【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题训练二 函数与导数（打包3套）理
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【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题训练二 函数与导数（打包3套）理,步步高,广东,专用,高考,数学,二轮,复习,温习,专题,训练,函数,导数,打包
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- 1 - 第 1 讲 函数、基本初等函数的图象与性质 考情解读 数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下 数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决 问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大 1函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数 2函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函 数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循 “ 同增异减 ” 的原则 (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性 (3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数在其定义域上满足 f(a x) f(x)()，则其一个周期 T |a|. 3函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图 作函数图象有两种基本方 法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换 4指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y ax(a0， a1) 与对数函数 y a0， a1) 的图象和性质，分 01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质 (2)幂函数 y 图象和性质，分幂指数 0， 0， - 2 - 则 x 的取值范围是 _ (2)设奇函数 y f(x) (x R)，满足对任意 t R 都有 f(t) f(1 t)，且 x 0， 12 时， f(x) f(3) f 32 的值等于 _ 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式； (2)利用 f(x)的性质和 x0 ， 12时的解析式探求 f(3)和 f( 32)的值 答案 (1)( 1,3) (2) 14 解析 (1) f(x)是偶函数， 图象关于 y 轴对称 又 f(2) 0，且 f(x)在 0， ) 单调递减， 则 f(x)的大致图象如图所示， 由 f(x 1)0，得 2 时， f( f(x1)ab B cba C acb D bac 思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象 (2)考虑函数 f(x)的单调性 答案 (1)C (2)D 解析 (1)函数的定义域为 x|x 1，其图象可由 y 10ln|x|x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到， y 10ln|x|x 为奇函数 ，图象关于原点对称，所以， y 10ln|x 1|x 1 的图象关于点 (1,0)成中心对称可排除 A， D. 又 x0 时， y 10ln|x 1|x 1 0，所以， B 不正确，选 C. (2)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函数 y f(x)的图 - 4 - 象本身关于直线 x 1 对称，所以 a f( 12) f(52)，当 x2 时， f( f(x1)a. 思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意 y f(x)与 y f( x)、 y f(x)、 y f( x)、 y f(|x|)、 y |f(x)|及 y af(x) b 的相互关系 (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系 (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究 (1)函数 f(x) 1 g(x) 21 ) (2)(2013 课标全国 ) 已知函数 f(x) 2x， x0 ，x ， x0. 若 |f(x)| a 的取值范围是 ( ) A ( ， 0 B ( ， 1 C 2,1 D 2,0 答案 (1)C (2)D 解析 (1)f(x) 1 图象过定点 (1,1)， g(x) 21 0,2) f(x) 1 图象由 y 图象向上平移一个单位而得到，且 f(x) 1 单调增函数， g(x) 21 x 2( 12)y (12) g(x) 21 A 中， f(x)的图象单调递增，但过点 (1,0)，不满足； B 中， g(x)的图象单调递减，但过点 (0,1)，不满足； D 中，两个函数都是单调增函数，也不满足选 C. (2)函数 y |f(x)|的图象如图 当 a 0 时， |f(x)| 然成立 当 a0 时，只需在 x0 时， - 5 - ln(x 1) 立 比较对数函数与一次函数 y 增长速度 显然不存在 a0 使 ln(x 1) x0 上恒成立 当 a0，x ， a)，则实数 a 的取值范围是( ) A ( 1,0)(0,1) B ( ， 1)(1 ， ) C ( 1,0)(1 ， ) D ( ， 1)(0,1) (2)已知 ， 2 ， 2且 0，则下面结论正确的是 ( ) A B 0 C 2 思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定 a 的范围； (2)构造函数 f(x) x，利用f(x)的单调性 答案 (1)C (2)D 解析 (1)方法一 由题意作出 y f(x)的图 象如图 显然当 a1 或 1f( a)故选 C. 方法二 对 a 分类讨论： 当 a0 时， ， a1. 当 a)，即 a)0 ， f(x)为增函数， 且函数 f(x)为偶函数，又 0， ， | | |， 2 2. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类 讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力 (2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性 (1)设 15 故 ) 0，所以函数 g(x)的最小值是 0. 1判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察 (2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题 (3)对于解析式较复杂的一般用导数法 (4)对于抽象函数一般用定义法 - 7 - 2函数奇偶性的应用 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分 (一半 )区间上，是简化问题的一种途径尤其注意偶函数 f(x)的性质： f(|x|) f(x) 3函数图象的对称性 (1)若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 f(x)的图象关于直线 x a 对称提醒：函数 y f(a x)与 y f(a x)的图象对称轴为 x 0，并非直线 x a. (2)若 f(x)满足 f(a x) f(b x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x a 称 (3)若函数 y f(x)满足 f(x) 2b f(2a x)，则该函数图象关于点 (a， b)成中心对称 4二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用 函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与 “ 三个二次 ” 有关的问题，高考对 “ 三个二次 ” 知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中 5指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围 比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与 0 比较或与 1 比较 6解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用 . 真题感悟 1 (2014 安徽 )若函数 f(x)(x R)是周期为 4 的奇函数，且在 0,2上的解析式为 f(x) x x ， 0 x1 ， x， 10，且 a1) 的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( ) 答案 B 解析 由题意得 y a0，且 a1) 的图象过 (3,1)点，可解得 a 中， y 3 x (13)x，显然图象错误；选项 B 中， y 幂函数图象可知正确；选项 C 中， y ( x)3 然与所画图象不符；选项 D 中， y x)的图象与 y 图象关于 y 轴对称，显然不符，故选 B. 押题精练 1已知函数 f(x) e|ln x| x 1x ，则函数 y f(x 1)的大致图象为 ( ) - 9 - 答案 A 解析 据已知关系式可得 f(x) e ln x x 1x x x ，x x 1x 1x x ，作出其图象然后将其向左平移 1 个单位即得函数 y f(x 1)的图象 2已知函数 f(x) |若 m 3n m 3m在 m(0,1) 上单调递 减， 当 m 1 时， m 3n 4， m 3n4. 3已知 f(x) 2x 1， g(x) 1 定：当 |f(x)| g(x)时， h(x) |f(x)|；当 |f(x)|0”的是 ( ) A f(x) 12 B f(x) 4x 4 C f(x) 2x D f(x) 案 C 解析 函数 f(x)满足 “ 对任意的 0 ， ) 时，均有 (f( f(0” 等价于 f( f(值的符号相同，即可化为 f f ，表示函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增，由此可得只有函数 f(x) 2选 C. 2 (2014 浙江 )在同一直角坐标系中，函数 f(x) xa(x0) ， g(x) 图象可能是 ( ) 答案 D - 11 - 解析 方法一 分 a1,01 时， y y 为增函数，但 y 除 C； 当 01，而此时幂函数 f(x) C 错 3已知函数 y f(x)是奇函数，当 x0 时， f(x) lg x，则 f f 1100 的值等于 ( ) A. 1 B 1 C D 答案 D 解析 当 f( x) x) 又函数 f(x)为奇函数， f( x) f(x)， 所以当 下列不等式成立的是 ( ) A ln aln b B 1122 D.3 a3 b 答案 D 解析 因为 ab，而对数的真数为正数，所以 ln aln b 不一定成立； 因为 y 又 ab，则 1122不一定成立，故 C 错； y 13x 在 ( ， ) 是增函数，又 ab，则 1133，即 3 a3 D. 5设偶函数 f(x)满足 f(x) 2x 4(x0) ，则 x|f(x 2)0等 于 ( ) A x|B x|C x|D x|答案 B - 12 - 解析 由于函数 f(x)是偶函数，因此有 f(|x|) f(x)，不等式 f(x 2)0， 即 f(|x 2|)0， f(|x 2|) 2|x 2| 40， |x 2|2， 即 x 22，由此解得 于是有 x|f(x 2)0 x|故选 B. 6使 x)0，又 1 f(x)是 R 上的偶函数， - 13 - f( f( f( f( f(2 f(1)， 2 f(2 f(1)，即 f( f(1) 又 f(x)在 0， ) 上递增 |a|1 ， 1a1 ， a 12， 2 ，选 C. 二、填空题 9已知函数 f(x) 13ex xf x x，则 f() _. 答案 e 解析 f() f( 1) 13 1 e，故填 e. 10已知函数 f(x) x|x a|，若对任意的 2 ， )，且 ( f( f(0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 a|a2 解析 f(x) x x a ， x a x x a ， ，函数 y f(x)在 2，) 单调递增，当 a0 时，满足题意，当 a0 时，只需 a2 ，即 0a2 ，综上所述，实数 a2. 11 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的函数，在区间 1,1 上， f(x) 1， 1 x0，2x 1 ， 0 x1 ，其中 a， b R.若 f 12 f 32 ，则 a 3b 的值为 _ 答案 10 解析 因为 f(x)的周期为 2， 所以 f 32 f 32 2 f 12 ，即 f 12 f 12 . 又因为 f 12 12a 1， f 12 212 1 b 43 ， 所以 12a 1 b 43 . - 14 - 整理，得 a 23(b 1) 又因为 f( 1) f(1)， 所以 a 1 b 22 ，即 b 2a. 将 代入 ，得 a 2， b 4. 所以 a 3b 2 3( 4) 10. 12已知定义在 R 上的函数 y f(x)满足以下三个条件： 对于任意的 x R，都有 f(x 4) f(x)； 对于任意的 R，且 0 ，都有 f( f( 函数 y f(x 2)的图象关于 y 轴对称 则判断 f( f( f(7)的大小关系为 _ 答案 f( f(7) f(解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x 2 对称的函数所以 f( f(4 12)f(12)， f(7) f(4 3) f(3)， f( f(4 52) f(52) 又 f(x)在 0,2上为增函数 所以作出其在 0,4上的图象知 f( f(7) f( 13设函数 f(x) 1 x Z)，给出以下三个结论： f(x)为偶函数； f(x)为周期函数； f(x 1) f(x) 1，其中正确结论的序号是 _ 答案 解析 对于 x Z， f(x)的图象为离散的点，关于 y 轴对称， 正确； f(x)为周期函数， T 2， 正确； f(x 1) f(x) 1 x 12 1 1 x 1 1， 正确 14能够把圆 O： 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “ 和谐函数 ” ，下列函数是圆 O 的 “ 和谐函数 ” 的是 _ f(x) e x f(x) x f(x) f(x) 4x - 15 - 答案 解析 由 “ 和谐函数 ” 的定义知，若函数为 “ 和谐函数 ” ，则该函数为过原点的奇函数， 中， f(0) e 0 2，所以 f(x) e f(x) e 和谐函数 ” ； 中 f(0) 05 0 0，且 f( x) x x f(x)，所以 f(x)为奇函数，所以 f(x) 和谐函数 ” ； 中， f(0) 0，且 f( x) f(x)， f(x)为奇函数，故 f(x) 和谐函数 ” ； 中， f(0) 0，且 f(x)为奇函数，故 f(x) 4x 为 “ 和谐函数 ” ，所以， 中的函数都是 “ 和谐函数 ” - 1 - 第 2 讲 函数的应用 考情解读 点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现 数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题 1函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x)，我们把使 f(x) 0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点 (2)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x) f(x) g(x)的零点就是方程 f(x) g(x)的根，即函数 y f(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标 (3)零点存在性定理 如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)f( 3)0，则方程 f(x) 0 的根的个数为 _ - 2 - (2)(2014 辽宁 )已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x) x， x0 ， 12，2x 1， x 12， ，则不等式 f(x 1) 12的 解集为 ( ) A 14， 23 43， 74 B 34， 13 14， 23 C 13， 34 43， 74 D 34， 13 13， 34 思维启迪 (1)根据零点存在性原理，进行判断； (2)画出函数图象，利用数形结合思想解决 答案 (1)2 (2)A 解析 (1)由于函数 f(x)是定义在 ( ， 0)(0 ， ) 上的奇函数，且 f( 3) f( 3)0， 故 f( 3)0，由零点存在性定理知，存在 c( 12， 3)，使得 f(c) 0，即函数 f(x)在 (0， ) 有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数 f(x)在 ( ， 0)也有一个零点，故方程 f(x) 0 的根的个数为 2. (2)先画出 y 轴右边的图象，如图所示 错误 !未找到引用源。 f(x)是偶函数， 图象关于 y 轴对称， 可画出 y 轴左边的图象，再画直线 y ， B， C， D，先分别求出 A， B 两点的横坐标 令 x 12， x0 ， 12， x 3 ， x 13. 令 2x 1 12， x 34， 13， 34. 根据对称性可知直线 y 12与曲线另外两个交点的横坐标为 34， 13. f(x 1) 12，则在直线 y 12上及其下方的图象满足， 13 x 1 34或 34 x 1 13， - 3 - 43 x 74或 14 x 23. 思维升华 函数零点 (即方程的根 )的确定问题，常见的有 函数零点值大致存在区间的确定； 零点个数的确定； 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法 ，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解 (1)已知函数 f(x) (14)x x，则 f(x)在 0,2 上的零点个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 (2)已知 a 是函数 f(x) 2x 零点，若 00 C f( a 3， W xR(x) (10 98 1 0003x W x ，98 1 0003x x(2) 当 00 ； 当 x(9,10) 时， W10 时， W 98 1 0003x 98 2 1 0003x 2.7 x 38， 当且仅当 1 0003x x 1009 时， W 38， - 7 - 故当 x 1009 时， W 取最大值 38. 综合 知：当 x 9 时， W 取最大值 元，故当年产量为 9 千件时，该 公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 1函数与方程 (1)函数 f(x)有零点 方程 f(x) 0 有根 函数 f(x)的图象与 x 轴有交点 (2)函数 f(x)的零点存在性定理 如果函数 f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的曲线，并且有 f(a) f(b)0，那么，函数 f(x)在区间 (a， b)内不一定没有零点 2函数综合题的求解往往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系 ，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决 3应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言 建模数学语言 求解数学应用 反馈检验作答 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 . 真题感悟 1 (2014 重庆 )已知函数 f(x) 1x 1 3， x 1， 0，x， x ， 1，且 g(x) f(x) 1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. 94， 2 0， 12 B. 114 ， 2 0， 12 - 8 - C. 94， 2 0， 23 D. 114 ， 2 0， 23 答案 A 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示，其中 A(1,1)， B(0， 2) 因为直线 y m m(x 1)恒过定点 C( 1,0)，故当直线 y m(x 1)在 置时， m 12，可知当直线 y m(x 1)在 x 轴和 间运动时两图象有两个不同的交点 (直线 y m(x 1)可与 合但不能与 x 轴重合 )，此时 00， 则函数 y ff(x) 1的零点有 _个 答案 4 解析 当 f(x) 0 时， x 1 或 x 1，故 ff(x) 1 0 时， f(x) 1 1 或 1.当 f(x) 1 1，即 f(x) 2 时，解得 x 3 或 x 14；当 f(x) 1 1，即 f(x) 0 时，解得 x 1或 x y ff(x) 1有四个不同的零点 2函数 f(x) a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ( 1e， 0) 解析 令 f( x) (x 1)0，得 x 1， 则当 x( ， 1)时， f( x)0， f(x)在 ( ， 1)上单调递减，在 ( 1， ) 上单调递增，要使 f(x)有两个零点，则极小值 f( 1) 1e，又 x 时， f(x)0，则 8 2 25 8，当 且仅当 x 5 时，年平均利润最大，最大值为 8 万元 (推荐时间： 60 分钟 ) 一、选择题 1函数 f(x) 1 ) A (0， 12) B (12， 1) C (1,2) D (2,3) 答案 C 解析 函数 f(x)的定义域为 (0， ) ，且函数 f(x)在 (0， ) 上为增函数 f(12) 112 1 2 30， f(3) 131 13 230， 即 f(1) f(2)0，所以 f(x)0，故函数在 (1,2)上没有零点； f(2) 22 10， f(3) 23 2 33 2 3 ， - 11 - 因为 8 2 2所以 8e，故 ln 若方程 f(x) m 有三个不同的实根，则实数 m 的取值范围为 ( ) A 12， 1 B 12， 1 C ( 14， 0) D ( 14， 0 答案 C 解析 作出函数 y f(x)的图象，如图所示 当 x0 时， f(x) x (x 12)2 14 14，所以要使函数 f(x) m 有三个不同的零点，则140 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (0,1 解析 当 x0 时，由 f(x) ln x 0，得 x 1. 因为函数 f(x)有两个不同的零点， 则当 x0 时， 函数 f(x) 2x a 有一个零点， 令 f(x) 0 得 a 2x， 因为 01 解析 函数 f(x)有三个零点等价于方程 1x 2 m|x|有且仅有三个实根 1x 2 m|x|1m |x|(x 2)，作函数 y |x|(x 2)的图象，如图所示，由图象可知 m 应满足： 01. 10我们把形如 y b|x| a(a0， b0)的函数因其图象类似于汉字中的 “ 囧 ” 字，故生动地称为 “ 囧函数 ” ，若当 a 1， b 1 时的 “ 囧函数 ” 与函数 y lg|x|的交点个数为 n，则 n_. 答案 4 解析 由题意知，当 a 1， b 1 时， y 1|x| 1 1x 1 x0 且 x ， 1x 1 成立， 即对于任意 b R， 44a0 恒成立， - 15 - 所以有 ( 4a)2 4(4a) 1400， 即 f(x) 0 有两个不相等的实数根， 若实数 a 满足条件，则只需 f( 1) f(3)0 即可 f( 1) f(3) (1 3a 2 a 1)(9 9a 6 a 1) 4(1 a)(5a 1)0 ， a 15或 a1. 检验： (1)当 f( 1) 0 时， a 1，所以 f(x) x. 令 f(x) 0，即 x 0，得 x 0 或 x 1. 方程在 1,3上有两个实数根，不合题意，故 a1. - 16 - (2)当 f(3) 0 时， a 15，此时 f(x) 135x 65. 令 f(x) 0，即 135x 65 0， 解得 x 25或 x 3. 方程在 1,3上有两个实数根，不合题意，故 a 15. 综上所述， - 1 - 第 3 讲 导数及其应用 考情解读 高考的一个热点 用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用 1导数的几何意义 函数 y f(x)在点 x y f(x)在点 (f(处的切线的斜率，其切线方程是 y f( f( x 2导数与函数单调性的关系 (1)f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x) ， ) 上单调递增，但 f( x)0. (2)f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f( x) 0 时，则 f(x)为常函数，函数不具有单调性 3函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题 (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有 (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值 4定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质： x)x) baf1(x) f2(x)x)x) x)x)x)中 曲线 52的一个公共点，若 处的切线与 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是 _ 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出 点 斜式方程，再化为一般式方程 (2)A 点坐标是解题的关键点，列方程求出 答案 (1)5x y 3 0 (2)4 解析 (1)因为 y e 5x( 5x) 5e 5x， 所以 y| x 0 5， 故切线方程为 y 3 5(x 0)， 即 5x y 3 0. (2)设 A(则 处的切线的斜率为 f( 3 处的切线的斜率为 1 又 处的切线与 处的切线互相垂直， 所以 ( 3 1，即 3 又 1，所以 32， 代入 52，得 12， 将 12， 32代入 y 1(a0)，得 a 4. 思维升华 (1)求曲线的切线要注意 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异，过点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌 握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解 (1)已知函数 y f(x)的导函数为 f( x)且 f(x) 3) x，则 f( 3) _. (2)若曲线 f(x) x 1 在 x 2 处的切线与直线 2y 1 0 互相垂直，则实数 a 等于_ 答案 (1) 36 4 (2)2 - 3 - 解析 (1)因为 f(x) 3) x，所以 f( x) 2 3) x 所以 f( 3) 2 3f( 3) f( 3) 36 4 . (2)f( x) x x， f( 2) 1， 即函数 f(x) x 1 在点 x 2 处的切线的斜率是 1， 直线 2y 1 0 的斜率是 所以 ( 1 1，解得 a 2. 热点二 利用导数研究函数的性质 例 2 已知函数 f(x) (x a)中 e 是自 然对数的底数， a R. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 x0,4 时，求函数 f(x)的最小值 思维启迪 (1)直接求 f( x)，利用 f( x)的符号确定单调区间； (2)讨论区间 0,4和所得单调区间的关系，一般情况下， f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到 解 (1)因为 f(x) (x a)x R，所以 f( x) (x a 1)令 f( x) 0，得 x a 1. 当 x 变化时， f(x)和 f( x)的变化情况如下： x ( ， a 1) a 1 ( a 1， ) f( x) 0 f(x) 故 f(x)的单调减区间为 ( ， a 1)； 单调增区间为 ( a 1， ) (2)由 (1)得， f(x)的单调减区间为 ( ， a 1)； 单调增区间为 ( a 1， ) 所以当 a 10 ，即 a 1时， f(x)在 0,4上单调递增，故 f(x)在 0,4上的最小值为 f(x)f(0) a； 当 00 或f( x)0，即 f( x)0 在 1， e上恒成立， 此时 f(x)在 1， e上是增函数 - 5 - 所以 f(x)f(1) 2a 3，解得 a 32(舍去 ) 若 12 ae ，令 f( x) 0，得 x 2a. 当 10，所以 f(x)在 (2a， e)上是增函数 所以 f(x)f(2a) a) 1 3， 解得 a 去 ) 若 2ae，则 x 2设 F(x) f(x) g(x) (1)求函数 F(x)的单调区间； (2)若以函数 y F(x)(x(0,3) 图象上任意一点 P(切点的切线的斜率 k 12恒成立，求实数 a 的最小值； (3)是否存在实数 m，使得函数 y g( 21) m 1 的图象与函数 y f(1 图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由 思维启迪 (1)利用 F( x)确定单调区间； (2)k F( F( 12分离 a，利用函数思想求 a 的最 小 值； (3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化 解 (1)F(x) f(x) g(x) ln x ax(x0)， F( x) 1x x a0，由 F( x)0x( a， ) ， F(x)在 (a， ) 上是增函数 由 F( x)0. 又由 G(2) G( 2) 2 12实数 m 的取值范围 解 (1)由已知，得 f( x) 21x 21x (x0) 当 a0 时，恒有 f( x)0，则 f(x)在 (0， ) 上是增函数 当 - 7 - 故 f(x)在 (0， 12a上是增函数； 若 x 12a，则 f( x) 等价于 a2f(x)因为 a( 4， 2)，所以 24 2a，即 x， x0 ，则 f(a) f( _. (2)(2014 山东 )直线 y 4x 与曲线 y ) A 2 2 B 4 2 C 2 D 4 思维启迪 (1)利用微积分基本定理先求出 a，再求分段函数的函数值； (2)利用图形将所求面积化为定积分 答案 (1)7 (2)D 解析 (1)因为 a 10(2x)(10 e 1 1 e， f(x) ln x， x02 x， x0 ，所以 f(a) f( f(e) f( ln e 2 ( 1 6 7. (2)令 4x 得 x 0 或 x 2 ， - 8 - S 20(4x 28 4 4，故选 D. 思维升华 (1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数 (2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出 错误 !未找到引用源。 (1)计算定积分 10( x x2)_. (2)如图，阴影部分的面积是 ( ) 错误 !未找到引用源。 A 2 3 B 9 2 3 案 (1)13 (2)C 解析 (1)10( x x2)(23 1310 23 13 13. (2)由题图，可知阴影部分面积为 1 3(3 2x)(3x 131 3 (3 13 1) ( 9 9 9) 323. 1函数单调性的应用 (1)若可导函数 f(x)在 (a， b)上单调递增，则 f( x)0 在区间 (a， b)上恒成立； (2)若可导函数 f(x)在 (a， b)上单调递减，则 f( x)0 在区间 (a， b)上恒成立； (3)可导函数 f(x)在区间 (a， b)上为增函数是 f( x)0 的必要不充分条件 2可导函数极值的理解 (1)函数在定义域 上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数 f(x)， “ f(x)在 x f( x) 0” 是 “ f(x)在 x 的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 3利用导数解决优化问题的步骤 (1)审题设未知数； (2)结合题意列出函数关系式； (3)确定函数的定义域； (4
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