【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量（课时作业+章末检测）（打包14套）苏教版必修4
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量（课时作业+章末检测）（打包14套）苏教版必修4,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,平面,向量,课时,作业,功课,检测,打包,14,苏教版,必修
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1 量的概念及表示 课时目标 1掌握向量的有关概念及向量的几何表示 握平行向量与相等向量的概念 1向量的概念 (1)向量：既有大小又有 _的量叫做向量，如速度、位移、力等 (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等 注意 数量可以比较大小，而向量无法比较大小 2向量的几何表示 (1)有向 线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 _ 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定 (2)向量的有关概念：向量 的 _称为向量 的长度 (或称为模 )，记作 |_的向量叫做零向量，记作 _个单位长度的向量，叫做单位向量 3平行向量：方向 _或 _的非零向量叫做平行向量向量 a 与 b 平行，通常记为 a _，即对于任意向量 a，都有 0 a. 4相等向量与共线向量 (1)相等向量： _相等且方向相同的向量叫做相等向量向量 a 与 b 相等，通常记为 a 可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量 (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一 _上，因此，平行向量也叫共线向量 5相反向量 我们把与向量 a 长度相等，方向相反的向量叫做 a 的 _，记作 _，a 与 a 互为 _，并且规定零向量的相反向量仍是 _于是，对任一向量 a 有 _ 一、填空题 1下列命题中正确的个数为 _ 向量 a 与向量 b 平行，则 a、 b 方向相同或相反； 若向量 、 满足 |，且 与 同向，则 ； 若 |a| |b|，则 a， b 的长度相等且方向相同或相反； 由于 0 方向不确定，故 0 不能与任何向量平行； 若向量 a 与向量 b 方向相反，则 a 与 b 是相反向量 2下列结论中，正确的是 _ (填序号 ) 向量 ， 共线与向量 同义； 若向量 ，则向量 与 共线； 若向量 ， 则向量 ； 只要向量 a， b 满足 |a| |b|，就有 a b. 3在四边形 ， 且 | |，则四边形的形状为 _ 4下列说法正确的有 _ (填序号 ) 方向相同的向量叫相等向量； 零向量的长度为 0； 共线向量是在同一条直线 上的向量； 零向量是没有方向的向量； 共线向量不一定相等； 平行向量方向相同 2 5下列四个命题 若 |a| 0，则 a 0； 若 |a| |b|，则 a b，或 a b； 若 a b，则 |a| |b|； 若 a 0，则 a 0. 其中正确命题的个数是 _ 6给出以下 5 个条件： a b； |a| |b|； a 与 b 的方向相反； |a| 0 或 |b| 0； a 与 b 都是单位向量其中能使 a b 成立的是 _ (填写序号 ) 7下列命题正确的是 _ (填写正确命题的序号 ) 向量的 模一定是正数； 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； 向量 与 是共线向量，则 A、 B、 C、 D 四点必在同一直线上 8下列命题正确的是 _ (填写正确命题的序号 ) a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线； 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量； 有相同起点的两个非零向量不平行 9下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图 形 把所有单位向量移到同一起点； 把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； 把平行于某一直线的一切向量移到同一起点 _； _； _. 10如图所示， E、 F 分别为 中点，则与向量 共线的向量有_(将图中符合条件的向量全写出来 ) 二、解答题 11. 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使 |c| 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 3 12. 如图所示， 三边均不相等， E、 F、 D 分别是 中点 (1)写出与 共线的向量； (2)写出与 的模大小相等的 向量； (3)写出与 相等的向量 能力提升 13. 如图，已知 (1) A B C ； (2) A B ， A C . 14. 4 如图所示， O 是正六边形 中心，且 a， b， c. (1)与 a 的模相等的向量有多少个？ (2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与 a 共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与 a， b， c 相等的向量 1向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑 2向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小如 ab 没有意义，而 |a|b|有意义 3共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行 第 2 章 平面向量 向量的概念及表示 知识梳理 1 (1)方向 2 (1) (2)大小 0 1 3相同 相反 平行 4 (1)长度 (2)直线 5相反向量 a 相反向量 零向量 ( a) a 作业设计 1 0 2 解析 根据平行向量 (或共线向量 )定义知 均正确；根据向量相等的概念知 正确； 不正确 3菱形 解析 ， 5 四边形 平行四边形， 又 | |， 四边形 菱形 4 解析 与 正确，其余都是错误的 5 2 解析 错， 正确 6 解析 相等向量一定是共线向量， 能使 a b；方向相同或相反的向量一定是共线向量， 能使 a b；零向量与任一向量平行， 成立 7 解析 错误 模 |0| 0. 正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的 错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 须 在同一直线上 8 解析 若 b 0，则 a 与 c 不共线， 不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线， 不正确；若 a， b 中有一个是零向量，则 a 与 b 一定共线， 正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行， 不正确 9单位圆 相距为 2 的两个点 一条直线 ， ， 解析 E、 F 分别为 应边的中点， 符合条件的向量为 ， ， . 11解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等 (如图 ) (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆(如图 ) 12解 (1)因为 E、 F 分别是 中点， 所以 是 中点， 所以与 共线的向量有： ， ， ， ， ， ， . (2)与 模相等的向量有： ， ， ， ， . (3)与 相等的向量有： 与 . 13证明 (1) ， | | | |，且 . 又 A 不在 上， 四边形 B B 是平行四边形 | |A B |. 同理 | |A C |， | |B C |. A B C. 6 (2) 四边形 B B 是平行四边形， A B ，且 | |A B |. A B C A C . 14解 (1)与 a 的模相等的向量有 23 个 (2)与 a 的长度相 等且方向相反的向量有 ， ， ， . (3)与 a 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， . (4)与 a 相等的向量有 ， ， ；与 b 相等的向量有 ， ， ；与 c 相等的向量有 ， . 1 2 量的加法 课时目标 1理解向量加法的法则及其几何意义 用法则及其几何意义正确作出两个向量的和 1向量的加法的定义 已知向量 a 和 b，在平面内任取一点 O，作 a， b，则向量 叫做 a 与 b 的和，记作 _即 a b _. 求两个向量和的运算叫做向量的加法 2向量的加法法则 (1)三角形法则 如图所示，已知非零向量 a， b，在平面内任取一点 A，作 a， b，则向量 _叫做 a 与 b 的和 (或和向量 )，记作 _，即 a b 做向量求和的三角形法则 对于零向量与任一向量 a 的和有 a 0 _ _ _. (2)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线的非零向量 a， b，作 a， b，则 O、 A、 C 三点不共线，以 _， _为邻边作 _，则对角线上的向量 _ a b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则 (3)多边形法则 已知 n 个向量，依次把这 n 个向量首尾相连，以第一个向量的 _为始点，第 _为终点的向量叫做这 n 个向量的和向量即 1 3向量加法的运算律 (1)交换律： a b _. (2)结合律： (a b) c _. 一、填空题 1化简 _. 2已知菱形 边长为 1， 120 ，则向量 的模为 _ 3在正六边形 ， a， b，则 _.(用 a， b 表示 ) 4如图所示，在平行四边形 列结论不正确的是 _ (填相应结论的序号 ) 2 ， ； ； ； . 5在四边形 ， ， 则四边形 形状一定是 _ 6 已知在矩形 ， 2， 3， 则 | | _. 7. 如图所示 ， 在平行四边形 ， _. 8 如图所示 ， 在正六边形 ， 若 1， 则 | | _. 9. 设 E 是平行四边形 一点 ， 如图所示 ， 化简下列各式 (1) _； (2) _； (3) _； (4) _. 10 已知 正三角形，给出下列等式： | | | |； | | | |； | | | |； | | | |. 其中正确的有 _ (写出所有正确等式的序号 ) 二、解答题 11一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30 角，求水流速度和船实际速度 3 12. 如图所示，在平行四边形 对角线 延长线和反向延长线上取点 F， E，使 求证：四边形 平行四边形 能力提升 13已知 | 3， | 5，则 |的取值范围是 _ 14已知点 G 是 重心，则 _. 1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则 2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行 向量的线性运算 2 量的加法 知识梳理 1 a b 2 (1) a b 0 a a (2)C 平行四边形 (3)始点 终点 3 (1)b a (2)a (b c) 作业设计 1 0 4 解析 原式 0. 2 1 解析 ，且 等边三角形， | | | 1. 3 a b 解析 a b. 4 5平行四边形 解析 ， . 四边形 平行四边形 6 2 13 解析 | | | | 2| 2 2 13. 解析 . 8 2 解析 | | | | | 2. 9 (1) (2)0 (3) (4)或 10 解析 ， ， 而 | |，故 正确； | |，故 不正确； 画图可知 ， 正确 11解 如图所示， 表示水流速度， 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度， 表示船实际航行的速度， 30 ， | 5. 四边形 矩形， | |0 5 3， | |0 10， 水流速度大小为 5 3 km/h，船实际速度为 10 km/h. 12证明 ， ，因为四边形 平行四边形，所以 ，因为 与 的方向相同，所以 ， 所以 ，即 行且相等， 所以四边形 平行四边形 13 2,8 5 解析 | | | | | 8， 且 | | | | | 2. 2| |8. 14 0 解析 如图所示，连接 延长交 E 点，点 E 为 中点，延长 D 点，使 则 ， 0， 0. 1 2 量的减法 课时目标 1理解向量减法的法则及其几何意义 运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差 向量的减法 (1)定义：若 b x a，则向量 x 叫做 a 与 b 的差，记为 a b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2)作法：在平面内任取一点 O，作 a， b，则向量 a b (3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为 _，被减向量的终点为 _的向量例如： _. 一、填空题 1若 a， b，则 _. 2若 a 与 b 反向，且 |a| |b| 1，则 |a b| _. 3化简 ( ) ( )的结果是 _ 4. 如图所示，在梯形 ， 于 O 点，则 _. 5如图所示，已知 O 到平行四边形的三个顶点 A、 B、 C 的向量分别为 a ， b， c，则 _(用 a， b， c 表示 ) 6在菱形 ， 60 ， | 2，则 | | _. 7已知 a， b， c， d，且四边形 平行四边形，则 a b c d _. 8若 | 5， | 8，则 |的取值范围是 _ 9边长为 1 的正三角形 ， | |的值为 _ 10已知非零向量 a， b 满足 |a| 7 1， |b| 7 1，且 |a b| 4，则 |a b|_. 二、解答题 11. 2 如图所示， O 是平行四边形 对角线 交点，设 a， b， c，求证： b c a . 12. 如图所示，已知正方形 边长为 1， a， b， c，试 作出下列向量并分别求出其长度 (1)a b c； (2)a b c. 能力提升 13在平行四边形 ， a， b，先用 a， b 表示向量 和 ，并回答：当 a，b 分别满足什么条件时，四边形 矩形、菱形、正方 形？ 3 14. 如图所示， O 为 外心， H 为垂心，求证： . 1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义， 就可以把减法转化为加法即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如 a b a ( b) 2在用三角形法则作向量减法时，要注意 “ 差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数 ” 解题时要结合图形，准确判断，防止混淆 3以向量 a、 b 为邻边作平行四边形 两条对角线的向量为 a b， b a， a b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住 2 量的减法 知识梳理 始点 终点 作业设计 1 b a 2 2 3 0 4 5 a b c 解析 a c b a b c. 6 2 3 解析 如右图，设菱形对角线交点为 O， ， 又 60 ， 等边三角形， 1，在 ， | |2 |2 3， | 2 3. 7 0 解析 a b c d 0. 8 3,13 解析 | | |且 | | | | |. 3| |13. 3| |13. 9. 3 解析 如图所示，延长 点 D，使 1，连结 . 在 ， 1， 120 ，易求 3， | | 3. 10 4 解析 如图所示 设 a， b，则 | |a b|. 以 邻边作平行四边形 5 则 | |a b| 7 1)2 ( 7 1)2 42. 故 |2 |2 |2， 所以 90 的直角三角形， 从而 以 矩形， 根据矩形的对角线相等有 | | 4， 即 |a b| 4. 11证明 方法一 b c ， a ， b c a，即 b c a . 方法二 c a ， b， c a b，即 b c a . 12解 (1)由已知得 a b ， 又 c， 延长 E， 使 | |. 则 a b c ， 且 | 2 2. |a b c| 2 2. (2)作 ，连结 则 ， 而 a a b， a b c 且 | 2. |a b c| 2. 13解 由向量加法的平行 四边形法则，得 a b， a b. 则有：当 a， b 满足 |a b| |a b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形 矩形； 当 a， b 满足 |a| |b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形 菱形； 当 a， b 满足 |a b| |a b|且 |a| |b|时，四边形 正方形 14证明 作直径 结 ， 6 故四边形 平行四边形 ， 又 ， . 故 . 1 2 量的数乘 课时目标 1掌握向量数乘的定义 解向量数乘的几何意义 解向量数乘的运算律 解向量共线的条件 1向量数乘运算 实数 与向量 a 相乘，叫做向量的 _，记作 _，其长度与方向规定如下： (1)| a| _. (2) a (a0) 的方向 当 时，与 时，与 特别地，当 0 或 a 0 时， 0a _或 0 _. 2向量数乘的运算律 (1) ( a) _. (2)( )a _. (3) (a b) _. 特别地，有 ( )a _ _； (a b) _. 3向量的线性运算 向量的 _与向量的 _、 _统称为向量的线性运算，对 于任意向量 a、b，以及任意实数 、 1、 2，恒有 ( 1a 2b) _. 4向量共线定理 如果有一个实数 ，使 _(a 0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a0) 是共线向量，那么有且只有一个实数 使 b a. 一、填空题 1若 2 y 13a 12(c b 3y) b 0，其中 a、 b、 c 为已知向量，则未知向量 y_. 2已知平面内 O， A， B， C 四点，其中 A， B， C 三点共线，且 ，则 x y _. 3设 向量 m k R)与向量 n 2 k _. 4已知向量 a、 b，且 a 2b， 5a 6b， 7a 2b，则一定共线的三点是_ 5已知 三个顶点 A， B， C 及平面内一点 P，且 ，则点 P 与 _ (填序号 ) P 在 部； P 在 部； P 在 上或其延长线上； P 在 上 6. 如图所示， D 是 边 的中点，则向量 _.(填写正确的序号 ) 2 12； 12； 12； 12. 7. 如图所示，在 ， a， b， 3， M 为 中点，则 _.(用a， b 表示 ) 8已 知 点 M 满足 m 使得 成立，则 m_. 9在 ，点 D 在直线 延长线上，且 4 ，则 r s _. 10设点 M 是线段 中点，点 A 在直线 ， 2 16， | | | |，则| _. 二、解答题 11两个非零向量 a、 b 不共线 (1)若 a b， 2a 8b， 3(a b)，求证： A、 B、 D 三点共线； (2)求实数 k 使 b 与 2a 线 12. 如图所示，在平行四边形 ，点 M 是 中点，点 N 在 ，且 13求证： M、 N、 C 三点共线 . 3 能力提升 13已知 O 是平面内一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 | |( 0， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 _ (填序号即可 ) 外心； 内心； 重心； 垂心 14在平行四边形 ， 于点 O， E 是线段 中点， 延长线与 C a， b，则 _.(用 a， b 表示 ) 1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 a， a 是没有意义的 2 a 的几何意义 就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的 | |倍向量 a|a|表示与向量 a 同向的单位向量 3共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题 2 量的数乘 知识梳理 1数乘 a (1)| |a| (2) 0 0 0 0 2 (1)( )a (2) a a (3) a b ( a) ( a) a b 3数乘 加法 减法 1a 2b 4 b a 作业设计 17b 17c 2 1 解析 A， B， C 三点共线， R 使 . ( ) (1 ) . x 1 ， y ， x y 1. 析 当 k 12时， m 12n 2 4 n 2m，此时， m， n 共线 4 A、 B、 D 解析 2a 4b 2， A、 B、 D 三点共线 5 解析 ， 2， P 在 上 6 解析 12 12 . b a) 解析 12b a 34 12b a 34(a b) 14(b a) 8 3 解析 0， 点 M 是 重心 3， m 3. 析 4， 3. 13 13( ) 43 43 r 43， s 43， r s 83. 10 2 解析 2 16， | | | 4， | | 4. M 为 点， 12( )， 5 | 12| | 2. 11 (1)证明 a b 2a 8b 3a 3b 6a 6b 6， A、 B、 D 三点共线 (2)解 b 与 2a 线， b (2a (k 2 )a (1 k )b 0， k 2 0，1 k 0 k 2. 12证明 设 a， b，则由向量加法的三角形法则可知： 12 12a b. 又 N 在 且 3 13 13( ) 13(a b)， 13(a b) b 13a 23b 23 12a b ， 23，又 与 共点为 C， C、 M、 N 三点共线 13 解析 |为 上的单位向量， |为 上的单位向量，则 | |的方向为 D 的方向 又 0， ) ， | |的方向与 | |的方向相同而 | |， 点 P 在 上移动 点 P 的轨迹一定通过 内心 13b 解析 如图所示， E 是 中点， 14 14b. 又 31. 6 3， 34. 在 ， 12a 14b. 43 23a 13b. 1 2 面向量基本定理 课时目标 1通过实例了解平面向量的基本定理及其意义 选取适当的基底来表示其它的向量，并能解决一些简单几何问题 1平面向量基本定理 (1)定理：如果 _的向量，那么对于这一平面内的 _向量 a， _实数 1， 2，使 a _. (2)基底：把 _的向量 _向量的一组基底 2正交分解 一个平面向量用一组基底 示成 a 1 2形式，我们称它为向量 a 的_，当 _时，就称为向量的正交分解 一、填空题 1下面三种说法中，正确的是 _ (填序号 ) 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该 平面所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； 零向量不可作为基底中的向量 2若 平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是_ (写出所有满足条件的序号 ) 212 234 3若 a， b 不共线，且 ( 1)a ( 1)b 0( ， R)，则 _， _. 4设向量 m 2a 3b， n 4a 2b， p 3a 2b，试用 m， n 表示 p 的结果是 _ 5在 ， c， 满足 2，则 _. 6若 实数 k 的取值范围为 _ 7如果 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 _ (填对应说法的序号 ) 、 R)可以表示平面 内的所有向量； 对于平面 内任一向量 a，使 a ， )有无穷多个； 若向量 1 1 2 2有且只有一个实数 ，使得 1 1 ( 2 2 若实数 ， 使得 0，则 0. 8在平行四边形 ， E 和 F 分别是边 中点，若 ，其中 、 R，则 _. 9. 如图所示， P 在由射线 段 延长线围成的阴影区域内 (不含边界 )运动，且 ，则 x 的取值范围是 _；当 x 12时， y 的取值 范围是 _ 2 10设 平面的一组基底，且 a 2b _a _b. 二、解答题 11. 已知 ， D 为 中点， E， F 为 三等分点，若 a， b，用 a， b 表示 ， ， . 12如图所示，在 ，点 M 是 中点，点 N 在边 ，且 2 ，求证： 4 1. 能力提升 13设 I 为 内心，当 5， 6 时， ，则 x y 的值是_ 3 14如图，在 ， 上的中线， F 是 的一点，且 15，连结 延长交 E，则 _. 1对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征： 基底是两 个不共线向量； 基底的选择是不惟一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底 2准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决 3关于向量的分解及正交分解 向量的正交分解是平面向量 基本定理的特殊形式，此时 类似于平面直角坐标 系中的两条相互垂直的坐标轴，它是平面向量的直角坐标表示的理论基础，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有序实数对惟一表示，从而建立了向量与实数的关系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系 向量的坐标表示 2 面向量基本定理 知识梳理 1 (1)不共线 任一 有且只有一对 1 22)不共线 所有 2分解 垂直 作业设计 1 2. 1 4 p 74m 138n 解析 设 p 3a 2b x(2a 3b) y(4a 2b) (2x 4y)a ( 3x 2y)b 则 2x 4y 3 3x 2y 2 ，解得， x 74y 138. 4 13c 解析 23 23( ) 13 23 23b 13c. 6 k1 解析 要作为基底，则 知当 k 1 ，在这里，得 k1. 7 解析 由平面向量基本定理可知， 是正确的 对于 ，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的对于 ，当两向量的系数均为零，即 1 2 1 2 0时，这样的 有无数个 析 设 a， b， 则 12a b， a 12b， 又 a b， 23( )，即 23， 43. 9 ( ， 0) 12， 32 解析 由题意得： (a， b R ， 00) ) A ( b). 由 0，求得 x ( ， 0) 又由 ，则有 0x y1， 当 x 12时，有 0 12 y1，求得 y 12， 32 . 13 解析 由方程组： a 2e2，b 5 解得： 13a 23b，13a 13a 23b 13a 13b 23a 13 b. 11解 12 a 12(b a) 12a 12b； 13 a 13(b a) 23a 13b； 23 a 23(b a) 13a 23b. 12证明 设 b， c， 则 12b 12c， 23 23c， 23c b. ， ， 存在 ， R， 使得 ， ， 又 ， ， 由 12b 12c 23c b b 得 12 b 12 23 c b. 又 b 与 c 不共线 12 1，12 23 45， P 45，即 4 1. 6 解析 如图，设 点 D， 等腰三角形，故 D 为 中点， 3，在 ，由内角平分线定理可知： 3，故 58， 又 12. 58( 12) 58 516， 即 x 58， y 516. x y 1516. 析 设 a， b， . 15， 16 112( ) 112 1112 112a 1112b. 1 1 1 a b. ， 1 112 11112. 110. 1 面向量的坐标运算 (一 ) 课时目标 1理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量 2掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算 1平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个_i， j 作为基底，对于平面上的向量 a，有且只有一对有序实数 x， a _，则 _叫作向量 a 的坐标，记作 _ (2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x， y)，则 _，若 A(x1， B(则 _. 2平面向量的坐标运算 (1)若 a ( b (则 a b _，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 (2)若 a ( b (则 a b _，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 (3)若 a (x， y)， R，则 a _，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 一、填空题 1已知平面向量 a (1,1)， b (1， 1)，则向量 12a 32b _. 2已知 a 12b (1,2)， a b (4， 10)，则 a _. 3已知平面上三点 A(2， 4)， B(0,6)， C( 8,10)，则 12 14的坐标是 _ 4已知向量 a (1,2)， b (2,3)， c (3,4)，且 c 1a 2b，则 1， 2的值分别为 _ 5已知 M(3， 2)， N( 5， 1)且 12，则点 P 的坐标为 _ 6在平行四边形 ， 一条对角线若 (2,4)， (1,3)，则 _. 7已知四边形 平行四边形，其中 A(5， 1)， B( 1， 7)， C(1,2)，则顶点 _ 8已知 A( 1， 2)， B(2,3)， C( 2,0)， D(x， y)，且 2，则 x y _. 9若向量 a (x 3， 3x 4)与 相等，其中 A(1,2)， B(3， 2)，则 x _. 10函数 y 2x 2 按向量 a 平移所得图象的解析式为 y 向量 a 的坐标是 _ 二、解答题 11已知 a ( 2,3)， b (3,1)， c (10， 4)，试用 a， b 表示 c. 2 12已知平面上三个点坐标为 A(3,7)， B(4,6)， C(1， 2)，求点 D 的坐标，使得这四个 点为构成平行四边形的四个顶点 能力提升 13已知 P a|a (1,0) m(0,1)， m R， Q b|b (1,1) n( 1,1)， n R是两个向量集合，则 P Q _. 14. 在直角坐标系 ，向量 a， b， c 的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标 3 1在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系关系图如图所示： 2向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同 2 面向量的坐标运算 (一 ) 知识梳 理 1 (1)单位向量 序实数对 (x， y) a (x， y) (2)(x， y) (2 (1)(2)(3)(x ， y ) 作业设计 1 ( 1,2) 2.(2， 2) 3.( 3,6) 4 1,2 解析 由 1 2 2 3，2 1 3 2 4. 解得 1 1， 2 2. 5. 1， 32 解析 设 P(x， y)，由 (x 3， y 2) 12( 8,1)， x 1， y 32. 6 ( 3， 5) 解析 ， ( 1， 1) ( 3， 5) 7 (7， 6) 解析 设 D(x， y)，由 ， (x 5， y 1) (2， 5) x 7， y 6. 析 ( 2,0) ( 1， 2) ( 1,2)， (x， y) (2,3) (x 2， y 3)， 又 2 ，即 (2x 4,2y 6) ( 1,2)， 2x 4 1，2y 6 2， 解得 x 32，y 4， x y 112. 9 1 解析 A(1,2)， B(3,2)， 4 (2,0) 又 a ，它们的坐标一定相等 (x 3， 3x 4) (2,0) x 3 2，3x 4 0， x 1. 10 (1， 1) 解析 函数 y 2x 2 (x 1)2 1 的顶点坐标为 ( 1,1)，函数 y 0,0)，则 a (0,0) ( 1,1) (1， 1) 11解 设 c 则 (10， 4) x( 2,3) y(3,1) ( 2x 3y,3x y)， 10 2x 3y， 4 3x y， 解得 x 2， y 2， c 2a 2b. 12解 (1)当平行四边形为 ， ， 设点 D 的坐标为 (x， y) (4,6) (3,7) (1， 2) (x， y)， 1 x 1， 2 y 1， x 0，y 1. D(0， 1)； (2)当平行四边形为 ，仿 (1)可得 D(2， 3)； (3)当平行四边形为 ，仿 (1)可得 D(6,15) 综上可知点 D 可能为 (0， 1)， (2， 3)或 (6,15) 13 (1,1) 解析 设 a (x， y)，则 P x， y x 1y m ， 集合 P 是直线 x 1 上的点的集合 同理集合 Q 是直线 x y 2 上的点的集合， 即 P (x， y)|x 1， Q (x， y)|x y 2 0 P Q (1,1)故选 A. 14解 设 a ( b ( c (则 |a|5 2 22 2， |a|5 2 22 2； |b|20 3 12 32， |b|20 3 32 3 32 ； |c| 30) 4 32 2 3， |c| 30) 4 12 2. 因此 a ( 2， 2)， b 32， 3 32 ， c (2 3， 2) 5 1 2 面向量的坐标运算 (二 ) 课时目标 1理解用坐标表示的平面向量共线的条件 根据平面向量的坐标，判断向量是否共线 1两向量共线的坐标表示 设 a ( b ( (1)当 ab 时，有 _ (2)当 ab 且 时，有 _即两向量的相应坐标成 比例 2若 ，则 P 与 当 _时， P 位于线段 别地 1 时， P 为线段 当 _时， P 位于线段 当 _时， P 位于线段 一、填空题 1已知三点 A( 1,1)， B(0,2)， C(2,0)，若 和 是相反向量，则 D 点坐标是 _ 2已知向量 a (2x 1,4)， b (2 x,3)，若 a b，则实数 x 的值为 _ 3已知 |a| 2 17， b ( 1,4)，且 a 与 b 方向相同，则 a _. 4若 a (2 ， 1)， b ( ， 1)，且 a b，则 _. 5已知平面向量 a (1,2)， b ( 2， m)，且 a b，则 2a 3b _. 6若三点 P(1,1)， A(2， 4)， B(x， 9)共线，则 x 的值为 _ 7设向量 a (1,2)， b (2,3)若向量 a b 与向量 c ( 4， 7)共线，则 _. 8设向量 (k,12)， (4,5)， (10， k)若 A， B， C 三点共线，则 k 的值为_ 9已知向量 a (1,2)， b (0,1)，设 u a v 2a b，若 u v，则实数 k 的值为 _ 10已知 A、 B、 C 三点在一条直线上，且 A(3， 6)， B( 5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C 点的纵坐标为 _ 二、解答题 11已知 a (1,2)， b ( 3,2)，当 k 为何值时， b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 2 12如图，已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)， O(0,0)，求 交点 P 的坐标 能力提升 13平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)， B( 1， 3)，若点 C 满足 ，其中 m， n R 且 m n 1，则点 C 的轨迹方程为 _ 14已知点 A( 1， 3)， B(1,1
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