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北京 特级 教师 二轮 复习 温习 辅导 高考 数学 探究 探索 开放型 问题 讲经 打包

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【北京特级教师 二轮复习精讲辅导】2015届高考数学 探究型、探索型及开放型问题选讲经 理（打包8套）,北京,特级,教师,二轮,复习,温习,辅导,高考,数学,探究,探索,开放型,问题,讲经,打包

内容简介：

探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析 金题精讲 题一： 设 x表示不大于 则对任意实数 x， y， 有 ( ) A x x B 2x 2x C x y x y D x y xy 题二 ： 设整数 n4, 集合 X=1,2,3, ， n=(x， y， z)| x， y， z X， 且三条件点的轨迹给出下列三个结论： 曲线 曲线 若点 上，则 12a 其中，所有正确结论的序号是 题四 ： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，第 21 112 2 2nn n 个 (n,k)(k 3)，以下列出了部分 三角形数 2,3 22N n n 2,4N n n五边形数 231,5n n n六边形数 2, 6 2N n n n 可以推测 N(n,k)的表达式，由此计算 N(10,24)= 题五： 当 x R， |x|1时，有如下表达式 :2 11 . . x x x 两边同时积分得：1 1 1 1 122 2 2 2 20 0 0 0 0 11 . . x dx x dx x dx 从而得到如下等式：2 3 11 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) . ( ) . l n 2 3 2 1 2 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 2 3 11021 1 1 1 1 1 1( ) ( ) . ( ) _C C C 2 3 2 1 2 n nn n 题六： 对于集合 A=1,2,3， n的每一个子集，定义 “ 交替和 ” 如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数例如 ， 集合 1,2, 4,6,9的交替和是 9 6+4 2+1=6，集合 5的交替和是 5， 的交替和为 0定义 的所有子集的交替和的总 和 求 探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析 讲义参考答案 金题精讲 题一 ： D 题二 ： B 题三 ： 题四： 1000 题五： 113( ) 112 题六： 1 - 1 - 探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析课后练习 题一： 设 x表示不大于 则对任意实数 x, y, 有 （ ） A x x B 1 2C 2x 2x D 1 2 2x x x 题二： 如果 x表示不大于 如： ， ，则满足等式 x 的 题三： 定义集合 A， B 的一种运算： A*B x|x 中 A， B，若 A 1， 2，3， B 1， 2，则 A* ) (A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 21 题四： 对集合 A 1， 2， 3， ， 2001及每一个非空子集，定义一个唯一确定的 “ 交替和 ”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。例如，集合 1， 2， 4， 7， 10的 “ 交替和 ” 为 10 7 4 2 1 6，集合 7， 10的 “ 交替和 ” 为 10 7 3， 5的 “ 交替和 ” 为 5，等等，试求 交替和 ” 的总和 题五： 曲线 C 是平面内到定点 F（ 0， 1）和定直线 l： y 的距离之和等于 4 的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线 若点 P（ x， y）在曲线 |y|2 ； 若点 上，则 1| 4 其中，所有正确结论的序号是 题六： 在平面直角坐标系中，动点 P（ x， y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（ 1， 1）的距离，记点 （ ）给出下列三个结论： 曲线 W 关于原点对称； 曲线 W 关于 直线 y=x 对称； 曲线 W与 x 轴非负半轴， y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 12；其中，所有正确结论的序号是 ； （ ）曲线 题七： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、 3、 6、 10 这样的数称为 “ 三角形数 ” ，而把 1、4、 16 这样的数称为 “ 正方形数 ” 从图中可以发现，任何一个大于 1的 “ 正方形数 ” 都可以看作两个相邻 “ 三角形数 ” 之和请再写出一个符合这一规律的等式： - 2 - 题八： 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 将可被 5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 可以推测： 的第 项 题九： 数列 ， 其前 n 项和为则2013S _. 题十： 设满足以下两个条件的有穷数列12, , , na a a为 n(n=2,3,4) 阶 “ 期待数列 ”: 1 2 3 0na a a a ； 1 2 3 1na a a a . (1)分别写出一个单调递增的 3阶和 4阶 “ 期待数列 ” ； (2)若某 2k+1( N*k )阶 “ 期待数列 ” 是等差数列 ， 求该数列的通项公式 . 题十一： 如果有穷数列 ， 足条件 a1=a2= ， am= ai=am i+1（ i=1， 2， ， m），我们称其为 “ 对称数列 ” 例如，数列 1， 2， 5， 2， 1 与数列 8， 4， 2， 2， 4， 8 都是 “ 对称数列 ” 设 7 项的 “ 对称数列 ” ，其中 b2， ， 则 列各项的和为 题十二： 数列 2 1n 的前 n 项组成集合 * 1 , 3 , 7 , , 2 1 ( )n N ，从集合 1k ， 2， 3， ， n ）个数，其所有可能的 k 个数的乘积的和为 若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12 T T 例如 ： 当 1n 时， 1， ， ；当 n=2时， 1， 3， +3， 3 ， +3+13=7 （ ） 求3S=_； （ ） 猜想_ - 3 - 探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析 课后练习 参考答案 题一： D 详解： 对 A，设 x = x = 1， x = 2，所以 对 B，设 x =12， x+12 =1， x = 0，所以 对 C，设 x = 2x = = 3， 2x = 4，所以 故 所以选 D 题二： 3 x 4 详解： x表示不大于 x x x， 等式 x ，可变为： x=3，即： x 3 x，解得： 3 x 4，故答案为： 3 x 4 题三： B 详解： A*B 2， 3， 4， 5，因此 A*4故选 B 题四： 220002001 详解 :集合 A 1， 2， 3， ， 2001的子集中，除了集合 2001，还有 22001 2个非空子集将其分为两类，第一类是含 2001 的子集，第二类是不含 2001 的子集，而且这两类各自所含子集的全体相互构成一一映射，从而这两类所含子集的个数相同因为若 第二类的，则必有 2001 是第一类的集合；如果 001外，还应用 1， 2， 3， ，2000 中的做其元素，即 001 外是非空的，而是第二类 的集合；令 i2001 对应，则这种 “ 成对的 ” 的集合的 “ 交替和 ” 都为 2001，从而可得 A 的所有子集的 “ 交替和 ”的总和为 12(22001 2)2001 2001 220002001 题五： 详解：设 P（ x， y）是曲线 因为曲线 （ 0， 1）和定直线 l： y 的距离之和等于 4的点的轨迹， 所以 |y+1|=4即 22( 1 ) | 1 | 4x y y ， 解得 y 时， 2124，当 y 时， 21 212； 显然 曲线 确 若点 P（ x， y）在曲线 |y|2 ；正确 若点 上， |y+1|=4， |y|2 ，则 1| 4 正确故答案为： 题六： （ ） ；（ ） 22 - 4 - 详解 ： 动点 P（ x， y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（ 1， 1）的距离， 22| | | | ( 1 ) ( 1 )x y x y ， | x+y ， 0，（ x+1）（ y+1） =2 或 0，（ y ）（ x） =0， 函数的图象如图所示， 曲线 y=；曲线 W与 y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 12； 由 y=x+1）（ y+1） =2 联立可得 21x ， 曲线 ( 2 1 ) 2 2 ， 故答案为： ； 22 题七： 25=10+15（答案不唯一） 详解： “ 三角形数 ” 的规律为 1、 3、 6、 10、 15、 21“ 正方形数 ” 的规律为 1、 4、 9、 16、25 根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于 1 的 “ 正方形数 ” 都可以看作两个相邻 “ 三角形数 ” 之和再观察出 “ 三角形数 ” 和 “ 正方形数 ” 的变化规律，可以再写出一个符合这一规律的等式： 25=10+15 题八： 5030 详解：由前四组可以推知 ( 1)2n ，从而 b1=0， b2=5， b3=5， b4=5，依次可知，当 n=4， 5， 9， 10， 14， 15， 19， 20， 24， 25， 时， 整除，由此可得， kN* ）， 006 =答案为： 5030 题九： 1006 详解： 41414 1 c o s 4 1 c o s 022n n 42 424 2 c o s 4 2 c o s 4 22n na n n n 43 43 34 3 c o s 4 3 c o s 022n na n n - 5 - 44 444 4 c o s 4 4 c o s 2 4 42n na n n n 所以4 1 4 2 4 3 4 4 2n n n na a a a ， 于是2 0 1 3 2 0 1 32012 2 1 0 0 6 0 1 0 0 64 . 题十： （ 1）数列 11,0,22为 3阶 “ 期待数列 ” ；数列 3 1 1 3, , ,8 8 8 8为 4阶 “ 期待数列 ” ； （ 2） 当 0d 时， 1( 1)k k；当 0d 时， 1 .( 1 )k k 详解 ：（ 1） 数列 11,0,22为 3阶 “ 期待数列 ” ；数列 3 1 1 3, , ,8 8 8 8为 4阶 “ 期待数列 ” ； （ 2）设等差数列1 2 2 1, , , ( 1 )ka a a k 的公差为 d， 因为 1 2 3 2 1 0ka a a a ，所以1 2 ( 2 1 )( 2 1 ) 02k k 所以 1 0a ，即 1 0 ，所以2 0 ， 当 0d 时，与 期待数列 的条件 矛盾，当 0d 时，根据 期待数列 的条件 得 2 3 2 11 ,2k k ka a a ( 1 ) 1 1,2 2 ( 1 )d d d 即由1 0 得11110,( 1 ) 1a k ak k k 即, 1 1 1( 1 ) ( , 2 1 ) 1 ) ( 1 )n n N n kk k k k k k 当 d0时 ，同理可得 ( 1 ) 1 1,2 2 ( 1 )d d d 即由1 0 得11110,( 1 ) 1a k ak k k 即, 1 1 1( 1 ) ( , 2 1 ) 1 ) ( 1 )n n N n nk k k k k k 题十一： 44或 详解： 由 ， 可得公比 4， q= 2 ， 若 q=2，则数列 各项分别为： 2， 4， 8， 16， 8， 4， 2，此时数列的各项和为： 44； 若 q ，则数列 各项分别为： 2， ， 8， ， 8， ， 2， 此时数列的各项和为：，故答案为： 44或 - 6 - 题十二： （ ） 63； （ ） ( 1)221n 详解： （ ）当 n=3时， 1， 3， 7， +3+7=11， 3+17+37=31 ， 37=21 ， 所以 1+31+21=63； （ ） 由 =21 1= 1， =23 1= 1， 3=26 1= 1， 猜想 ( 1)221n ，下面证明： （ 1）易知 n=1时成立； （ 2）假设 n= ( 1)221k ， 则 n=k+1时， =2+ =(2 k+1 (2 k+1 + (2 k+1 + (2 k+1 + (2k+1 （其中 ， i=1， 2， ， k，为 n=k）， =( + + (2k+1 (2k+1 ( + = 2k+1 1)+(2k+1 1)2k+1( ( 1)221 )+(2k+1 1)=2k+1 ( 1)221 = ( 2 )( 1)221 ， 即 n= 1 ( 2 ) ( 1 )221k 也成立 ， 综合 （ 1）（ 2） 知 ： 对 n N*， ( 1)221n 成立 所以 ( 1)221n 探究型、探索型、开放型问题经典回顾 开篇语 研究型、探索型、开放型问题是高考数学中的创新问题，是历年高考试题的亮点这类问题大多背景新颖，视角独特，设计精妙，小巧灵活历年高考中，常见的类型有：自主定义型、直觉判断型、类比推理型、归纳猜想型、探索发现型、研究设计型六类这些问题在课本上一般很难找到，由于见得较少，因此对于高三学生来说，似有一定的难度所以，在高三二轮复习中，我们应当适当地选择一些研究型、探索型、开放型问题加以求解训练，逐步提高我们求解创新问题的能力 开心自测 题一：根据下列 5个图形及相应 点的个数的变化规律 , 猜测第 n 个图中有 个点 . 题二： 定义 “ 等和数列 ”： 在一个数列中 ， 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数 ， 那么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做这个数列的公和 已知数列 1 2a， 公和为 5 ， 那么18 ，这个数列的前 n 项和 金题精讲 题一：设 的非空子集 x,y S ，都有 x y , x y , ，则称 列命题： 集合 S a a,b 为整数， i 为虚数单位） 为封闭集； 若 一定有 0 S ； 封闭集一定是无限集； 若 满足 S T C 的任意集合 T 也是封闭集 . 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 题二： 如图所示，单位圆中 的长为 x ， ()B 弧与弦 围成的弓形面积的 2倍，则函数 ()y f x 的图象是 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 题三： 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的记数制，采用数字 0 9 和字母 A F 共 16 个记数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十 进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示： 1E D B ，则 （ ） （ A） 6E （ B） 72 （ C） 5F （ D） 四： 设 112 , , ( 2 ) ( 3 )23n N x x 20 1 2 a x a x a x ，将 (0 )ka k n的最小值记为2 3 4 53 3 5 51 1 1 10 , , 0 , , , ,2 3 2 3 T T T 其中_ 题五：定义映射 :f A B ，其中 ( , ) ,A m n m nR， BR 所有的有序正整数对 ( , )足下述条件： ( ,1) 1；若 ， ( , ) 0f m n ； ( 1 , ) ( , ) ( , 1 ) f m n n f m n f m n ，则 (3, 2)f 的值是 _； ( , )f 表达式为_（用含 n 的代数式表示） . 题六：给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使他们的全面积都与原三角面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1、图 2中，并作简要说明 名师寄语 在本节课的学习中，我们将高考中的研究型、探索型、开放型试题细化为自主定义型、直觉判断型、类比推理型、归纳猜想型、探索发现型、研究设计型六类问题，这六类问题是历年高考中考查创新意识的主要试题类型求解这些问题，往往没有现成的方法、公式可以直接套用，而是需要我们根据问题的条件和结论，自行设计解决问题的方法和策略显然，这在思维上具有较高的要求因此，我们应当加强这类问题的求解训练，只有这样，才能有效地培养创新意识，提高潜在的能力 探究 型、探索型、开放型问题经典回顾 讲义参考答案 开心自测 题一 ： 2 1 题二：18a 3；5 ( ) ,251( ) nS 为 偶 数为 奇 数 金题精讲 题一 ： 题二 ： D 题三： A 题四 ： 0 ( ) ,11( )23n n 为 偶 数为 奇 数 题五： (3,2)f 6， ( , ) !f n n n 题六 ：略 - 1 - 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾 课后练习（一） 把正整数按下图所示的规律排序，则从 2003 到 2005 的箭头方向依次为 在数列 ，若 12, 12| |, 3 , 4 , 5 ,n n na a a n ，则称 “绝对差数列 ”绝对差数列 ”（只要求写出前十项）。 设 +是 R 上的一个运算 ,A 是 R 的非 空子集 ,若对任意 ,a b A 有 a +b A ,则称 A 对运算 +封闭 ,下列数集对加法、减法、乘法和除法 (除数不等于零 )四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑 累了再走余下的路程 轴表示出发后的时间，则下面哪个图形较符合该生走法的是哪一种 . 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文 , , ,a b c d 对应密文 2 , 2 , 2 3 , 4 .a b b c c d d 例如，明文 12,3,4对应密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文 14,9,23,28 时，则解密得到的明文为（ ） （ A） 7,6,1,4 （ B） 6,4,1,7 （ C） 4,6,1,7 （ D） 1,6,4,7 设数列 前 n 项和为 令 12 S ST n ，称 数列 1a ， 2a ， ， “理想数 ”，已知数列 1a ， 2a ， ， 500a 的 “理想数 ”为 2004，那么数列 2， 1a ， 2a ， ， 500a 的“理想数 ”为（ ） A 、 2008 B、 2004 C、 2002 D 、 2000 - 2 - 给定集合 1, 2, 3,., ， *.若 f 是 的映射，且满足： （ 1）任取 ,ni j A 若 ，则 ( ) ( )f i f j ； （ 2）任取 ,若 2m ，则有 m (1), ( 2 ), ., ( )f f f m f 为 的一个 “优映射 ”. 例如：用表 1 表示的映射 f ： 33是一个 “优映射 ”. 表 1 表 2 （ 1）已知 f ： 44是一个 “优映射 ”，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （ 2）若 f ： 2010 2010是 “优映射 ”，且 (1004) 1f ，则 (1 0 0 0 ) (1 0 0 7 )的最大值为 _ . 如图 ,是正方体的平面展开图在这个正方体中： 行； 异面直线； 60角； 直 以上四 个命题中，正确命题的序号是（ ） A、 B、 C、 D、 i 1 2 3 ()2 3 1 i 1 2 3 4 () 3 - 3 - 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾 课后练习 参考答案 答案： B. 详解 :观察可得每 4个数一个循环 ,2003除以 4的余数为 3,则 2003与 3的位置相同 ,即 . 详解 :本数列中的规律是相邻两项差的绝对值正好是第三项 . 1 2 3 4 5 6 73 , 1 , 2 , 1 , 1 , 0 , 1a a a a a a a , 8 9 1 01, 0 , 1 .a a a （答案不惟一） 答案： C 详解 :A 中 1 2 1 不是自然数 ，即自然数集不满足条件； B 中 1 2 是整数，即整数集不满足条件； C 中有理数集满足条件； D 中 2 2 2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案 C。 答案： . 详解 : 和 图中 t=0 时 d=0 即该生一出家门便进家门（与学校距离为 0），因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小，即平均变化率应该是比较大的 . 答案：选 B 详解 :由题目的条件可以得到 2 1 4 , 2 9 , 2 3 2 3 , 4 2 8 .a b b c c d d 解得答案选 ， 2， 3， 4 对应密文 5， 7， 18， 16，找到一种对应的关系，实际上这个条件在本题中是多余的 答案：选 C. 详解 : 2004= 1 2 5 0 0500S S S , 1 2 5 0 0 = 5 0 0 2 0 0 4S S S 则所求 “ 理想数 ” 为1 2 5 0 0 2 5 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 5 0 1= = 2 0 0 25 0 1 5 0 1S S S . 答案： ； 2011. 详解 : 根据优映射的定义， f ： 2010 2010是 “优映射 ”，且 f（ 1004） =1，则 对 f（ 1000） +f - 4 - （ 1007），只有当 f（ 1000） =1004， f（ 1007） =1007 时， f（ 1000） +f（ 1007）取得最大值为 1004+1007=2011， 答案：选 C 详解 : 正方体的平面展开图复原为正方体，如图： 显然 不正确； 60角，即 0 正确； 平面 以 正确； 也可以用一张纸板剪成如图的形式，折成正方体 . 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾 课后练习（ 二 ） 题一： 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有 n(n1)盆花，每个图案花盆总数为 S，按此规律推断， S与 _。 n=2 n=3 n=4 S=3 S=6 S=9 观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n 个图中有 个小正方形 . 题二： 定义：称 21为 n 个正数, 21 的 “ 均倒数 ”. 数列 均倒数 ” 为121n，求 题三： 对于给定的自然数 n ，如果数列12, , . . . , ( )ma a a m n满足： 1, 2,3,.,n 的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称12, , . . . , ( )ma a a m n是 “ . 如 1,2,1 是 “2 的覆盖数列 ” ； 1,2,2 则不是 “2 的覆盖数列 ” ，因为删去任何数都无法得到排列 2,1，则以下四组数列中是 “3 的覆盖数列 ” 为（ ） （ A） 1,2,3,3,1,2,3 （ B） 1,2,3,2,1,3,1 （ C） 1,2,3,1,2,1,3 （ D）1,2,3,2,2,1,3 题四： 向高为 注满为止 与水深 h 的函数关系的图象。题五： 现代社会信息瞬息万变，国际间对破译密码的难度要求越来越高 码称为密文，有一种密码把英文的明文按字母分解，其中英文的 a,b,c,z 这 26个字母依次对应阿拉伯数字 1， 2， 3， ， 26，给出如下一个变换公式： n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 , ( ,1 2 6 , ) 21 3 , ( ,1 2 6 , )2x x N x xx x N x 为 奇 数为 偶 数,然后将明文转换成密文，如 8 82+13=17，即 q; 5 512=3, 即 e 变成 c. (1)按此规定，将明文 译成密文； (2) 按此规定，将密文 译成明文； 题六： 已知数列： 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1, , , , , , , , , , . . . ,1 1 2 1 2 3 1 2 3 4依它的前 10 项的规律，这个数列的第 2010项2010 ） A2010 10 10aB20101 110 aC20101 10aD2010 10a 题七： 已知向量 u (x， y)，与向量 v (y,2y x)的对应关系用 v f(u)表示 (1)证明：对任意的向量 a、 m、 n，恒有 f( mf(a) nf(b)成立； (2)设 a (1,1)， b (1,0)，求向量 f(a)与 f(b)的坐标； (3)求使 f(c) (p， q)(p、 的向量 题八： 请你设计一个包装盒，如图所示， 边长为 60正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A， B， C， ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E， 被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 x（ （ 1）某广告商要求包装盒的侧面积 S（ 大，试问 （ 2）某厂商要求包装盒的容积 V（ 大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的 比值 A 60 E F B x x C D P 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾 课后练习 参考答案 题一： 答案： S=3n 3；2 232 详解： 题目给出了 “ 每条边（包括顶点）有 n(n1)盆花 ” ，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为 3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以 S=3 设小正方形个数为当 n=1 时 ,1 21S , 当 n=2时 ,2 3 2 1S , 当 n=3 时 ,3 4 3 2 1S , 当 n=4时 ,4 5 4 3 2 1S , 当 n=5 时 ,5 6 5 4 3 2 1S , 可得 1 1 11 1 3 2 1 2n n n n = 2 232 题二： 答案： 41详解 :由 “ 均倒数 ” 定义： 12121 12)1(121 n 两 式相减，得 214 14,31题三： 答案： C 详解 :1,2,3 的排列有： 1,2,3； 1,3,2； 2,1,3； 2， 3， 1,； 3， 1， 2； 3， 2， 1； 由定义得， A 不是 “3 的覆盖数列 ” ，因为删去任何数都无法得到排列 3， 2， 1 B 不是 “3 的覆盖数列 ” ，因为删去任何数都无法得到排列 3， 1， 2； D 不是 “3 的覆盖数列 ” ，因为删去任何数都无法得到排列 3， 1， 2； 而 C 则符合要求 题四： 详解 :易知四个水瓶对应函数的定义域均为 0 H， ，而且都是单调递增的，唯一不同的是注水量 h 变化的快慢程度。 由水瓶的形状，我们可以发现第一个水瓶当0 变化越快，也就是说0)对应的值0()大，所以函数 (), ( )h V 函数图象如图 A 所示： 同理，第二个水瓶对应的函数曲线在点00( , ( )h V 始终大于 0。第三个水瓶对应的函数曲线在点00( , ( )h V 始终大于 0。而第四个水瓶对应的函数则是 V 关于 h 的正比例函数。故函数图象分别如 B,C,D. 题五： 答案： 详解 :（ 1） g7 712=4d,o15 15 12=8h, d4 42+13=15o, 所以明文 译成密文是 (2)逆变换公式为 2 1 , ( ,1 1 3 )2 2 6 , ( ,1 4 2 6 )x x N xx x N s19219 2l, h828 5o, x24224 2v, c323 e, 所以密文 译成明文是 题六： 答案：选 B 详解 : 将数列分组： 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1, , , , , , , , , , . . 2 1 2 3 1 2 3 4 设2010n 组，由( 1 ) ( 1 )201022n n n n，解得 63n ，所以 2010a 位于第 63 组中的第 6 3 6 22 0 1 0 5 72项，故2010 757a 题七： 答案： c (2p q， p) 详解 : (1)设 a ( b ( 则 ( f( (2 mf(a) m( nf(b) n( mf(a) nf(b) (2 f( mf(a) nf(b)成立 (2)f(a) (1,21 1) (1,1)， f(b) (0,20 1) (0， 1) (3)设 c (x， y)，则 f(c) (y,2y x) (p， q) y p，2y x q， 即 x 2p q，y p， c (2p q， p) 题八： 答案：当 x=15， S 最大；高与底面边长的比值为 12. 详解 : 由题意，知四个阴影等腰直角三角形底边长 60 2x)00， g(x)在 (0,20)上为增函数； 当 20x30 时， g(x)0， g(x)在 (20,30)上为减函数； 所以，当 x=20 时， g(x)取极大值，此极大值亦即 g(x)在 (0,30)上的最大值； 综上，知当 x=20，容积 此时，包装盒高 = 2(30 x)0 2面边长 = 20 2高底面边长 =10 220 2=12， 即包装盒容积最大时， x=20与底面边长的比值为 12. - 1 - 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲 重难点突破 动手尝试、探索实践，先猜再证 金题精讲 题一： 在 1， 2， 3， 2012 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ 题二 ： 用 x表示不超过 于下面关于函数 f (x)=( x x) 2的四个命题： 函数 y= f (x)的定义域为 R，值域为 0,1； 函数 y= f (x)的图象关于 函数 y= f (x)是周期函数，最小正周期为 1； 函数 y= f (x)在 (0,1) 上是增函数 其中正确命题的序号是 _ (写出所有正确命题的序号 ) 题三： 在数列 ， a1=a， a2=b，且 | 1| 2， n=3,4,5 ,R ，使得 ,R ，使得 若 5, 1，则 3. 其中真命题的序号为 _.(填出所 有真命题的序号 ) 题四 ： 若数列 ， n 2) 满足 | 1 (k=1,2， n 1)，则称 E 数列，记 S( a1+ + ( )写出一个满足 , 且 S ( 0的 5； ( )若 2 ， n=2000，证明： 011； ( )对任意给定的整数 n (n 2) ，是否存在首项为 0 的 n，使得 S(0？如果存在，写出一个满足条件的 n；如果不存在，说明 理由 - 2 - 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲 讲义参考答案 金题精讲 题一 ： 671 题二 ： 题 三 ： 题 四 ： ( )0, 1, 0, 1, 0； ( )证明略； ( )当 n=4k或 n=4k+1时，存在；当 n=4k+2或 n=4k+3时，不存在 - 1 - 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲 课后练习（一） 从 1， 2， ， 2010 这 2010 个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被 33 整除？ x表示不超过 x 的最大整数，例如 ， 2，若 ，下列命题： 当 时， y= y 的取值范围是： 0y1； 对于所有的自变量 x，函数值 y 随着 x 增大而一直增大 其中正确命题有 _ （只填写正确命题的序号） 已知数列 ， 0 ， n3 时具有性质 P：对任意的 i， j（ 1i jn），aj+ 两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题： 数列 0， 1， 3 具有性质 P； 数列 0， 2， 4， 6 具有性质 P； 数列 有性质 P，则 ； 若数列 0有性质 P，则 a1+ 其中真命题的序号为 （所有正确命题的序号都写上） 若数列 ， n2）满足 （ k=1， 2， ， ），则称 E 数列，记 S（ =a1+ （ ）写出一个 E 数列 足 a1=； （ ）若 3， n=2000，求证：若 递增数列，则 012；反之亦成立； （ ）在 的 E 数列 ，求使得 S（ =0 成立得 n 的最小值 - 2 - 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲 课后练习 参考答案 61 详解：首先，如下 61 个数： 11， 11+33， 11+233， 11+6033（即 1991）满足题设条件， 另一方面，设 从 1， 2， ， 2010 中取出的满足题设条件的 数， 对于这 n 个数中的任意 4 个数 因为 33|（ ai+ak+ 33|（ aj+ak+所以 33|（ ）， 所取的数中任意两数之差都是 33 的倍数， 设 3i=1， 2， 3， n，由 33|（ a1+a2+得 33|（ 333 所以 33|311| 11 2 0 1 0 1 11 1 , 6 13 3 3 3nn ， 故 0，所以 n61，综上所述， n 的最大值为 61 详解： 根据题意可得 ，所以 （ ） =以此命题正确； 中 y 的取值范围是： 0y 1，错误； 当 x 取一正一负时，函数值 y 有可能随着 x 增大而一直增大，错误正确命题 只 有 详解： 对任意 i， j（ 1ijn）， aj+ 两数中至少有一个是该数列中的项， 数列 0， 1， 3 中， a2+3=4 和 都不是该数列中的数，故 不正确； 数列 0， 2， 4， 6， aj+ （ 1ij3）两数中都是该数列中的项，并且 是该数列中的项，故 正确； 若 数列 有性质 P，则 an+ 两数中至少有一个是该数列中的一项， 0a 1 a 2 n3，而 2a n 不是该数列中的项， 0 是该数列中的项， a 1=0；故 正确； 数列 a 1， a 2， a 3 具有性质 P， 0a 1 a 2 a 3， a 1+a 3 与 a 1 至少有一个是该数列中的一项，且 ， 1若 a1+该数列中的一项，则 a 1+a 3=a 3， ，易知 a 2+a 3 不是该数列的项 a 2=a 2， a 1+a 3=2a 2 2若 是该数列中的一项，则 或 若 同 1， 若 ，则 a3= 盾， ，则 上 a1+ 正确故答案为： （ ）见详解；（ ）见详解；（ ） 9 详解： （ ） 0， 1， 0， 1， 0 是一个满足条件的 E 数列 答案不唯一， 0， ， 0， ， 0 或 0， 1， 0， 1， 2 或 0， 1， 0， ， 或 0， 1， 0， 0 都满足条件的 E 数列 （ ） E 数列 递增数列 ， （ k=1， 2， ， 1999）， 3， n=2000， 首项为 13，公差为 1 的等差数列， 3+（ ） 1=2012反之： 由于 ， ， ，所以 ，即 999， - 3 - 又因为 3， 012，所以 999故 0（ k=1， 2， ， 1999）， 即 递增数列 综上所述，若 递增数列，则 012；反之亦成立 （ ）对首项为 4 的 E 数列 于 ， ， ， ， 所以 a1+0（ k=2， 3， ， 8），所以对任意的首项为 4 的 E 数列 若 S（ =0，则必有 n9，又 的 E 数列 4， 3， 2， 1， 0， ， ， ， 满足 S（ =0，所以 n 的最小值是 9 - 1 - 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲 课后练习（ 二 ） 题一： 从自然数 1 到 2008 中，最多可以选出 个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被 3整除 题二： 对于实数 x，符号 x表示不超过 x 的最大整数，例如 =3， ，定义函数 f (x) = x x，则下列命