【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1章 解三角形（课时作业+章末综合检测）（打包9套）新人教A版必修5
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1章 解三角形（课时作业+章末综合检测）（打包9套）新人教A版必修5,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,三角形,课时,作业,功课,综合,检测,打包,新人,必修
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1 弦定理 (一 ) 课时目标 1熟记正弦定理的内容； 2能够初步运用正弦定理解斜三角形 1在 ， A B C ， 2. 2在 ， C 2 ，则 3一般地，把三角形的三个角 A， B， C 和它们的对边 a， b， c 叫做三角形的 元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 4正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ，这个比值是 三角形外接圆的直径 2R. 一、选择题 1在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 A B C 1 2 3，则 a b c 等于 ( ) A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 1 3 2 答案 D 2若 ， a 4， A 45 ， B 60 ，则边 b 的值为 ( ) A. 3 1 B 2 3 1 C 2 6 D 2 2 3 答案 C 解析 由正弦定理 ， 得 45 0 ， b 2 6. 3在 ， ( ) A直角三角形 B等腰直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形 答案 A 解析 2R)2(2R)2(2R)2 勾股定理的 逆定理得 直角三角形 4在 ，若 ，则角 A 与角 B 的大小关系为 ( ) A AB B 22abAB. 5在 ， A 60 ， a 3， b 2，则 B 等于 ( ) A 45 或 135 B 60 C 45 D 135 答案 C 2 解析 由 得 a 203 22 . ab， AB， ， 所以本题有两解 ， 由正弦定理得 ： a 602 3 32 ， 故 B 60 或 120. 当 B 60 时， C 90 ， c 4 3； 当 B 120 时， C 30 ， c a 2 3. 所以 B 60 ， C 90 ， c 4 3或 B 120 ， C 30 ， c 2 3. 能力提升 13在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 若 a 2， b 2， 2，则角 A 的大小为 _ 答案 6 解析 2 4 B) 2. 4 B) 1. 又 0b 无解 一解 (锐角 ) 1 弦定理 (二 ) 课时目标 1熟记正弦定理的有关变形公式； 2能够运用正弦定理进行简单的推理与证明 1正弦定理： 2R 的常见变形： (1) a b c； (2) a b 2R； (3)a 2b 2c 2 (4) 2三角形面积公式： S 12 12 12. 一、选择题 1在 ， ，则 ( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 答案 D 2在 ，若 ，则 ( ) A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 答案 B 解析 由正弦定理 知： ， ， A B C. 3在 ， 34， a 10，则边长 c 的取值范围是 ( ) A. 152 ， B (10， ) C (0,10) D. 0， 403 答案 D 解析 403 ， c 403. 00)， 则 b c 4a 5b 6k，解得 a 725232k. a b c 7 5 3. 6已知三角形面积为 14，外接圆面积为 ，则这个三角形的三边之积为 ( ) A 1 B 2 D 4 答案 A 解析 设三角形外接圆半径为 R，则由 ， 得 R 1，由 S 12 14， 1. 二、填空题 7在 ，已知 a 3 2， 13， S 4 3，则 b _. 答案 2 3 解析 13， 2 23 ， 12 4 3， b 2 3. 8在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 A 60 ， a 3， b 1，则c _. 答案 2 解析 由正弦定理 ，得 30 1， 12，故 B 30 或 150. 由 ab， 得 AB， B 30 ，故 C 90 ， 由勾股定理得 c 2. 3 9在单位圆上有三点 A， B， C，设 边长分别为 a， b， c，则 2 _. 答案 7 解析 外接圆直径为 2R 2， 2R 2， 2 2 1 4 7. 10在 ， A 60 ， a 6 3， b 12， S 18 3，则 a b _， c _. 答案 12 6 解析 a b 6 332 12. S 12 126 312 18 3， 12， 12， c 6. 三、解答题 11在 ，求证： a b . 证明 因为在 ， 2R， 所以左边 2 22 2 B C A C 右边 所以等式成立，即 a b . 12在 ，已知 ，试判断 形状 解 设三角形外接圆半径为 R，则 4 4 A B 2A 2B 或 2A 2B A B 或 A B 2 . 等腰三角形或直角三角形 能力提升 13在 ， B 60 ，最大边与最小边之比为 ( 3 1) 2，则最大角为 ( ) A 45 B 60 C 75 D 90 答案 C 解析 设 C 为最大角，则 A 为最小角，则 A C 120 ， 4 )120 20 20 32 12 3 12 32 12， 1， A 45 ， C 75. 14在 ， a， b， c 分别是三个内角 A， B， C 的对边，若 a 2， C 4 ， 2 2 55 ，求 面积 S. 解 22 1 35， 故 B 为锐角， 45. 所以 B C) 34 B 7 210 . 由正弦定理得 c 107 ， 所以 S 12 122 107 45 87. 1在 ，有以下结论： (1)A B C ； (2) B) ， B) ； (3)A 2 ； (4) 2， 2， 12. 2借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明 1 1 弦定理 (一 ) 课时目标 1熟记余弦定理及其推论； 2能够初步运用余弦定理解斜三角形 1余弦定理 三角形中任何一边的 平方 等于其他两边的 平方 的和减去这两边与它们的 夹角 的余弦的积的 两倍 即 2222余弦定理的推论 3在 ： (1)若 0，则 C 90 ； (2)若 C 60 ； (3)若 2 C 135 . 一、选择题 1在 ，已知 a 1， b 2， C 60 ，则 c 等于 ( ) A. 3 B 3 C. 5 D 5 答案 A 2在 ， a 7， b 4 3， c 13，则 最小角为 ( ) 案 B 解析 abc， C 为最小角， 由余弦定理 72 3 2 13 2274 3 32 . C6. 3在 ，已知 a 2，则 等于 ( ) A 1 B. 2 C 2 D 4 答案 C 解析 b c2a 2. 4在 ，已知 c 2a，则 等于 ( ) C. 24 D. 23 答案 B 解析 c 2a， 2b 2a， 2 42 a 34. 5在 ， c (a， b， c 分别为角 A， B， C 的对应边 )，则 形状为 ( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形 答案 B 解析 1 2 c 合勾股定理 故 直角三角 形 6在 ，已知面积 S 14(则角 C 的度数为 ( ) A 135 B 45 C 60 D 120 答案 B 解析 S 14( 12， 2， 2. 由余弦定理得： 2， ， C 45 . 二、填空题 7在 ，若 A _. 答案 120 8 ，已知 a 2， b 4， C 60 ，则 A _. 答案 30 解析 2 22 42 2240 12 c 2 3. 由正弦定理： 得 12. b0)，则最大角为 _ 答案 120 解析 易知： b2a， b2b，设最大角为 ， 则 212， 120. 10在 ， 1， B 3 ，当 面积等于 3时， _. 答案 2 3 解析 S 12 3， c 2 13， 113， 1213， 12 2 3. 3 三、解答题 11在 ，已知 7， 8， 9，试求 上的中线长 解 由条件知： 92 82 722 98 23，设中线长为 x，由余弦定理知： 2 42 92 249 23 49 x 7. 所以，所求中线长为 7. 12在 ， a， b，且 a， b 是方程 2 3x 2 0 的两根， 2 B) 1. (1)求角 C 的度数； (2)求 长； (3)求 面积 解 (1) (A B) B) 12， 又 C (0 ， 180) ， C 120. (2) a， b 是方程 2 3x 2 0 的两根， a b 2 3，2. 220 (a b)2 10， 10. (3)S 12 32 . 能力提升 13 (2010 潍坊一模 )在 ， 2， 6， 1 3， 边 的高，则 长是 _ 答案 3 解析 22 ， 22 . AC 3. 14 在 ， ， 试判断三角形的形状 解 由余弦定理知 代入已知条件得 a b c 0， 通分得 a2( b2( c2( 0， 展开整理得 ( 即 根据勾股定理知 直角三角形 1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： 4 (1)已知两边和夹角，解三角形 (2)已知三边求三角形的任意一角 2余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例 1 弦定理 (二 ) 课时目标 1熟练掌握正弦定理、余弦定理； 2会用正、余弦定理解三角形的有关问题 1正弦定理及其变形 (1) 2R. (2)a 2b 2c 2(3) (4) a b c. 2余弦定理及其推论 (1)2(2) (3)在 为 直角 ； c2为 钝角 ； B a2 ab. 6如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度确定 答案 A 解析 设直角三角形三边长为 a， b， c，且 则 (a x)2 (b x)2 (c x)2 22(a b)x 22(a b c)x ， c 二、填空题 7在 a， 5x 2 0 的两个根， C 60 ，则边 c _. 答案 19 解析 由题意： a b 5， 2. 由余弦定理得： 2 (a b)2 352 32 19， c 19. 8设 2a 1， a,2a 1为钝角三角形的三边，那么 _ 答案 20， a12， 最大边为 2a 1. 三角形为钝角三角形， (2a 1)22a 1， a2， 2a8. 9已知 3， 5， A 60 ，则 _ 答案 12 3 解析 S 12AC 12AC0 2 3， 8， 2AC ( 3 ( 349， 7， 2. 10在 A 60 ， b 1， S 3，则 _ 答案 133 解析 S 12 34 c 3， c 4， 由余弦定理： 2 12 42 2140 13， a 13. 2R 1332 2 393 ， R 393 . S 外接圆 133 . 三、解答题 11在 证： A . 证明 右边 bc左边 所以 A . a， b， ， B， 53， 且 21. (1)求 (2)若 a 7，求角 C. 解 （ 1） 21， 21. = | | 21. 5， 53， 54. S 21 21 3554= 14. (2)35， a 7， c 5. 由余弦定理得， 2 32， b 4 . 4 54 2 45 22 . c为锐角， C 45. 能力提升 13已知 1， 2，则角 ) A 0C 6 B 0C2 2 3 答案 A 解析 方法一 (应用正弦定理 ) ， 1 2 12， 01 ， 0 12. C， CA， 0C 6. 方法二 (应用数形结合 ) 如图所示，以 1为半径画圆， 则圆上除了直线 可作为 点 作切线，设切点为 2，当 1、 知此时： 2， 1， C 6， 0C 6. 14 角 A、 B、 a、 b、 c，已知 34. (1)求 1 1的值； （ 2）设 = 23，求 a+ 解 (1)由 34，得 1 34 2 74 . 由 . 于是 1 1 A 1 4 77 . 5 (2)由 = 23得 23由 34， 可得 2， 即 2. 由余弦定理 ： 2ac， 得 2ac 5， (a c)2 25 4 9， a c 3. 1解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6个元素中要已知三个 (至少有一边 )才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如 a， B， C) 正弦定理 由 A B C 180 ，求角 A； 由正弦定理求出 b与 解时只有一解 两边和夹角 (如 a， b， C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出小边所对的角；再由 A B C 180 求出另一 角在有解时只有一解 三边 (a， b， c) 余弦定理 由余弦定理求出角 A、 B；再利用 A B C 180 ，求出 角 两边和其中一边的对角如 (a， b， A) 余弦定理 正弦定理 由正弦定理求出角 B；由 A B C 180 ，求出角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 解或无解 . 要有两种途径 (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦 (余弦 )定理实施边、角转换 1 用举例 (一 ) 课时目标 1了解数学建模的思想； 2利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题 1基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线越长，测量的精确度越高 2方位角：指从正北方向线按 顺时针 方向旋转到目标方向线所成的水平角如图中 的A 点的方位角为 . 3计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一 一、选择题 1若点 P 在点 Q 的北偏西 4510 方向上，则点 Q 在点 P 的 ( ) A南偏西 4510 B南偏西 4450 C南偏东 4510 D南偏东 4450 答案 C 2已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a 塔 A 在观测站 C 的北偏东20 方向上，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40 方向 上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A a B. 3a . 2a D 2a 案 B 解析 120 ， a， 由余弦定理得 3a. 3海上有 A、 B 两个小岛相距 10 n A 岛望 C 岛和 B 岛成 60 的视角，从 岛和 A 岛成 75 的视角，则 B、 C 间的距离是 ( ) A 10 3 n 3 n 5 2 n D 5 6 n 案 D 解析 在 ， C 180 60 75 45. 由正弦定理得： 0 105 解得 5 6. 4如图所示，设 A、 B 两点在河的两岸，一 测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 距离为 50 m， 45 ， 105 后，就可以计算 A、 B 两点的距离为 ( ) 2 A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m 2 m 答案 A 解析 由题意知 30 ，由正弦定理 AC 50 2212 50 2 (m) 5如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 ，与灯塔 S 相距 20 海里，随后货轮按北偏西 30 的方向航行 30 分钟后到达 N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( ) A 20( 6 2) 海 里 /小时 B 20( 6 2) 海里 /小时 C 20( 6 3) 海里 /小时 D 20( 6 3) 海里 /小时 答案 B 解析 由题意， 45 ， 105 ， 30. 由正弦定理得 0 05 . 005 106 24 10( 6 2) 则 v 货 20( 6 2) 海里 /小时 6甲船在岛 B 的正南 A 处， 10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60 的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是 ( ) 分钟 时 C 钟 D 钟 答案 A 解析 设行驶 x 小时后甲到点 C，乙到点 D，两船相距 y 则 180 60 120. (10 4x)2 (6x)2 2(10 4x)6 20 2820x 100 28(57x) 100 28 x 514 2 257 100 3 当 x 514(小时 ) 1507 (分钟 )时， y 最小 二、填空题 7如图， A、 B 两点间的距离为 _ 答案 3 2 2 8如图， A、 N 两点之间的距离为 _ 答案 40 3 9如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A、 B，望对岸标记物 C，测得 30 ， 75 ， 120 m，则河的宽度为 _ 答案 60 m 解析 在 ， 30 ， 75 ， 75. 120 m. 作 足为 D，则 为河的宽度 由正弦定理得 1200 0 ， 60(m) 河的宽度为 60 m. 10太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 15 的方向上，汽车行驶 1 ，又测得小岛在南偏西 75 的方向上，则小岛到公路的距离是 _ 答案 36 解析 如图， 15 ， 180 75 105 ， 180 105 15 60 ， 1 由正弦定理得 4 10 5 6 22 3 ( 设 C 到直线 距离为 d， 则 d BC5 6 22 3 6 24 36 ( 三、解答题 11如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 ，距离为 12 6 n 在货轮的北偏西 30 ，距离为 8 3 n 轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东 120 方向上，求： (1)A 处与 D 处的距离； (2)灯塔 C 与 D 处的距离 解 (1)在 ， 60 ， B 45 ，由正弦定理得 2 6 2232 24(n (2)在 ，由余弦定理得 2AC0 ， 解得 8 314(n 即 A 处与 D 处的距离为 24 n 灯塔 C 与 D 处的距离约为 14 n 12如图，为测量河对岸 A、 B 两点的距离，在河的这边测出 长为 32 30 ， 60 ， 45 ，求 A、 B 两点间的距离 解 在 ， 180 30 105 45 ， 由正弦定理得 0 5 ， 则 05 64 ( 在 ， 180 60 60 60 ， 正三角形 32 ( 在 ，由余弦定理得 2BC5 5 34 616 2 32 64 22 38， 64 ( 答 河对岸 A、 B 两点间距离为 64 能力提升 13台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处， B 城市处于危险区内的持续时间为 ( ) A 时 B 1 小时 C 时 D 2 小时 答案 B 解析 设 t 小时时， B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t)2 402 220 t405 302. 化简得 ： 48 2t 7 0， 2 2， 74. 从而 | 41. 14如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 船位于甲船的北偏西 105 方向的 此时两船相距20 海里当甲船航行 20 分钟到达 船航行到甲船的北偏西 120 方向的 时两船相距 10 2海里问乙船每小时航行多少海里？ 解 如图所示，连结 由已知 10 2， 30 2 2060 10 2， 又 180 120 60 ， 10 2. 由已知 ， 20， 105 60 45 ， 在 余弦定理， 6 25 202 (10 2)2 22010 2 22 200. 10 2. 因 此，乙船速度的大小为 10 220 60 30 2(海里 /小时 ) 答 乙船每小时航行 30 2海里 1解三角形应用问题的基本思路是： 实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解 2测量距离问题：这类问题的情境一般属于 “ 测量有障碍物相隔的两点间的距离 ” 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度 1 用举例 (二 ) 课时目标 1利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题 2利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题 1仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线 上 方时叫仰角，目标视线在水平线 下 方时叫俯角 (如图所示 ) 2已知 两边 a、 b 及其夹角 C，则 面积为 12. 一、选择题 1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 与 的关系为 ( ) A B C 0，则 S 12AC 10 310 3. k 1， 8， 5， 由余弦定理 ： 2AC 82 52 285 12 49. 7， 周长为： 20. 9已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为 _ 答案 275 解析 不妨设三角形三边为 a， b， c 且 a 6， b c 12， 由余弦定理得： 122 122 6221212 78， 1 78 2 158 . 由 12(a b c) r 12 得 r 3 155 . S 内切圆 275 . 10某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45 ，距离 为 10 n C 处，此时得知，该渔船沿北偏东 105 方向，以每小时 9 n 速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 n 舰艇到达渔船的最短时间是 _小时 答案 23 解析 设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在 ，由已知可得： 120 ，设舰艇到达渔船的最短时间为 t，则 21t， 9t， 10，则 (21t)2 (9t)2 1002109 20 ， 4 解得 t 23或 t 512(舍 ) 三 、解答题 11如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得 C 部分的高为 h，求山高 解 在 ， 90 ， 90 ， ， . 根据正弦定理得： 即 ， . 在 ， . 即山高 . 12已知圆内接四边形 边长 2， 6， 4，求圆内接四边形 解 连接 四边形面积 S S S 12AD 12CD. A C 180 ， . S 12( 16. 由余弦定理 ： 在 ， 22 42 224 20 16， 在 ， 42 62 246 52 48， 20 16 52 48. 又 ， 12. A 120. 四边形 面积 S 16 8 3. 5 能力提升 13如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、 B、 C 三点进行测量已知 50 m， 120 m，于 A 处测得水深 80 m，于 B 处测得水深 200 m，于 C 处测得水深 110 m，求 余弦值 解 作 N，交 M. 302 1702 10 298(m)， 502 1202 130(m)， 902 1202 150(m) 在 ，由余弦定理的变形公式，得 1302 1502 102298213 0150 1665. 即 余弦值为 1665. 14江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和 30 ，而且两条船与炮台底部连成 30 角，求两条船之间的距离 解 如图所示： 30 ， 30 ， 45 30， 30， 300 30 3. 在 ， 2BD0 900， 30，即两船相距 30 m. 1测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题 6 2测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角 1 第一章 解三角形章末复习课 课时目标 1掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 一、选择题 1在 ， A 60 ， a 4 3， b 4 2，则 B 等于 ( ) A 45 或 135 B 135 C 45 D以上答案都不对 答案 C 解析 b a 22 ，且 ，则 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角 三角形 D等腰三角形 答案 C 解析 B)0， A ， C 为钝角 3已知 ， k (k 1) 2k，则 k 的取值范围是 ( ) A (2， ) B ( ， 0) C. 12， 0 D. 12， 答案 D 解析 由正弦定理得： a b m(k 1)， c 2mk(m0)， a bcb 即 m k m k ， k12. 4如图所示， D、 C、 B 三点在地面同一直线上， a，从 C、 D 两点测得 A 点的仰角 2 分别是 、 ( 1，不合题意 设夹角为 ，则 35， 得 45， S 1235 45 6 ( 3 8在 ， A 60 ， b 1， S 3，则 _. 答案 2 393 解析 由 S 12 121 c 32 3， c 4. a 2 12 42 2140 13. 130 2 393 . 9在 ， a x， b 2， B 45 ，若三角形有两解，则 x 的取值范围是 _ 答案 2n 2， n 2. 4 9 16223 14. (2)设此平行四边形的一边长为 a，则夹 角的另一边长为 4 a，平行四边形的面积为： S a(4 a) 154 (4a 154 (a 2)2 4 15. 当且仅当 a 2 时， 15. 能力提升 13在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 C 14. (1)求 的值； (2)当 a 2,2 时，求 b 及 c 的长 解 (1) C 1 2 14， 00)， 解得 b 6或 2 6， b 6，c 4 或 b 2 6，c 4. 14如图所示，已知在四边形 ， 10， 14， 60 ， 135 ，求 长 解 设 x，在 ，由余弦定理有 2BD 即 142 102 200 ， 10x 96 0， x 16(x 6 舍去 )， 即 16. 在 ，由正弦定理 16035 8 2. 5 1在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程 2应用正、余弦定理解应用题时，要注意 先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解 1 第一章 解三角形章末检测（ A） 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 ) 1 三内角 A、 B、 C 的对边边长分别为 a、 b、 c.若 a 52 b， A 2B，则 等于 ( ) A. 53 B. 54 C. 55 D. 56 答案 B 解析 由正弦定理得 ， a 52 52 . 又 A 2B， 52 ， 54 . ， ， 10 ，则 等于 ( ) A 32 B 23 案 A 解析 由余弦定理得 9 4 1012 14. | | 32 14 32. 32. 3在 知 a 5， b 15， A 30 ，则 ) A 2 5 B. 5 C 2 5或 5 D以上都不对 答案 C 解析 2， 5 15 2 15 c 32 . 化简得： 3 5c 10 0，即 (c 2 5)(c 5) 0， c 2 5或 c 5. 4根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 ( ) A a 8， b 16， A 30 ，有两解 B b 18， c 20， B 60 ，有一解 C a 5， c 2， A 90 ， 无解 D a 30， b 25， A 150 ，有一解 答案 D 解析 ， 所以 1608 1， B 90 ，即只有一解； B 中， 20018 5 39 ， 且 cb， CB，故有两解； 2 A 90 ， a 5， c 2， b 25 4 21， 即有解，故 A、 B、 5 ,3，其夹角的余弦值为 13，则其外接圆的半径为 ( ) 2 4 8 D 9 2 答案 C 解析 设另一条边为 x， 则 22 32 223 13， 9， x 3.设 13，则 2 23 . 2R 3 32 23 9 24 ， R 9 28 . 6在 2 b a、 b、 、 B、 ，则 ) A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 答案 A 解析 由 b 又 2b2选 A. 7已知 A、 B、 a、 b、 c.若 a c 6 2，且 A 75 ，则 ) A 2 B. 6 2 C 4 2 3 D 4 2 3 答案 A 解析 5 0 45) 6 24 ， 由 a C 75 ， B 30 12. 由正弦定理： 6 26 24 4. b 4 2. 8在 知 20， a 6， 78，则 为 ( ) A. 152 B. 15 55 D 6 3 答案 A 3 解析 由 20可得 (b c)(b 2c) 0. b 2c，在 2， 即 6 4478. c 2，从而 b 4. S 12 1224 1 78 2 152 . 9在 7， 6， 4，则 ) A. 21 B. 106 C. 69 D. 154 答案 B 解析 设 a，则 在 2AM 即 72 1442 2 在 2CM 62 42 1424 a2 得： 72 62 42 42 12 a 106. 10若 a b c ，则 ) A等边三角形 B有一内角是 30 的直角三角形 C等腰直角三角形 D有一内角是 30 的等腰三角形 答案 C 解析 a b ， ， 2 2,20. ， B 45. 同理 C 45 ， 故 A 90. 11 在 角 A、 B、 a、 b、 c， 若 (b2) 3则角 ) 6 3 答案 D 解析 (b2) 3 32 ， 即 32 . 00，且 0B ， 1 45. 由正弦定理得 ， b 2 454 25. (2) S 12 4， 122 c 45 4， c 5. 由余弦定理得 2 22 52 225 35 17， b 17. 21 (12分 )(2010 辽宁 )在 a， b， ， B， 2 (2b c) (2c b). (1)求 (2)若 1，试判断 解 (1)由已知，根据正弦定理得 2(2b c)b (2c b)c， 即 由余弦定理得 2， 故 12， A 120. (2)方法一 由 (1)得 ， 又 A 120 ， 34， 1， 1 . (1 )2 (1 ) 34， 即 14 0. 解得 12.故 12. 7 B C 30. 所以， 方法二 由 (1)A 120 ， B C 60 ， 则 C 60 B， 0 B) 32 12 12 32 60) 1， B 30 ， C 30. 22 (14分 )已知 、 B、 a、 b、 c，设向量 m (a， b)， n (， )， p (b 2， a 2) (1)若 m n，求证： (2)若 m p，边长 c 2，角 C 3，求 (1)证明 m n， ， 即 a b 其中 a b. (2)解 由题意知 m p 0， 即 a(b 2) b(a 2) 0. a b 由余弦定理可知， 4 (a b)2 3 即 ( 34 0. 4(舍去 1)， S 12 1243 3. 1 第一章 解三角形章末检测（ B） 姓名： _ 班级： _ 学号： _ 得分： _ (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1在 ， a 2， b 3， c 1，则最小角为 ( ) 2 三内角 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c，设向量 p (a c，
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