【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题训练六 解析几何（打包3套）理
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【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题训练六 解析几何（打包3套）理,步步高,广东,专用,高考,数学,二轮,复习,温习,专题,训练,解析几何,打包
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- 1 - 第 1 讲 直线与圆 考情解读 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系 (特别是弦长问题 )，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识 1直线方程的五种形式 (1)点斜式： y k(x 直线过点 P1(且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线 ) (2)斜截式： y b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线 ) (3)两点式： y x 线过点 P1( P2(且 包括坐标轴和 平行于坐标轴的直线 ) (4)截距式： 1(a、 b 分别为直线的横、纵截距，且 a0 ， b0 ，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线 ) (5)一般式： C 0(其中 A， B 不同时为 0) 2直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 (1)两直线平行 l2(2)两直线垂直 l2 1. 提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略 3三种距离公式 (1)A( B(点间的距离： | . (2)点到直线的距离： d |C|其中点 P(直线方程： C 0) (3)两平行线间的距离： d |2 中两平行线方程分别为 0， y 0) 提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x， y 的系数应对应相等 4圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程： (x a)2 (y b)2 - 2 - (2)圆的一般方程： F 0(4F0) 5直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法 (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法 . 热点一 直线的方程及应用 例 1 (1)过点 (5,2)，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 ( ) A 2x y 12 0 B 2x y 12 0 或 2x 5y 0 C x 2y 1 0 D x 2y 1 0 或 2x 5y 0 (2)“ m 1” 是 “ 直线 x y 0 和直线 x 0 互相垂直 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 思维启迪 (1)不要忽略直线过原点的情况； (2)分别 考虑充分性和必要性 答案 (1)B (2)C 解析 (1)当直线过原点时方程为 2x 5y 0，不过原点时，可设出其截距式为 1，再由过点 (5,2)即可解出 2x y 12 0. (2)因为 m 1 时，两直线方程分别是 x y 0 和 x y 0，两直线的斜率分别是 1 和 1，两直线垂直，所以充分性成立；当直线 x y 0 和直线 x 0 互相垂直时，有 11 ( 1) m 0，所以 m 1，所以必要性成立故选 C. 思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性点斜式 、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线 (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即 “ 斜率相等 ” 或 “ 互为负倒数 ” 若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究 已知 A(3,1)， B( 1,2)，若 平分线方程为 y x 1，则 在的直线方程为 ( ) A y 2x 4 - 3 - B y 12x 3 C x 2y 1 0 D 3x y 1 0 答案 C 解析 由题意可知，直线 直线 于直线 y x 1 对称设点 B( 1,2)关于直线 y x 1 的对称点为 B( 则有 21 122 12 1 10 ，即 B(1,0) 因为B(1 ,0)在直线 ，所以直线 斜率为 k 1 03 1 12， 所以直线 方程为 y 1 12(x 3)， 即 x 2y 1 正确 热点二 圆的方程及应用 例 2 (1)若圆 C 经过 (1,0)， (3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为 ( ) A (x 2)2 (y2) 2 3 B (x 2)2 (y 3)2 3 C (x 2)2 (y2) 2 4 D (x 2)2 (y 3)2 4 (2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 x 2 的右侧，若圆 M 截直线 3，且与直线 2x 5y 4 0 相切，则圆 M 的方程为 ( ) A (x 1)2 4 B (x 1)2 4 C (y 1)2 4 D (y 1)2 4 思维启迪 (1)确定圆心在直线 x 2 上，然后待定系数法求方程； (2)根据弦长为 2 3及圆与 答案 (1)D (2)B 解析 (1)因为圆 C 经过 (1,0)， (3,0)两点，所以圆心在直线 x 2 上，又圆与 y 轴相切，所以半径 r 2，设圆心坐标为 (2， b)，则 (2 1)2 4， 3， b 3，所以选 D. (2)由已知，可设圆 a,0)， a 2，半径为 r，得 a 2 3 2 2a 4|4 5 r， - 4 - 解得满足条件的一组解为 a 1，r 2， 所以圆 M 的方程为 (x 1)2 . 思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式解决与圆有关的问题一般有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系 ，进而求得圆的基本量和方程； (2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数 (1)已知圆 C： (y 3)2 4，过点 A( 1,0)的直线 l 与圆 C 相交于 P、 Q 两点，若 | 2 3，则直线 l 的方程为 ( ) A x 1 或 4x 3y 4 0 B x 1 或 4x 3y 4 0 C x 1 或 4x 3y 4 0 D x 1 或 4x 3y 4 0 (2)已知圆 C 的圆心与抛物线 4x 的焦点关于直线 y x 对称，直线 4x 3y 2 0 与圆 C 相交于 A， B 两点，且 | 6，则圆 C 的方程为 _ 答案 (1)B (2)(y 1)2 10 解析 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x 1 符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y k(x 1)，线段 中点为 M，由于 |2 3， 易得 | 1. 又 | | 3 k|1 1，解得 k 43，此时直线 l 的方程为 y 43(x 1)故所求直线 l 的方程为 x 1 或 4x 3y 4 . (2)设所求圆的半径是 r，依题意得，抛物线 4x 的焦点坐标是 (1,0)，则圆 C 的圆心坐标是 (0,1)，圆心到直线 4x 3y 2 0 的距离 d |40 31 2|42 2 1，则 (| )2 10，故圆 C 的方程是 (y 1)2 10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 例 3 如图，在平面直角坐标系 ，点 A(0,3)，直线 l： y 2x 的半径为 1，圆心在 l 上 (1)若圆心 C 也在直线 y x 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； (2)若圆 C 上存在点 M，使 | 2|求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 思维启迪 (1)先求出圆 C 的圆心坐标 ，再利用几何法求出切线斜率； (2)将 | 2|为 - 5 - M 点坐标满足的条件后，可知点 M 是两圆的交点 解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y 2x 4 和直线 y x 1 的交点，解得点 C(3,2)， 于是切线的斜率必存在 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y 3， 由题意， |3k 1|1 1，解得 k 0 或 34， 故所求切线方程为 y 3 或 3x 4y 12 0. (2)因为圆心在直线 y 2x 4 上， 所以圆 C 的方程为 (x a)2 y 2(a 2)2 1. 设点 M(x， y)，因为 | 2| 所以 y 2 2 化简得 2y 3 0，即 (y 1)2 4， 所以圆心 M 在以 D(0， 1)为圆心， 2 为半径的圆上 由题意，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点， 则 2 1| 2 1， 即 1 a 23. 由 512a 80 ，得 a R； 由 512a0 ，得 0 a 125. 所以圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围为 0， 125 . 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较 (2)直线与圆相切时利用 “ 切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径 ” 建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理 (1)(2014 重庆 )已知直线 y 2 0 与圆心为 C 的圆 (x 1)2 (y a)2 4 相交于 A， B 两点，且 等边三角形，则实数 a _. (2)两个圆 24 0(a R)与 21 0(b R)恰有三条公切线，则 a b 的最小值为 ( ) A 6 B 3 C 3 2 D 3 答案 (1)4 15 (2)C 解析 圆心 C(1， a)到直线 y 2 0 的距离为 |a a 2|1 等边三角形，所以 - 6 - | | 2，所以 (|a a 2|1 )2 12 22，解得 a 4 15. (2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆 (x a)2 4， 圆 (y b)2 1， 所以 | 2 1 3， 即 9. 由 (a 2 得 (a b)218 ，所以 3 2 a b3 2，当且仅当 “ a b” 时取“ ” 所以选 C. 1由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可 能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况 2确定圆的方程时，常用到圆的几个性质： (1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形 (半弦长，弦心距，圆半径 )； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上； (4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称 3直线与圆中常见的最值问题 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最 值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题 4过两圆 0， 0 的交点的圆系方程为 ( 0. 5两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程 . 真题感悟 1 (2014 江苏 )在平面直角坐标系 ，直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2)2 (y 1)2 4 截得的弦长为 _ - 7 - 答案 2 555 解析 圆心为 (2， 1)，半径 r 2. 圆心到直线 的距离 d |2 3|1 4 3 55 ， 所以弦长为 2 2 22 3 55 2 2 555 . 2 (2014 课标全国 ) 设点 M()，若在圆 O： 1 上存在点 N，使得 45 ，则 _ 答案 1,1 解析 如图，过点 M 作 O 的切线， 切点为 N，连接 M 点的纵坐标为 1， O 相切于点 N. 设 ，则 45 ， 即 22 ， 即 22 . 而 1， 2. M 为 ()， 1 2， ， 1 ， 1,1 押题精练 1在直角坐标系 ，已知 A( 1,0)， B(0,1)，则满足 | | 4 且在圆 4上的点 P 的个数为 _ 答案 2 解析 设 P(x， y)，则由 | | 4， 得 (x 1)2 (y 1)2 4， x y 2， 满足条件的点 P 的个数转化为直线 x y 2 和圆 4 的交点个数， |0 0 2|2 20)上有且只有两个点到直线 x y 2 0 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是 _ 答案 ( 2 1， 2 1) 解析 注意到与直线 x y 2 0 平行且距离为 1 的直线方程分别是 x y 2 2 0 和 x y 2 2 0，要使圆上有且只有两个点 到直线 x y 2 0 的距离为 1，需满足在两条直线 x y 2 2 0 和 x y 2 2 0 中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以 | 2 2|20 . 5动圆 C 经过点 F(1,0)，并且与直线 x 1 相切，若动圆 C 与直线 y x 2 2 1 总有公共点，则圆 C 的面积 ( ) A有最大值 8 B有最小值 2 C有最小值 3 D有最小值 4 答案 D 解析 设圆心为 (a， b)，半径为 r， r | |a 1|， 即 (a 1)2 (a 1)2，即 a 14 - 10 - 圆心为 (14b)， r 141， 圆心到直线 y x 2 2 1 的距离为 d|b 2 2 1|2 1， b 2(2 2 3)或 b2 ， 当 b 2 时， 144 1 2， 4. 6设 P 为直线 3x 4y 3 0 上的动点，过点 P 作圆 C： 2x 2y 1 0 的两条切线，切点分别为 A， B，则四边形 面积的最小值为 ( ) A 1 B. 32 C 2 3 D. 3 答案 D 解析 依题意，圆 C： (x 1)2 (y 1)2 1 的圆心是点 C(1,1)，半径是 1，易知 |最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x 4y 3 0 的距离，即 105 2，而四边形 面积等于 2S 2( 12| | | | 1，因此四边形 面积的最小值是22 1 3，故选 D. 二、填空题 7已知直线 2y 0 相切，且与直线 3x 4y 6 0 平行，则直线 _ 答案 3x 4y 1 0 或 3x 4y 9 0 解析 依题意，设所求直线 x 4y b 0，则由直线 (y 1)2 1 相切，可得圆心 (0， 1)到直线 3x 4y b 0 的距离为 1，即有 |b 4|5 1，解得 b 1 或 b 线 x 4y 1 0 或 3x 4y 9 0. 8 (2014 湖北 )直线 y x a 和 y x b 将单位圆 C： 1 分成长度相等的四段弧，则 _. 答案 2 解析 依题意，不妨设直线 y x a 与单位圆相交于 A， B 两点， 则 90. 如图，此时 a 1， b 1， 满足题意， - 11 - 所以 2. 9 (2013 湖北 )已知圆 O： 5，直线 l： 1(00)关于直线 x y 2 0 对称，求圆 C 的方程 解 (1)根据题意可 设圆心 (a,0)，则 1 01 a 1a 2，即圆心为 (2,0)，半径 r 2 2 2，则所求圆的方程为 (x 2)2 2. (2)设圆心为 C(a， b)，则 a 22 b 22 2 0，b 2a 2 1，所以 a 0，b 0， 又 P(1,1)在圆上， 所以 圆 C 的方程为 2. 12已知圆 M 的方程为 2x 2y 6 0，以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切 (1)求圆 O 的方程； - 12 - (2)圆 O 与 x 轴交于 E， F 两点，圆 O 内的动点 D 使得 | | |等比数列，求 取值范围 解 (1)圆 M 的方程可整理为 (x 1)2 (y 1)2 8， 故圆心 M(1,1)，半径 R 2 2. 圆 O 的圆心为 O(0,0)， 因为 | 2 m0,1 成立， 即 25. 故 C 的半径 r 的取值范围为 103 ， 4 105 ) - 1 - 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 考情解读 空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质 (特别是离心率 )，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题 解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置 关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 | | 2a (2a | | | 2a (2a | | |点 F 不在直线 l 上， l 于 M 标准方程 1 (a b 0) 1 (a 0， b 0) 2p 0) 图形 几何性质 范围 |x| a， |y| b |x| a x0 顶点 ( a,0)(0， b) ( a,0) (0,0) 对称性 关于 x 轴， y 轴和原点对称 关于 x 轴对称 焦点 ( c,0) (0) 轴 长轴长 2a，短轴长 2b 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e 1 e 1) e1e 1) e 1 准线 x 近线 y - 2 - 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例 1 若椭圆 C： 1 的焦点为 P 在椭圆 C 上，且 | 4 则 ) A 30 B 60 C 120 D 150 (2)已知抛物线 2py(p0)的焦点与双曲线 12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点 P 到 x 轴的距离为 m， P 到直线 l： 2x y 4 0 的距离为 n，则 m n 的最小值为 _ 思维启迪 (1) (2)根据抛物线定义得 m | 答案 (1)C (2) 5 1 解析 (1)由题意得 a 3， c 7，所以 | 2. 在 由余弦定理可得 42 22 7 2242 12. 又因为 0 ， 180) ，所以 120. (2)易知 2py(p0)的焦点为 F(0,1)，故 p 2， 因此抛物线方程为 4y. 根据抛物线的定义可知 m | 1， 设 | n(H 为点 P 到直线 l 所作垂线的垂足 )， 因此 m n | 1 | 易知当 F， P， H 三点共线时 m n 最小， 因此其最小值为 | 1 | 1 4|5 1 5 1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求 | | |双曲线的定义中要求 | | |抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化 (2)注意数形结合，画出合理草图 (1)已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为32 1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 ( ) 1 1 - 3 - 1 1 (2)如图，过抛物线 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B，交其准线 l 于点 C，若 | 2|且 | 3，则此抛物线的方程为 ( ) A 9x B 6x C 3x D 3x 答案 (1)D (2)C 解析 (1) 椭圆的离心率为 32 ， 32 ， a 2b. 椭圆方程为 44 双曲线 1 的渐近线方程为 x y 0， 渐近线 x y 0 与椭圆 44 2 55 b， 2 55 b ， 由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 2 55 b 2 55 b 4， 5， 420. 椭圆 C 的方程为 1. (2)如图，分别过 A， B 作 l 于 l 于 抛物线的定义知，| | | | | 2| | 2| 30 ， 60. 连接 等边三角形， 过 F 作 1，则 设 l 交 x 轴于 N，则 | | 12| 12|即 p 32， 抛物线方程为 3x，故选C. 热点二 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)已知离心率为 e 的双曲线和离心率为 22 的椭圆有相同的焦点 P 是两曲线的一个公共点，若 3 ，则 e 等于 ( ) A. 52 C. 62 D 3 (2)设 1 (ab0)的左，右焦点，若在直线 x，使线段 - 4 - 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ( ) A. 0， 22 B. 0， 33 C. 22 ， 1 D. 33 ， 1 思维启迪 (1)在 利用余 弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元； (2)可设点P 坐标为 (y)，考察 y 存在的条件 答案 (1)C (2)D 解析 (1)设椭圆的长半轴长为 曲线的实半轴长为 距为 2c， | m， | n，且不妨设 mn，由 m n 2m n 2m n 又 3 ， 4 3 4，即1222 34，解得 e 62 ，故选 C. (2)设 P y ，线段 中点 Q 的坐标为 当212 由12 1，得 c2 ， 但注意到 2 ，即 2， 即 3， 即 3， 故 33 0， b0)的右焦点为 F，以 直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、 B，若 ( ) 0，则双曲线的离心率 e 为 ( ) A 2 B 3 C. 2 D. 3 (2)(2014 课标全国 ) 已知 F 为双曲线 C： 3m(m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ( ) A. 3 B 3 C. 3m D 3m 答案 (1)C (2)A 解析 (1)设 中点为 C，则 2，由题意得， 2 0， 又 90 ， 45 ， 即双曲线的渐近线的倾斜角为 45 ， 5 1， 则双曲线的离心率 e 1 2，故选 C. (2)双曲线 C 的标准方程为 1(m0)，其渐近线方程为 y 33mm x，即 x，不妨选取右焦点 F( 3m 3， 0)到其中一条渐近线 x 0的距离求解，得 d 3m 31 m . 热点三 直线与圆锥曲线 例 3 过椭圆 1(ab0)的左顶点 A 作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为 B，与y 轴的交点为 C，已知 613. (1)求椭圆的离心率； (2)设动直线 y m 与椭圆 有且只有一个公共点 P，且与直线 x 4 相交于点 Q，若 x 轴上存在一定点 M(1,0)，使得 椭圆的方程 思维启迪 (1)根据 613和点 B 在椭圆上列关于 a、 b 的方程； (2)联立直线 y m 与 - 6 - 椭圆方程，利用 0， 0 求解 解 (1) A( a,0)，设直线方程为 y 2(x a)， B( 令 x 0，则 y 2a， C(0,2a)， (a， ( a 613， a 613( 613(2a 整理得 1319a， 1219a， 点 B 在椭圆 上， ( 1319)2 (1219)2 1， 4， 34，即 1 34， e12. (2) 4，可设 3t， 4t， 椭圆的方程为 3412t 0， 由 3412t 0y m ，得 (3 4k2)8412t 0， 动直线 y m 与椭圆有且只有一个公共点 P， 0，即 644(3 4412t) 0， 整理得 3t 4 设 P(有 84 44 m 34 P( 4434 又 M(1,0)， Q(4,4k m)， x 轴上存在一定点 M(1,0)，使得 (1 44 34( 3， (4k m) 0 恒成立， 整理得 3 43 43t 4成立，故 t 1. 椭圆的方程为 1. 思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联 - 7 - 立方程， 解方程组或利用 弦长公式等 简化计算；涉及中点弦问题时，也可用 “ 点差法 ” 求解 错误 !未找到引用源。 在平面直角坐标系 ，动点 P 到两点 ( 3， 0)， ( 3， 0)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为曲线 C，直线 l 过点 E( 1,0)且与曲线 C 交于 A， B 两点 (1)求曲线 C 的轨迹方程； (2)求 积的最大值 解 (1)由椭圆定义可 知，点 P 的轨迹 C 是以 ( 3， 0)， ( 3， 0)为焦点，长半轴长为 2 的椭圆， 故曲线 C 的方程为 1. (2)因为直线 l 过点 E( 1,0)， 可设直线 l 的方程为 x 1 或 y 0(舍 )， 则 1，x 1，整理得 (4)23 0. 由 ( 2m)2 12(4)0. 设 A( B( 解得 m 2 34 ， m 2 34 . 则 | 4 34 . 因为 S 12| 2 34 23 13. 设 g(t) t 1t， t 3， t 3. 则 g(t)在区间 3， ) 上为增函数， 所以 g(t) 4 33 . 所以 S 32 ，当且仅当 m 0 时取等号 所以 S 2 . - 8 - 1对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础 2椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 1，其中 A、 B 是不等的常数， AB0 时，表示焦点在 y 轴上的椭 圆； BA0 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆； 焦点弦， F 为抛物线的焦点， A( B( (1) (2)| p 2 为弦 倾斜角 )； (3)S ； (4) 1| 1|定值 2p； (5)以 直径的圆与抛物线的准线相切 真题感悟 1 (2013 广东 )已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等 于 32，则 C 的方程是 ( ) 1 1 1 1 - 9 - 答案 B 解析 由题意知： c 3， e 32， a 9 4 5，故所求双曲线方程为 . 2 (2014 辽宁 )已知点 A( 2,3)在抛物线 C： 2准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 斜率为 ( ) 案 D 解析 抛物线 2准线为直线 x 点 A( 2,3)在准线上，所以 2，即 p 4，从而 C： 8x，焦点为 F(2,0)设切线方程为 y 3 k(x 2)，代入 8x 得 y 2k 3 0(k0) ，由于 1 4 k 3) 0，所以 k 2 或 k 12. 因为切点在第一象限， 所以 k 12. 将 k 12代入 中，得 y 8，再代入 8x 中得 x 8， 所以点 B 的坐标为 (8,8)， 所以直线 斜率为 43. 押题精练 1已知抛物线 2焦点 F 与双曲线 1 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且 | 2|则 面积为 ( ) A 4 B 8 C 16 D 32 答案 D 解析 F(0)，双曲线 1 的右焦点为 (4,0)， 4， p 8， 抛物线方程为 16x， K( 4,0)，设 A(x， y)， | 2|(x 4)2 2(x 4)2 2得 24x 16 0，与 16x 联立，解得 x 4， y 8 ， - 10 - 面积为 32. 2设椭圆 1(ab0)的左 、右顶点分别为 A、 B，点 P 在椭圆上且异于 A、 B 两点， O 为坐标原点 (1)若直线 斜率之积为 12，求椭圆的离心率； (2)若 | |证明：直线 斜率 k 满足 |k| 3. (1)解 设点 P 的坐标为 ( . 由题意，有 1. 由 A( a,0)， B(a,0)，得 a， a. 由 12，可得 2 代入 并整理得 (2b2)0. 由于 ，故 12，所以椭圆的离心率 e22 . (2)证明 方法一 依题意，直线 方程为 y 点 P 的坐标为 (由条件得 由 | | A( a,0)及 得 (a)2 整理得 (1 k2)20. 而 ，于是 2 代入 ，整理得 (1 4 4. 又 ab0，故 (1 44，即 14， 因此 ，所以 |k| 3. 方法二 依题意，直线 方程为 y 设点 P 的坐标为 ( 由点 P 在椭圆上，有 1. 因为 ab0， ， - 11 - 所以 ， 所以 |k| 3. (推荐时间： 60 分钟 ) 一、选择题 1已知椭圆 1(00， b0)以及双曲线1 的渐近线将第一象限三等分，则双曲线 1 的离心率为 ( ) A 2 或 2 33 B. 6或 2 33 C 2 或 3 D. 3或 6 答案 A 解析 由题意，可知双曲线 1 的渐近线的倾斜角为 30 或 60 ，则3 或 3. 则 e 12 33 或 2. 故选 A. - 12 - 3已知双曲线 1(a0， b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) 1 1 C. 1 1 答案 B 解析 由双曲线 1(a0， b0)的一条渐近线方程是 y 3x，可设双曲线的方程为 x2 ( 0) 因为双曲线 1(a0， b0)的一个焦点在抛物线 24x 的准线上，所以 F( 6,0)是双曲线的左焦点，即 3 36， 9，所以双曲线的方程为 . 4已知椭圆 1 (ab0)， A(4,0)为长轴的一个端点，弦 椭圆的中心 O，且 0， | | 2| |，则其焦距为 ( ) 3 3 3 3 答案 C 解析 由题意，可知 | | 12|，且 a 4， 又 | | 2| |， 所以， | 2| |. 又 0，所以 . 故 等腰直角三角形， | | 2 2. 不妨设点 C 在第一象限，则点 C 的坐标为 (2,2)，代入椭圆的方程，得 2242221，解得 163. 所以 42 163 323 ， c 4 63 . 故其焦距为 2c 8 63 . - 13 - 5设 F 为抛物线 C： 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A， B 两点， O 为坐标原点，则 面积为 ( ) 4 8 案 D 解析 由已知得焦点坐标为 F(34， 0)， 因此直线 方程为 y 33 (x 34)， 即 4x 4 3y 3 0. 方法一 联立抛物线方程，化简得 412 3y 9 0， 则 B 3 362 ， 故 | 46. 因此 S 12| 12 346 94. 方法二 联立方程得 212x 916 0， 则 274 ， 154 ， 故 212 . 根据抛物线的定义有 | p 212 32 12， 同时原点到直线 距离为 h | 3|42 4 3 2 38， 因此 S 12| h 94. 6椭圆 M： 1(ab0)的左、右焦点分别为 P 为椭圆 M 上任一点，且 1 2的最大值的取值范围是 其中 c 椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是 ( ) A 14， 12 B 12， 22 C ( 22 ， 1) D 12， 1) 答案 B - 14 - 解析 设 P(x， y)， c,0)， F2(c,0)， 则 ( c x， y)， (c x， y)， 又 (x， y)到原点的距离的平方， 所以 (y2)以 ( ) 所以 14 12， 所以 12 e 22 . 二、填空题 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 1 的长轴端点、焦点，则双曲线 C 的渐近线方程是 _ 答案 4x3 y 0 解析 椭圆 1 的长轴端点为 (5,0) 、焦点为 (3,0) ，所以双曲线的焦点为 ( 5,0)，实轴端点为 (3,0) ，设双曲线的方程为 1，即 c 5， a 3， b 4，所以渐近线方程为：y 43x，即 4x3 y 0. 8已知点 P(0,2)，抛物线 C： 2px(p0)的焦点为 F，线段 抛物线 C 的交点为 M，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为 Q，若 90 ，则 p _. 答案 2 解析 由抛物线的定义可得 | | F(0)，又 M 为线段 中点，所以M(1)，把 M(1)，代入抛物线 2px(p0)得， 1 2p 解得 p 2，故答案为 2. 9抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 与双曲线 1 的右焦点重合，过点 P(2,0)且斜率为 1的直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，则弦 中点到抛物线准线的距离为 _ 答案 11 解析 因为双曲 线 1 的右焦点坐标是 (3,0) 所以 3，所以 p 6. - 15 - 即抛物线的标准方程为 12x. 设过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y x 2， 联立 12x 消去 y 可得 16x 4 0，设 A( B( 82 5， 则 16， 所以弦 中点到抛物线准线的距离为 16 62 1. 10已知 1(a0， b0)的左，右焦点，点 P 在双曲线上且不与顶点重合，过 足为 b，则该双曲线的离心率为 _ 答案 2 解析 延长 点，则 | | 依题意可得 | | | 2a. 又因为点 A 是 所以得到 | 12|所以 b a. 所以 c . 三、解答题 11已知曲线 (x， y)满足到定点 A( 1,0)的距离与到定点 B(1,0)的距离之比为 2. (1)求曲线 C 的方程； (2)过点 M(1,2)的直线 l 与曲线 C 交于两点 M、 N，若 | 4，求直线 l 的方程 解 (1)由题意得 | 2|故 x 2 2 x 2 简得： 6x 1 0(或 (x 3)2 8)即为所求 (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1. 将 x 1 代入方程 6x 1 0 得 y 2 ， 所以 | 4，满足题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k 2， 由圆心到直线的距离 d 2 |3k k 2|1 解得 k 0，此时直线 l 的方程为 y 2. 综上所述，满足题意的直线 l 的方程为 x 1 或 y 2. 12如图，在平面直角坐标系 ，点 P(a， b)(ab0)为动点， - 16 - 1 的左，右焦点已知 (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 ， B 两点， M 是直线 足 2，求点 M 的轨迹方程 解 (1)设 c,0)， F2(c,0)(c0)， 由题意，可得 | |即 a c 2 2c， 整理得 2( 1 0，得 1(舍 )或 12，所以 e 12. (2)由 (1)知 a 2c， b 3c， 可得椭圆方程为 3412直线 y 3(x c) 所以 A， B 两点的坐标满足方程组 3412c2，y 3 x c ， 消去 y 并整理，得 580， 解得 0， 85c， 得方程组的解 0， 3c， 85c，3 35 c，不妨设 A(85c， 3 35 c)， B(0， 3c)， M 的坐标为 (x， y)， 则 (x 85c， y 3 35 c)， (x， y 3c)， 由 y 3(x c)，得 c x 33 y， 于是 (8 315 y 35x， 85y 3 35 x)， (x， 3x)， 由 2， 得 (8 315 y 35x) x (85y 3 35 x) 3x 2， 化简得 1816 315 0， - 17 - 将 y 181516 3x 代入 c x33 y， 得 c 10516x ， 由 c0，得 x0. 因此，点 M 的轨迹方程是 1816 315 0(x0) 13 (2013 北京 )已知 A， B， C 是椭圆 W： 1 上的三个点， O 是坐标原点 (1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 菱形时，求此菱形的面积； (2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 否可能为菱形，并说明理由 解 (1)由椭圆 W： 1，知 B(2,0) 线段 垂直平分线 x 1. 在菱形 ， 将 x 1 代入 1，得 y 32 . | | 3. 菱形的面积 S 12| 122 3 3. (2)假设四边形 菱形 点 B 不是 W 的顶点，且直线 过原点， 可设 方程为 y m(k0 ， m0) 由 44，y m 消 y 并整理得 (1 4k2)844 0. 设 A( C(则 44k2， k m4 线段 点 M 444 M 为 点， 14k. 又 k 14k 14 1， 垂直 - 18 - 是菱形，这与假设矛盾 综上，四边形 是菱形 - 1 - 第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题 考情解读 往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大 轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般 用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第 (1)问中 1直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0 时，直线与双曲线相交；当 0 时，直线与双曲线相切；当 b0)的一个顶点， 2： 4 的直径 且互相垂直的两条直线，其中 2于 A， B 两点， 1于另一点D. (1)求椭圆 (2)求 积取最大值时直线 思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆 (2)设直线 k，将 面积表示为关于 k 的函数 解 (1)由题意得 b 1，a 2. 所以椭圆 1. (2)设 A( B( D( 由题意知直线 妨设其为 k， 则直线 y 1. 又圆 4， 故点 O 到直线 - 3 - d 11， 所以 | 2 4 2 431 . 又 直线 x k 0. 由 x k 0，44. 消去 y，整理得 (4 k2)80， 故 8所以 | 8 14 设 面积为 S， 则 S 12| 8 434 所以 S 3243 1343 322 43 1343 16 1313 ， 当且仅当 k 102 时取等号 所以所求直线 y 102 x 1. 思维升华 求最值及参数范围的方法有两种： 根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式 (即为消元 )，然后求解不等式； 由题 目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域 已知椭圆 C 的左，右焦点分别为 圆的离心率为 12，且椭圆经过点 P(1，32) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)线段 椭圆过点 ，求 切圆面积最大时实数 的 值 解 (1)e 12， P(1， 32)满足 122 1， 又 4， 3， 椭圆标准方程为 1. - 4 - (2)显然直线 与 x 轴重合， 当直线 x 轴垂直时， | 3， | 2， S 3； 当直线 与 x 轴垂直时，设直线 y k(x 1)， k0 代入椭圆 C 的标准方程， 整理，得 (3 4k2)690， 则 3k 6 4 3k 6 4 S 12| | 12 4， 令 t 3 4 t3， t 34 ， S 3 1t 13 2 43， 00. 得 2 32642 则 8 2 x 轴是 角平分线， 1 1， 即 y1(1) y2(1) 0， (b)(1) (b)(1) 0， 2(b k)( 2b 0 将 代入 得 2(k b)(8 2 20， k b，此时 0， 直线 l 的方程为 y k(x 1)，即直线 l 过定点 (1,0) 思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的 (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y k(x 则直线必过定点 (x0，若得到了直线方程的斜截式： y m，则直线必过定点 (0， m) 已知椭圆 C 的中点在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 12，它的一个顶点恰好是抛物线 8 3y 的焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(2,3)， Q(2， 3)在椭圆上，点 A、 B 是椭圆上不同的两个动点，且满足 问直线 斜率是否为定值，请说明理由 - 6 - 解 (1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0)， 则 b 2 3.由 12， a 4， 椭圆 C 的方程为 1. (2)当 ， 斜率之和为 0， 设直线 斜率为 k， 则 斜率为 k， 直线方程为 y 3 k(x 2)， 由 y 3 k x ，1，整理得 (3 4k2)8(3 2k)4(3 2k)2 48 0， 2 k 4 同理 直线方程为 y 3 k(x 2)， 可得 2 8k 2k3 4 8k k3 4 16123 4 484 k 3 k 3k 412， 直线 斜率为定值 12. 热点三 圆锥曲线中的探索性问题 例 3 已知椭圆 物线 x 轴上， 2的顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中： x 3 2 4 2 y 2 3 0 4 22 (1)求 - 7 - (2)是否存在直线 l 满足条件： 过 ； 与 ， N，且满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知， 方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求 (2) 联立方程，转化已知条件进行求解 . 解 (1)设抛物线 2px(p0) ， 则有 2p(x0) ， 据此验证四个点知 (3， 2 3)， (4， 4)在 易求得 4x. 设椭圆 1(ab0)， 把点 ( 2,0)， ( 2， 22 )代入得 41221， 解得 41 ，所以 1. (2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y k(x 1)， 与 ( N( 由 1y k x消去 y 并整理得 (1 4k2)84(1) 0， 于是 864 4k2 4 则 84 4 11 4 所以 k2(1)(1) k2( 1 11 44134 - 8 - 由 ， 即 0， 得 0.(*) 将 代入 (*)式，得 434k241 40， 解得 k 2 ，所以存在直线 l 满足条件， 且直线 l 的方程为 2x y 2 0 或 2x y 2 0. 思维升华 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于 “ 存在 ” 或 “ 不存在 ” 的问题，直接用条件证明或采用反证法证明解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解 决问题的能力 错误 !未找到引用源。 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在平行于 直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 l 的距离等于4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 解 方法一 (1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 1(ab0)，且可知其左焦点为 F( 2,0) 从而有 c 2，2a | | 3 5 8， 解得 c 2，a 4. 又 以 12， 故椭圆 C 的方程为 1. (2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y 32x t. 由 y 32x t，1，得 3312 0. 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点，所以 (3t)2 43( 12)0 ，解得 4 3 t4 3. 另一方面，由直线 l 的距离 d 4，得 |t|94 1 4，解得 t 2 2 13 4 3，4 3， 所以符合题意的直线 l 不存在 - 9 - 方法二 (1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 1(ab0)， 且有 41，12， 3(舍去 ) 从而 的方程为 1. (2)同方法一 1圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参 数之间建立等量关系； 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 利用基本不等式求出参数的取值范围； 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 2定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果 3探索性问题的解法 探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则 会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可 . 真题感悟 (2014 北京 )已知椭圆 C： 24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y 2 上，且 判断直线 圆2 的位置关系，并证明你的结论 - 10 - 解 (1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为 1， 所以 4， 2，从而 2. 因此 a 2， c 2. 故椭圆 C 的离心率 e 22 . (2)直线 圆 2 相切证明如下： 设点 A， B 的坐标分别为 ( (t,2)，其中 . 因为 以 0， 即 20，解得 t 2当 t 时， 入椭圆 C 的方程，得 t 2， 故直线 方程为 x 2， 圆心 O 到直线 距离 d 2. 此时直线 圆 2 相 切 当 t 时，直线 方程为 y 2 2t(x t) 即 (2)x (t)y 20. 圆心 O 到直线 距离 d |2 又 24， t 2 故 d 224 4 4 81622. 此时直线 圆 2 相切 押题精练 已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为22 ，其左、右焦点分别是 点 于 E、 G 两点，且 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、 B，设 P 为椭圆上一点，且满足 - 11 - (O 为坐标原点 )，当 | |0，得 4. 140， b0)渐近线的距离为4 55 ，点 8x 上的一动点， P 到双曲线 C 的上焦点 ， c)的距离与到直线 x 2 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为 ( ) 1 B 1 1 1 答案 C 解析 由题意得， 抛物线 8x 的焦点 F(2,0)， 双曲线 C： 1(a0， b0)的一条渐近线的方程为 0， 抛物线 8x 的焦点 F 到双曲线 C： 1(a0， b0)渐近线的距离为4 55 ， 24 55 ， a 2b. P 到双曲线 C 的上焦点 ， c)的距离与到直线 x 2 的距离 之和的最小值为 3， | 3， 4 9， c 5， a 2b， a 2， b 1. 双曲线的方程为 1，故选 C. 4若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 最大值为 ( ) A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 设 P(则 - 14 - 1，即 33 又因为 F( 1,0)， 所以 1) 143 14(2)2 2， 又 2,2，即 2,6 ， 所以 ( )6. 5设 M(抛物线 C
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