【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 推理与证明（课时作业+单元综合检测）（打包8套）新人教A版选修2-2
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 推理与证明（课时作业+单元综合检测）（打包8套）新人教A版选修2-2,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,推理,证明,课时,作业,功课,单元,综合,检测,打包,新人,选修
- 内容简介：
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- 1 - 情推理 课时 目标 利用归纳和类比等进行简单的推理 解合情推理在数学发现中的作用 1归纳推理和类比推理 定义 特征 归纳推理 由某类事物的 _具有某些特征，推出该类事物的 _都具有这些特征的推理，或者由 _概括出_的推理 归纳推理是由_，由_的推理 类比推理 由两类对象具有某些 _特征和其中一类对象的某些 _，推 出另一类对象也具有这些特征的推理 类比推理是_的推理 . (1)含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 _、 _、 _、 _，再进行 _、 _，然后提出 _的推理，我们把它们统称为合情推理 (2)合情推理的过程 从具体问题出发 观察、分析比较、联想 归纳、类比 提出猜想 一、选择题 1数列 2,5,11,20， x,47， 中的 x 的值为 ( ) A 28 B 32 C 33 D 27 2设 n 是自然数，则 18(1)1 ( 1)n的值 ( ) A一定是零 B不一定是偶数 C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数 - 2 - 3已知 1， 1 (1 2(1 1 0，计算 想 ) A n B C D. n 3 n 4当 a， b， c(0 ， ) 时，由 a a b 3 用归纳推理，可猜测出的合理结论是 ( ) a n(， i 1,2， n) 3 a n(， i 1,2， n) n a n(R， i 1,2， n) n an(， i 1,2， n) 5已知函数 y f(x)的定义域为 (0， ) ， f(8) 3，对任意的正实数 f( f( f(猜想 f(x)的表达式为 ( ) A f(x) 2x B f(x) 2x C f(x) D f(x) 0 题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 6观察下列等式 ： 1 1,1 4 (1 2)， 1 4 9 1 2 3,1 4 9 16 (1 2 3 4)， ，由此推测第 n 个等式为 _ 7设 n2 ， n N， (2x 12)n (3x 13)n |0 k n)的最小值记为 0， 123 133， 0， 125 135， ， ，其中 _. 8对于平面几何中的命题： “ 夹在两条平行线之间的平行线段相等 ” ，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题： “_” ；这个类比命题的真假性是_ 三、解答题 9平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若 f(n)表示这 n 个圆把平面分割的区域数，试求 f(n) - 3 - 10观察 00 00 00 1. 0 05 5 此推广是什么？并证明你的推广 能力提升 11观察下列等式： 2 1； 8 8 1； 32 48 18 1； 128 256 160 32 1； 0 1 280 1 120 1. 可以推测， m n p _. 12设平面内有 n 条直线 (n3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数 (1)求 f(4)； (2)当 n4 时，用 n 表示出 f(n) - 4 - 1归纳推理的一般步骤 (1)通过观察个别事物发现某些相同的性质 (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 2类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论 3合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论 答案 知识梳理 1. 定义 特征 归纳推理 由某类事物的 部分对象 具有某些特征，推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理，或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理 . 归纳推理是由 部分到整体 ，由 个别到一般 的推理 . 类比推理 由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些 已知特征 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理 . 类比推理是 特殊到特殊 的推理 . 2.(1)观察 分析 比较 联想 归 纳 类比 猜想 作业设计 1 B 5 2 3,11 5 6,20 11 9， x 20 12， x 32. - 5 - 2 C (1)当 n 为偶数时， 18(1)1 ( 1)n 0 为偶数 (2)当 n 为奇数时 (n 2k 1， k N)， 18(1)1 ( 1)n 18(44k)2 k(k 1)为偶数 由 知， 18(1)1 ( 1)n的值一定为偶数 3 B 计算得 4， 9， 猜想 4 D n an(， i 1,2， n)是基本不等式的一般形式，这里 等号当且仅当 论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的 5 C 由于 3， 即满足 f(8) 3. 即满足 f( f( f( 6 12 22 32 42 ( 1)n 1 ( 1)n 1(1 2 3 n) 7. 0 12n13n 解析 观察 2 0， 0， ， 当 n 为偶数时， 0； 又 123 133， 125 135， ， 当 n 为奇数时， 12n 13n. 8夹在两个平行平面间的平行 线段相等 真命题 9解 f(n)表示 n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这 n 个圆相交，则 增加 2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成 2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区 域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加 2n 个，即 f(n 1) f(n)2n， 亦即 f(n 1) f(n) 2n， 又 f(1) 2，由递推公式得 f(2) f(1) 21 ， f(3) f(2) 22 ， f(4) f(3) 23 ， ， f(n) f(n 1) 2(n 1) - 6 - 将以上 n 1 个等式累加得 f(n) 2 21 2 3 (n 1) n 2. 10解 观察到： 10 20 60 90 ， 5 75 10 90. 猜想此推广为 2 且 ， ， 都不为 2 (k Z)， 则 1. 证明： 0 时，等式显然成立 当 0 时，由 2 ， 得 2 ， 所以 ) 1 . 又因为 ) 1 ， 所以 )(1 ) 1 (1 )， 所以 ( ) 1 1 ) 1. 综上所述，等式成 立 11 962 解析 观察得：式子中所有项的系数和为 1， m 1 280 1 120 n p 1 1， m n p 162，又 p 105 50， m 29 512， n 400， m n p 962. 12解 (1) 如图所示，可得 f(4) 5. (2) f(3) 2； - 7 - f(4) 5 f(3) 3； f(5) 9 f(4) 4； f(6) 14 f(5) 5； 每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数 f(n) f(n 1) n 1， 累加得 f(n) f(3) 3 4 5 (n 1) 2 3 4 5 (n 1) 12(n 1)(n 2) - 1 - 绎推理 课时目标 能运用它们进行一些简单推理 解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 1从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为_演绎推理是由 _到 _的推理 2 “ 三段论 ” 推理的一般模式： _、 _、 _. 3 “ 三段论 ” 的常用格式 大前提： M 是 P. 小前提： S 是 M. 结论： _. 4利用集合知识说明 “ 三段 论 ” 若集合 M 的所有元素都具有性质 P， S 是 M 的一个 _，那么 S 中所有元素也都具有_ 一、选择题 1下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A两条直线平行，同旁内角互补，因为 A 和 B 是两条平行直线的同旁内角，所以 A B 180 B我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C由 6 3 3,8 3 5,10 3 7,12 5 7,14 7 7， ，得出结论：一个偶数 (大于4)可以写成 两个素数的和 D在数列 ， 1， 12 111 (n2) ，由此归纳出 通项公式 2 “ 因为对数函数 y 增函数，而 y 对数函数，所以 y 增函数 ” 有关这个 “ 三段论 ” 的推理形式和推理结论正确的说法是 ( ) A形式正确，结论正确 B形式错误，结论错误 C形式正确，结论错误 D形式错 误，结论正确 - 2 - 3下列说法不正确的是 ( ) A演绎推理是由一般到特殊的推理 B演绎推理的一般模式包括大前提、小前提、结论 C三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断 D归纳推理的结论都是不可靠的 4给出演绎推理的 “ 三段论 ” ： 直线平行于平面，则平行于平面内所有直线； (大前提 ) 已知直线 b 平面 ，直线 a平面 ； (小前提 ) 则直线 b 直线 a.(结论 ) 那么这个推理是 ( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 5下面说法： 演绎 推理得到的结论一定是正确的； 演绎推理的一般模式是 “ 三段论 ”的形式； 演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关其中正确的有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6设 ， ， 为两两不重合的平面， l， m， n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若 ， ，则 ； 若 m ， n ， m ， n ，则 ； 若 ， l ，则 l ； 若 l， m， n， l ，则 m n. 其中真命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7将下面三段论形式补充完整： 因为三角函数是周期函数， (大前提 ) 而 _， (小前提 ) 所以 y x(x R)是周期函数 (结论 ) 8函数 y 2x 5 的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提： _ 小前提 ： _ - 3 - 结论： _ 9关于函数 f(x) 1|x| (x0) ，有下列命题： 其图象关于 y 轴对称； 当 x0 时， f(x)是增函数；当 ， f(x)是增函数； f(x)无最大 值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是 _ 三、解答题 10将下列演绎推理写成三段论的形式 (1)一切不能被 2 整除的数都是奇数， 75 不能被 2 整除，所以 75 是奇数； (2)三角形的内角和为 180 ， 内角和为 180 ； (3)菱形的对角线互相平分 11已知： ， l ， l l . - 4 - 能力提升 12在 R 上定义运算 ： x y x(1 y). 若不等式 (x a) (x a)0 时， f(x) lg 1x . 设 1x x1x. 在 (0,1)上是减函数，在 (1， ) 上是增函数 当 x 1 时， 有最小值 2. - 6 - f(x) lg 1x (x0)，在 (0,1)上是减函数，在 (1， ) 上是增函数，且 f(x)的最小值为 . 正确， 不正确 10解 (1)一切不能被 2 整除的数都是奇数 (大前提 ) 75 不能被 2 整除 (小前提 ) 75 是奇数 (结论 ) (2)三角形的内角和为 180.( 大 前提 ) 三角形 (小前提 ) 内角和为 180.( 结论 ) (3)平行四边形对角线互相平分 (大前提 ) 菱形是平行四边形 (小前提 ) 菱形的对角线互相平分 (结论 ) 11证明 如图所示，在平面 内任取一条直线 b，平面 是经过点 A 与直线 b 的平面， 设 a. (1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提 ，且 a， b，小前提 所以 a (2)如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直， 大前 提 a ，且 l ，小前提 所以 l (3)如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，则它也与另一条平行线垂直，大前提 a b，且 l a，小前提 所以 l (4)如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直， 大前提 因为 l b，且直线 b 是平面 内的任意一条直线，小前提 - 7 - 所以 l 12 C (x a) (x a)0. 因不等式对任意实数 x 都成立， 所以 0 时， g(x)在 1,1上是增函数， 所以 g( 1) g(x) g(1) 又 g(1) a b f(1) c， g( 1) a b f( 1) c， 所以 f( 1) c g(x) f(1) c， 又 1 f( 1)1 ， 1 f(1)1 ， 1 c1 ， 所以 f( 1) c 2， f(1) c2 ， 所以 2 g(x)2. 当 a0 时，可用类似的方法， 证得 2 g(x)2. 当 a 0 时， g(x) b， f(x) c， g(x) f(1) c， 所以 2 g(x)2. 综上所述， 2 g(x)2. - 1 - 合法和分析法 课时目标 综合法和分析法 解综合法和分析 法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题 综合法和分析法 综合法 分析法 定义 利用 _和某些数学 _、 _、_等，经过一系列的 _，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 从要证明的 _出发，逐步寻求使它成立的 _，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条件、 _ 、_、 _等 )为止，这种证明方法叫做分析法 框图表示 P 2 3 (_、已有的 _、 _、_等， Q 表示 _) Q 2 3 得到一个明显成立的条件 (Q 表示所要证明的结论 ) 特点 顺 推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法 一、选择题 1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的 ( ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D等价条件 2已知 a， b， c 为三角形的三边且 S P ( ) A S2 P B D P D 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7如果 a a b ba b b a，则正数 a， b 应满足的条件是 _ 8设 a、 b、 u 都是正实数且 a、 b 满足 1a 9b 1，则使得 a b u 恒成立的 u 的取值范围是 _ 9设 a 3 2 2， b 2 7，则 a、 b 的大小关系为 _ _ 三、解答题 10设 a， b0，且 a b，求证： b3 - 3 - 11已知 三个内角 A， B， C 成等差数列，对应的三边为 a， b， c， 求证： 1a b 1b c 3a b c. 能力提升 12. - 4 - 如图所示，在直四棱柱 ，当底面四边形 足条件 _时，有注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形 ) 13已知函数 f(x) 1 a b，求证： |f(a) f(b)| 即 2PS. 3 A 由于函数 f(x)在 ( ， ) 上单调递减， 因此图象与 x 轴的交点最多就是一个 4 C 利用函数单调性 设 f(x) ln 则 f( x) 1 ln 00， f(x)单调递增； xe 时， f( x)ac. 5 B f(n)、 g(n)可用分子有理化进行变形，然后与 (n)进行比较 f(n) 11 - 6 - f(n)a b b a. 8 (0,16 解析 u( a b) 1a 9b 恒成立 ， 而 (a b) 1a 9b 10 910 6 16， 当且仅当 9 1a 9b 1 时，上式取 “ ” 此时 a 4， b 12. 0 只需证 (a b)(ab(a b)成立， 又因 a b0， 只需证 b2立， 只需证 2 成立， 即需证 (a b)20 成立 而依题设 a b，则 (a b)20 显然成立 由此命题得证 方法二 综合法 a ba b0 (a b)20 2b2注意到 a， b R ， a b0，由上式即得 (a b)(ab(a b) - 7 - b311证明 要证原式，只需证 a b b a b c 3， 即证 b c 1， 即只需证 1， 而由题意知 A C 2B， B 3 ， bc 1， 原等式成立，即 1a b 1b c 3a b c. 12 析 从结论出发，找一个使 而可以是： 四 边形 正方形 13证明 原不等式即 | 1 1 |a b|， 要证此不等式成立， 即证 1 1 2 1 1 2即 1 1 1 当 1 时不等式恒成立， 当 1 时， 即要证 1 21 1 即 2ab a b 知此式成立， 而上述各步都可逆， 因此命题得证 - 1 - 证法 课时目标 反证法 解反证法的思考过程、特点 合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系 1一般地，假设原命题不成立 (即在原命题的条件下，结论不成立 )，经过 _，最后得出 _，因此说明假设 _，从而证明了原命题 _，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法 2 反 证 法 的 关 键 是 在 正 确 的 推 理 下 得 出 矛 盾 ， 这 个 矛 盾 可 以 是 与_等矛盾 一、选择题 1应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ( ) 结论相反判断，即假设； 原命题的条件； 公理、定理、定义等； 原结论 A B C D 2反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是 ( ) 与已知条件矛盾； 与假设矛盾； 与定义、公理、定理矛盾； 与事实矛盾 A B C D 3用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 c 0 (a0) 有有理数根，那么a、 b、 c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 ( ) A假设 a、 b、 c 都是偶数 B假设 a、 b、 c 都不是偶数 C假设 a、 b、 c 至多有一个偶数 D假设 a、 b、 c 至多有两个偶数 4命题 “ 三角形中最多只有一个内角是直角 ” 的结论的否定是 ( ) A有两个内角是直角 - 2 - B有三个内角是直角 C至少有两个内角是直角 D没有一个内角是直角 5否定 “ 自然数 a、 b、 c 中恰有一个偶数 ” 时正确的反设 为 ( ) A a、 b、 c 都是奇数 B a、 b、 c 都是偶数 C a、 b、 c 中至少有两个偶数 D a、 b、 c 中都是奇数或至少有两个偶数 6已知 a， b， c， d 为实数，且 cd，则 “ ab” 是 “ a cb d” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7用反证法证明： “ ，若 A B，则 ab” 的结论的否定为 _ 8将 “ 函数 f(x) 42(p 2)x 2p 1 在区间 1,1上至少存在一个实数 c，使f(c)0” 反设，所得命题为 “_” 9若下列两个方程 (a 1)x 0， 22a 0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题 10已知 a 是整数， 证： a 也是偶数 - 3 - 11.若 a、 b、 c 均为实数，且 a 2y 2 ， b 2z 3 ， c 2x 6 ， 求证： a、 b、 c 中至少有一个大于 0. 能力提升 12求证：不论 x， y 取何非零实数，等式 1x 1y 1x 13等差数列 前 n 项和为 1 2， 9 3 2. - 4 - (1)求数列 通项 n 项和 (2)设 n N*)，求证：数列 任意不同 的三项都不可能成为等比数列 1对于否定性命题或结论中出现 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 、 “ 不可能 ” 等字样时，常用反证法 2反证法的基本步骤是： (1)反设 假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； (2)归谬 从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果； (3)存真 由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 答案 知识梳理 1正确的推理 矛盾 错误 成立 2已知条件或与假设或与定义、公理、定理、事实 作业设计 1 C D 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数 (全为奇数 )，其二是至少有两个 偶数 6 B cd， a c 与 b d 的大小无法比较 可采用反证法， - 5 - 当 a cb d 成立时，假设 a b， 综上可知， “ ab” 是 “ a cb d” 的必要不充分条件 7 a b 8函数 f(x) 42(p 2)x 2p 1 在区间 1,1上恒小于等于 0 9 a 2 或 a 1 解析 若方程 (a 1)x 0 有 实根， 则 (a 1)2 4 ， 1 a 13. 若方程 22a 0 有实根 则 48a0 ， a 2 或 a0 ， 当两个方程至少有一个实根时， 1 a 13或 a 2 或 a0. 即 a 2 或 a 1. 10证明 假设 a 不是偶数，则 a 为奇数 设 a 2m 1(m 为整数 )，则 44m 1. 因为 4(m)是偶数，所以 44m 1 为奇数，所以 已知矛盾，所以假 设错误， 所以原命题成立，即 a 是偶数 11证明 设 a、 b、 c 都不大于 0，即 a0 ， b0 ， c0 ， a b c0. 而 a b c 2y 2 2z 3 2x 6 (2x) (2y) (2z) (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 3. a b c0，这与 a b c0 矛盾， 故 a、 b、 c 中至少有一个大于 0. 12证明 假设存在非零实数 x， y 使得等式 1x 1y 1x 于是有 y(x y) x(x y) 即 0， 即 (x 340. 由 y0 ， 得 34. - 6 - 又 (x 0 ， 所以 (x 34. 与 0 矛盾，故原命题成立 13 (1)解 设公差为 d，由已知得 2 1，33d 9 3 2， d 2， 故 2n 1 2， n(n 2) (2)证明 由 (1)得 n 2. 假设数列 存在三项 br(p、 q、 r 互不相等 )成等比数列，则 即 (q 2)2 (p 2)(r 2)， ( (2q p r) 2 0. p， q， r N*， 0，2q p r 0， p (p r)2 0， p r，这与 p r 矛盾 所以数列 任意不同的三项都不可能成为等比数列 - 1 - 学归纳法 课时目标 1由一系列有限的个别事实得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法 2用数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题时，其步骤为： (1)归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0(N*)时命题成立； (2)归纳递推：假设 n k(k N*， k 命题成立，证明当 n k 1 时命题也成立； (3)由 (1)(2)得出结论 一、选择题 1用数学归纳法证明 1 a 1 1 21 a (a1 ， n N*)，在验证 n 1 时，等号左边的项是 ( ) A 1 B 1 a C 1 a D 1 a 用数学归纳法证明 “2 n1 对于 n n 都成立 ” 时，第一步证明中的起始值 ) A 2 B 3 C 5 D 6 3已知 f(n) 1 12 13 1n(n N*)，证明不等式 f(2n)f(2k 1)比 f(2k)多的项数是 ( ) A 2k 1项 B 2k 1项 C 2 D以上都不对 4用数学归纳法证明 (n 1)(n 2)( n n) 2n13(2 n 1)(n N*)，从“ k 到 k 1” 左端需增乘的代数式为 ( ) A 2k 1 B 2(2k 1) 1k 1 3k 1 5用数学归纳法证明 “ 当 n 为正奇数时， x y 整除 ” 时，第一步验证 n 1时，命题成立，第二步归纳假设应写成 ( ) A假设 n 2k 1(n N*)时命题正确，再推证 n 2k 3 时命题正确 B假设 n 2k 1(k N*)时命题正确，再推证 n 2k 1 时命题正确 C假设 n k(k N*)时命题正确，再推证 n k 2 时命题正确 - 2 - D假设 n k(k N*)时命题正确，再推证 n k 2 时命题正确 6用数学归纳法证明不等式 “ 1n 1 1n 2 12n1324 (n2)” 时的过程中，由 n k 到n k 1 时，不等式的左边 ( ) A增加了一 项 12k 1 B增加了两项 12k 1， 12k 1 C增加了两项 12k 1， 12k 1，又减少了一项 1k 1 D增加了一项 12k 1，又减少了一项 1k 1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7用数学归纳法证明： 1 2 3 ，则 n k 1 时的左端应在 n k 时的左端加上 _ 8用数学归纳法证明： 1 2 22 2n 1 2n 1 (n N*)的过程如下： (1)当 n 1 时，左边 1，右边 21 1 1，等式成立 (2)假设当 n k 时等式成立，即 1 2 22 2k 1 2k 1，则当 n k 1 时， 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 11 2 2k 1 n k 1 时等式也成立由此可知对于任何 nN*，等式都成立上述证明的错误是 _ 9已知数列 前 n 项和为 1， n N*)依次计算出 4后，可猜想 _ 三、解答题 10试比较 2n 2 与 n N*)，并用数学归纳法证明你的结论 - 3 - 11在数列 ， 12， 1 1(n 1,2,3， ) (1)求 (2)猜想数列 通项公式，并用 数学归纳法证明你的结论 能力提升 12已知 f(n) (2n 7)3 n 9，存在正整数 m，使得对任意 n N*都能使 m 整除 f(n)， 则最大的 m 的值为多少？并证明之 - 4 - 13等比数列 前 n 项和为 知对任意的 n N*，点 (n， 在函数 y r(b0且 b1 ， b， r 均为常数 )的图象上 (1)求 r 的值； (2)当 b 2 时，记 2(1)(n N*)， 证明：对任意的 n N*，不等式 11 1n 1成立 1数学归纳法在证明与正整数 n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用 2在证明 n k 1 时的命题中，怎样变形使之出现 n k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清 n k 1 时式子结构或几何量的改变 答案 作业设计 - 5 - 1 C 当 n 1 时， 1 等号左边的项是 1 a 2 C 当 n 取 1、 2、 3、 4 时 2n1 不成立， 当 n 5 时， 25 3252 1 26，第一个 能使 2n1 的 n 值为 5. 3 C 观察 f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数， f(2k) 1 12 12k， 而 f(2k 1) 1 12 12k 12k 1 12k 2 12k 2k. 因此 f(2k 1)比 f(2k)多了 2 4 B 当 n k 时左端为 (k 1)(k 2) ( k k)，当 n k 1 时，左端为 (k 2)(k 3)( k 1 k 1)(k 1 k)(k 1 k 1)，即 (k 2)(k 3)( k k)(2 k 1)(2k 2) 观察比较它们的变化知增乘了 2k 12k 2k 1 2(2k 1) 5 B 因 n 为正奇数，所以否定 C、 D 项；当 k 1 时， 2k 1 1,2k 1 3，故选 B. 6 C 当 n k 时，左边 1k 1 1k 2 12k. 当 n k 1 时，左边 1k 2 1k 3 12k 1 1k 1 1k 2 12k 12k 112k 21k 1 . 7 (1) (2) (k 1)2 8没有用到归纳假设，不是数学归纳法 9 21 解析 1， 43， 32 64， 85， 猜想 21. 10证明 当 n 1 时， 21 2 41， 当 n 2 时， 22 2 64， 当 n 3 时， 23 2 109， 当 n 4 时， 24 2 1816， 由此可以猜想， 2n 2n N*)成立 下面用数学归纳法证明： - 6 - 当 n 1 时，左边 21 2 4，右边 1， 所以左边 右边，所以原不等式成立 当 n 2 时 ，左边 22 2 6， 右边 22 4，所以左边 右边； 当 n 3 时，左边 23 2 10，右边 32 9， 所以左边 右边 假设 n k 时 (k3 且 k N*)时，不等式成立， 即 2k 2么 n k 1 时， 2k 1 2 22 k 2 2(2k 2) 222. 要证当 n k 1 时结论成立， 只需证 22( k 1)2， 即证 2k 30 ， 即证 (k 1)(k 3)0. 又 k 10， k 30 ， (k 1)(k 3)0. 所以当 n k 1 时，结论成立 由 可知 ， n N*,2n 211 解 (1)1122 12 1 14， 1142 14 1 16. (2)猜想 12n，下面用数学归纳法证明此结论正确 证明： 当 n 1 时，结论显然成立 假设当 n k(k N*)时，结论成立，即 12k， 那么 1 11212k 1 12k 2 12k 1. 也就是说，当 n k 1 时结论成立 - 7 - 根据 可知，结论对任意正整数 n 都成立， 即 12n. 12解 f(1) 36， f(2) 108 336 ， f(3) 360 1036 ， f(1)， f(2)， f(3)能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除 证明： n 1,2 时，由上得证，假设 n k(k N*， k2) 时， f(k) (2k 7)3 k 9 能被 36 整除， 则 n k 1 时， f(k 1) f(k) (2k 9)3 k 1 (2k 7)3 k (6k 27)3 k (2k 7)3 k (4k 20)3 k 36(k 5)3 k 2(k2) f(k 1)能被 36 整除 因此，对任意 n N*， f(n)都能被 36 整除 又 f(1)不能被大于 36 的数整除， 所求最大的 m 值等于 36. 13 (1)解 由题意： r， 当 n2 时， 1 1 r. 所以 1 1(b 1)， 由于 b0 且 b1 ， 所以 n2 时， 以 b 为公比的等比数列 又 b r， b(b 1)， b，即bb 1b r b，解得 r 1. (2)证明 当 b 2 时，由 (1)知 2n 1， 因此 2n(n N*)， 所证不等式为 2 12 4 14 2n 12n n 1. 当 n 1 时，左式 32，右式 2. 左式 右式，所以结论成立， 假设 n k(k N*)时结论成立， 即 2 12 4 14 2k 12k k 1， 则当 n k 1 时， - 8 - 2 12 4 14 2k 12k 2k 32k 1 k 1 2k 32k 1 2k 32 k 1. 要证当 n k 1 时结论成立， 只需证 2k 32 k 1 k 2， 即证 2k 32 k 1k 2， 由基本不等式 2k 32 k 1 k 22 k 1k 2成立， 故 2k 32 k 1 k 2成立， 所以当 n k 1 时，结论成立 由 可知， n N*时，不等式 11 1n 1成立 - 1 - 第二章 推理与证明 (A) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1下列说法中正确的是 ( ) A合情推理就是正确的推理 B合情推理就是归纳推理 C归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D类比推理是从特殊到特殊的推理过程 2下面几种推理是合情推理的是 ( ) 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180 归纳出所有三角形的内角和都是 180 ； 某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分 ； 三角形内角和是 180 ，四边形内角和是 360 ，五边形内角和是 540 ，由此得凸多边形内角和是 (n 2)180. A B C D 3观察 ( 2x， ( 4(x) x，由归纳推理可得：若定义在 f(x)满足 f( x) f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g( x)等于 ( ) A f(x) B f(x) C g(x) D g(x) 4用反证法证明命题 “ 如果 ab，那么 3 a3 b” 时，假设的内容应是 ( ) A.3 a 3 b B.3 ，这与三角形内角和为 180 相矛盾， A B 90 不成立； 所以一个三角形中不能有两个直角； 假设 A、 B、 C 中有两个角是直角，不妨设 A B 90. 正确顺序的序号排列为 ( ) A B C D 8类比平面内正三角形的 “ 三边相等，三内角相等 ” 的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是 ( ) 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； - 2 - 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A B C D 9用数学归纳法证明等式 1 2 3 (n 3) n 3n 42 (n N*)，验证 n 1 时， 左边应取的项是 ( ) A 1 B 1 2 C 1 2 3 D 1 2 3
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