁琐，一般数学基础好的学生按此方法做题约 需要 60 秒以上。设去年男员工人数为 x，女员工为 830-x，今年男员工人 数为 x(1-6%)，女员工为(830-x)(1+5%)，今年人数比去年多 3 人，即 x(1-6%) +(830-x)(1+5%)=830+3， 解方程可求出 x，则今年男员工人数为 x(1-6%) =329。 【20 秒极限解题法】本题可利用整除特性求解。由题知：今年男员工人数 是去年的 94%，即 4750 ，故今年男员工人数可被 47 整除。结合选项，只有 A 项符合。故选 A。 极限技巧二：数字特性法 2 数字特性法：根据题干列出公式，观察式子中是否包含某些特定数字来进 行答案的排除及选择的一种方法。这种方法的核心在于以下两点：若等式一边 能被某个数整除，则另一边一定能被某个数整除;若等式一边不能被某个数整除， 则另一边一定不能被某个数整除。 例 3：某机关有工作人员 48 人，其中女性占总人数的 37.5%，后来又调来 女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的 40%，问调来几名女性?( ) A. 1 人 B. 2 人 C.3 人 D. 4 人 -2009 年河南选调生录用考试 【答案】B 一般解法：设调来女性为 x，求得原有女性 48 37.5%=18 人，所以(18+x) (48+x)=40%，这样可以求得 x=2。 【20 秒极限解题法】本题公式的运算可以运用数字特性法。后来的女性的 人数为(48+x)40%是一个整数，可知 48+x 一定能够被 5 整除，根据四个选项， 得到 x=2。故选 B。 例 4：某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打 9.5 折， 付款时满 400 元再减 100 元。已知某鞋柜全场 8.5 折，某人晚上九点多去该鞋 柜买了一双鞋，花了 384.5 元，问这双鞋的原价为多少钱?( ) A. 550 元 B. 600 元 C. 650 元 D. 700 元 -2008 年中央、国家机关公务员录用考试 【答案】B 一般解法：该题属于利润问题，根据题意列出下列方程：原价=(384.5+100) /(0.850.95) =(484.5)/(0.850.95)=600。 这个式子本身并不难列出，但 若按常规方法运算的话，过程繁琐且易出错。 【20 秒极限解题法】本题可以运用数字特性法。由上面的公式，484.5 能 被 3 整除，而 0.85 和 0.95 都不能被 3 整除，因此在公式的计算过程中 3 没有 被约掉，因此答案必然能被 3 整除。选项中只有 B 能够被 3 整除，因此选 B。 在此简单介绍几种数学运算中常用的解题技巧：尾数法、代入排除法、特值 法、方程法、十字交叉法、图解法。 (一)尾数法 尾数法是指在考试过程中，不计算算式各项的值，只考虑算式各项的尾数， 进而确定结果的尾数。由此在选项中确定含此尾数的选项。尾数的考查主要是 3 几个数和、差、积的尾数或自然数多次方的尾数。尾数法一般适用于题目计算 量很大或者很难计算出结果的题目。 例 1： 173173173-162162162=() A.926183 B.936185 C.926187 D.926189 解题分析：此题考查的是尾数的计算，虽然此题是简单的多项相乘，但是 因为项数多，导致计算量偏大，若选择计算则浪费大量时间;若用尾数计算则转 化为 333-222=27-8=9，结合选项末位为 9 的为 D。故此题答案为 D。 (二)代入排除法 代入排除法是应对客观题的常见且有效的一种方法，在公务员考试的数学 运算中，灵活应用会起到事半功倍的效果，其有效避开解题的常规思路，直接 从选项出发，通过直接或选择性代入，迅速找到符合条件的选项。 例 2： 某四位数各个位数之和是 22，其中千位与个位数字之和比百位数字与十位 数字之和小 2，十位数字与个位数字之和比千位数字与百位数字之和大 6，千位 数字与十位数字之和比百位数字与个位数字之和小 10，则这个四位数是( ) A.5395 B.4756 C.1759 D.8392 解题分析：题目中要求是一个四位数，且给出四个条件，显然可以通过设 未知数列方程求此四位数各个位数的数字。但此题若用代入排除法，即验证此 数是否符合题中条件，可轻易得出符合题意的仅 C 项。故此题答案为 C。 (三)特值法 特值法是通过对某一个未知量取一个特殊值，将未知值变成已知量来简化 问题的方法。这种方法是猜证结合思想的具体应用，也是公务员考试中非常常 见的一种方法。 常用的特殊方法有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊方程、特殊点等。 一般，首先假设出一个特殊值，然后将特殊值代入题干，通过一系列数学运算 推导出结论;有时候也会通过检验特例、举反例等方法来排除选项，这一点和代 入排除法有些类似。 4 例 3： 有 4 个数，它们的和是 180，且第一个数是第二个数的 2 倍，第二个数是 第三个数的 2 倍，第三个数又是第四个数的 2 倍，问第三个数应是： A.42 B.24 C.21 D.12 解题分析：设第四个数为 1，则前三个数分别为 2、4、8，和为 15。故可 得第四个数=180/15=12。所以第三个数为 24。故此题答案为 B。 (四)列方程求解法 在公务员考试中，最常出现的是二元一次方程的，其通用形式是 ax+by=c，其中 a、b、c 为已知整数，x，y 为所求自然数，在解不定方程时， 我们需要利用整数的整除性、奇偶性、自然数的质合性、尾数特性等多种数学 知识来得到答案。 例 4： 有 271 位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有 37 个座位，小客车 有 20 个座位。为保证每位乘客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的 辆数是()。 A.1 辆 B.3 辆 C.2 辆 D.4 辆 解题分析：设大客车需要 x 辆，小客车需要 y 辆，则 37x+20y=271。针对 此不定式方程，就要应用整数的特性，20y 的尾数必然是 0，则 37x 的尾数只能 是 1，结合选项，只有 x=3 时才能满足条件。故答案为 B。 (五)十字交叉法 对于两种溶液，混合的结果:某一溶液相对于混合后溶液，溶质增加;另一 种溶液相对于混合后溶液，溶质减少。由于总溶质不变，因此增加的溶质等于 减少的溶质，这就是十字交叉法的原理。 例 5： 甲杯中有浓度为 17%的溶液 400 克，乙杯中有浓度为 23%的同种溶液 600 克， 现在从甲、乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯，乙杯取出的倒入 甲杯，使甲乙两杯的浓度相同，问现在两杯溶液的浓度是多少? A.20% B.20.6 C.21.2% D21.4% 解题分析：设混合后总浓度为 x。 5 (六)图解法 有些问题条件比较多，数量关系比较复杂，但如果使用适当的图形来表示 和区分这些数量，会给人很直观的印象，这种通过画图来帮助解题的方法就是 图解法。 例 6 ：某工作组 12 名外国人，其中有 6 人会说英语，5 人会说法语，5 人 会说西班牙语;有三人既会说英语又会说法语，有 2 人既会说法语又会说西班牙 语，有 2 人既会说西班牙语又会说英语;有 1 人这三种语言 都会说。则只会说 一种语言的人比一种语言都不会说的人多： A.1 人 B.2 人 C.3 人 D.5 人 解题分析：此题考查容斥原理，解此类题可应用画文氏图法。 根据题意，将所给条件填入相应的集合中，可得下图： 由图可以看出，只会说一种语言的人有 2+1+2=5 人，一种语言都不会说的 有 2 人，故此题答案为 5-2=3 人。所以正确答案为 C。 二、例题讲解 【例 1】甲、乙二人同时同地绕 400 米的循环形跑道同向而行，甲每秒钟 跑 8 米，乙每秒钟跑 9 米，多少秒后甲、乙二人第一次相遇? 6 A.400 B.800 C.1200 D.1600 【答案】A 解析： 甲、乙两人同向而行，乙的速度大于甲的速度，当乙 走的路程比甲走的路程多一个周长时，甲、乙两人第一次相遇，根据公式可知， 第一次相遇所需要的时间为 400/(9-8)=400 秒 【例 2】甲、乙二人同时同地绕 400 米的循环形跑道同向而行，甲每秒钟 跑 8 米，乙每秒钟跑 9 米，多少秒后甲、乙二人第三次相遇?【2009 江西省公 务员考试行测第 38 题】 A.400 B.800 C.1200 D.1600 【答案】C 解析：2009 年的江西省公务员考试的考题在例 1 的基础上稍 加变化，问两人第三次相遇的时间，在该题中，每次相遇所需要的时间都为相 同的定值，第三次相遇的时间为第一次相遇时间的三倍，故 3400=1200 秒 【例 3】甲、乙二人同时同地绕 400 米的循环形跑道背向而行，甲每秒钟 跑 6 米，乙每秒钟跑 2 米，多少秒后甲、乙二人第一次相遇? A.40 B.50 C.60 D.70 【答案】B 解析：对于背向而行的环形运动，当两人走的路程和为环形 跑道周长时，两人第一次相遇，时间为 400/(6+2)=50 秒，故选 B 同样，每次 相遇所需要的时间也为一个相同的定值，50 秒。 【例 4】甲、乙两人同时从 A 点背向出发，沿 400 米环形跑道行走，甲每 分钟走 80 米，乙每分钟走 50 米，两人至少经过多少分钟才能在 A 点相遇?( ) 【2005 年北京市公务员社会招聘考试第 16 题】 A. 10 分钟 B. 12 分钟 C. 13 分钟 D. 40 分钟 【答案】D 解析：这个题同样也是背向而行的环形运动问题，但在例 3 的 基础上难度又有所增加，在该题中，对相遇地点有了限制，要求在原出发点的 A 点相遇，此时，我们可以换一个角度来思考，甲从 A 点出发，再次回到 A 点， 所需要的时间为 400/80=5 分钟，每次回到 A 点所需要的时间为 5 的倍数。同 理，乙每次回到 A 点所需要的时间为 8(400/50=8)的倍数，两人同时从 A 点出 发，再次同时回到 A 点所需要的最少的时间为 5 和 8 的最小公倍数 40，故 此 题答案为 D . 在此题中，我们应该也明白，每次在 A 点相遇的时间都是 40 的 倍数，若此题再变形，求第二次在 A 点相遇的时间，那么为 240=80 分钟。 【例 5】甲、乙、丙三人沿着 400 米环形跑道进行 800 米跑比赛，当甲跑 1 圈时，乙比甲多跑 1/7 圈。丙比甲少跑 1/7 圈。如果他们各自跑步的速度始 终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面( )。【2005 年国家公务员考试】 7 A.85 米 B.90 米 C.100 米 D.105 米 【答案】在此题中，我们可以列一个表格出来 故，当乙到达终点时，甲在丙前面 700-600=100 米 【例 6】在同一环形跑道上小陈比小王跑得慢，两人都按同一方向跑步锻 炼时，每隔 12 分钟相遇一次;若两人速度不变，其中一人按相反方向跑步，则 每隔 4 分钟相遇一次。问两人跑完一圈花费的时间小陈比小王多几分钟?() 【2008 年江西省公务员考试行测第 44 题】 A.5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 解析： 这道环形运动问题，将同向运动和反向运动问题糅合 在一起，假设小陈的速度为 V1，小王的速度为 V2，跑道一圈长为 S，则： S =12(V2-V1) S = 4(V2+V1) 式 / 式可得：V2 = 2V1 代入原方程可知：S=12 V1 两人跑完一圈花费的时间差为 S/ V1 - S/ V2 = 6 分钟。 【例 7】某学校操场的一条环形跑道长 400 米，甲练习长跑，平均每分钟 跑 250 米;乙练习自行车，平均每分钟行 550 米，那么两人同时同地同向 而行， 经过 x 分钟第一次相遇，若两人同时同地反向而行，经过 y 分钟第一次相遇， 则下列说法正确的是()。【2007 年山东省公务员考试行测第 49 题】 A. x-y=1 B. y-x=5/6 C. y-x=1 D. x-y=5/6 【答案】D 解析：两人同向而行，则有：(550-250)x=400 两人反向而行， 有：(550+250)y=400，可以得到，x=4/3 y=1/2，此时 x-y= 4/3-1/2=5/6。 8 1.有一条植着等距离树的路，哥哥和弟弟同时出发，从第一棵树到最后一棵树 方向走去，哥哥每分钟走 84 米，弟弟每分钟走 36 米。哥哥走到第 22 棵树时， 弟弟走到第几棵 树?( ) A13 B9 C10 D11 2.松鼠妈妈采松果，晴天每天可采 20 个。雨天每天只能采 12 个。它一连几天 共采了 112 个松果，平均每天采 14 个。这几天中有几天下雨?( ) A3 B4 C5 D6 3.小李从家里骑摩托车到火车站。如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间 早到 15 分；若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分。现在小李打算 在火车开车前 10 分到达火车站，骑摩托车的速度应该是多少?( ) A20 千米时 B27 千米时 C36 千米时 D60 千 米时 4.有两根绳子，长的比短的长 1 倍，现在把每根绳子都剪掉 6 分米，那么长的 一根就比短的一根长两倍。长绳子原来的长度是多少分米?( ) A.12 B.24 C.26 D.36 5.有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下 32 块；如果将它们改排成每边 比原来多一块砖的正方形，就要差 49 块。这批砖原有多少块?( ) A1240 B1600 C1632 D2040 6.一个两位数，它的值恰好是两个数字之积的三倍，求这样的两位数为( )。 A15 B24 C15 或 24 D以上均不是 7.货场上有一堆黄沙，如果用 3 辆卡车，4 天可以运完；如果用 4 辆马车，5 天 9 可以运完；如果用 20 辆小板车，6 天可以运完。现在由 2 辆卡车、3 辆马车、 7 辆小板车共同运两天后，全部改用小板车运，必须在两天运完。后两天每天 需( )辆小板车。 A10 B12 C15 D30 8.某班学生中 78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说。 该班学 生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是( )。 A40% B30% C20% D5% 9.甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排在第一个位置 上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上， 那么不同的排法共有 ( )种。 A9 B11 C.14 D6 10.在一条公路旁有 4 个工厂，每个工厂的人数如图所示，且每两厂之间距离相 等。现在要在公路旁设一个车站，使 4 个工厂的所有人员步行到车站总路程最 少，这个车站应设在几号工厂门口？（ ） A.1 号 B.2 号 C.3 号 D.4 号 11.跑马场上有三匹马，其中上等马一分钟能绕场跑 4 圈，中等马一分钟能绕场 跑 3 圈，下等马一分钟能绕场跑 2 圈。现在三匹马从同一起跑线上出发，同向 绕场而跑。问经过几分钟后，这三匹马又并排跑在起跑线上?( ) A1 分钟 B.4 分钟 C.12 分钟 D.24 分钟 12现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化 学实验做正确的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有 ( )。 A.27 人 B.25 人 C.19 人 D10 人 13.大小两个数的差是 49.23，较大的数的 1/10 就是较小的数，那么较小的数 是多少？（ ） A.9.423 B.5.47 C.6.27 D.5.23 14.规定为一种新的运算符号，它使得下列算式都成立： 48=16，106=26，610=22，1814=50，则 73=（ ） A.34 B.28 C.23 D.17 158 个甲级队应邀参加比赛，先平均分成两组，分别进行单循环赛，每组决 出前两名，再由每组的第一名，另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、 10 亚军，败者角逐第 3、4 名，整个赛程的比赛场数是( )。 A.16 B15 C14 D.13 1.C【解析】根据每棵树之间的间隔距离相等，假设这个间隔的长为 1 米，哥哥 每分钟 走 84 米。即每分钟走 84 个间隔，弟弟每分钟走 36 个间隔。哥哥从第 1 棵树走 到第 22 棵树， 共走了 21 个间隔。又因为 8421=4，所以弟弟走到第 364+1=9+1=10 棵树。 故选 C。 2.D【解析】松鼠妈妈一连采了松果的天数为：11214=8(天)。 设雨天有 x 天，则晴天有(8-x)天，列方程得： 20(8-x)+12x=112，解得 x=6。 故选 D。 3B【解析】设离火车开车还有 x 小时，则从家到火车站的距离为 30(x-15/60)千 米或 18(x+15/60)千米。列方程得：30(x-15/60)=18(x+15/60)，解得 x=1。 骑摩托车的速度应该是：30（1-15/60）（1-10/60）=27（千米/时）。故 选 B。 4.B【解析】设短的长 x 分米，则长的为(1+1)x 分米，列方程得： (1+1)x- 6=(x-6)(1+2), 解得 x=12，则长绳子为：12(1+1)=24(分米)。 因此本题正确答案为 B。 5.C【解析】设大正方形每边有 x 块砖，则共有砖(x2+32)块或(x+1)(x+1)-49 块。列方程得：x2+32=(x+1)2-49，解得 x=40， 这批砖共有：4040+32=1632(块)。 故本题正确答案为 C。 6.C【解析】设所求的两位数为 ab，则 10a+b=3ab 于是 b/a=3b-10。 因为(3b-10)是一个整数，所以 a 能够整除 b。 又 10a/b=3a-1，因为(3a-1)是一个 整数，所以 b 能够整除 10a。故 b 只能是 a，2a,5a。 当 b=a 时，1=3b-10，b=11/3(不合题意，舍去)； 当 b=2a 时，2=3b-10，b=4，从而 a=2； 当 b=5a 时，5=3b-10，b=5，从而 a=1。 故所求两位数为 15 或 24，本题正确答案为 C。本题用代入法计算很方便，考生 在做题中可以尝试使用这种方法。 11 7.C【解析】设后两天每天需 x 辆板车，列方程得 （1/342+1/453+1/2067)2+1/2062x=1，求得 x=15。因此， 本题正确答案为 C。 8B【解析】某班学生中有： 不喜欢游泳的有 1-78%=22%； 不喜欢玩游戏机的有 1-80%=20%； 不喜欢下棋的有 1-84%=16%； 不喜欢看小说的有 1-88%=12%； 那么不喜欢四种活动中任何一种的最多占全班学生人数的： 22%+20+16%+12=70%。 所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是 1-70%=30%。故 本题选 B。 9.A【解析】我们可以这样考虑，第一个位置，乙、丙、丁都可以排，若乙排在 第一个位 置上，乙不能排的位置甲、丙、丁三人都能排，最后剩下的两人只有一种排法， 所以不同的排法有 33=9(种)。故本题选 A。 10.C【解析】一般情况车站设在几个工厂的中间，即设在 2 号工厂或 3 号工厂 门口。由于各厂人数不同，还是应通过计算再决定车站在哪一个工厂门口合适。 如果设车站建在 2 号工厂门口，且设每两个工厂之间距离为 1 千米，那么 4 个 工厂所有人 员步行总路程为：1100+180+2215=100+80+430=610(千米)。如果车站设 在 3 号工厂门口，每两个工厂之间的距离为 1 千米，那么 4 个工厂所有人员步 行总路程为： 11002+1120+1215=200+120+215=535(千米)。 显然，车站设在 3 号厂门口，才能使 4 个工厂所有人员步行到车站总路程最少。 故本题选 C。 11.A【解析】本题很有技巧，应该是 1 分钟后不论跑了几圈，都会同时到开始 的起跑线上，所以选择 A。 12.B【解析】根据容斥原理，A+B=AB+AB 代入得 40+31BF=(50-4) +ABBFQ，BFAB=25BFQ，所以选择 B 答案。 12 13.B【解析】假设较小的数为 x，那么 10x-x=49.23，解得 x=5.47。所以正确 答案为 B。