【步步高】（江西版）2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷 理 （教师版）（打包12套）
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1 【步步高】（江西版） 2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷 01 理 （教师版） 第 一选择题：本大题共 10 小题，每小 题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【江西省临川一中 2012 届高考五月模拟考试（一）】 设集合 1 01， 1B x x a ，则 “ 1a ” 是 “ ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 【答案】 A 【解析】 1 0 = 1 0） ,若 f（ x） 4 恒成立，求实数 【 答案】 4， ) 【解析】 f(x) |x| 2|x a|2a 3x， x 0，2a x， 0 x a，3x 2a， x a可见， f(x)在 ( ， a单调递减，在 (a， ) 单调递增 当 x f(x)取最小值 a所以 ， 4， ) 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 【 2012海淀区高三年级第二学期期末练习】 已知公差不为的等差数列 n 项和为46，且1 4 13,a a （）求数列 （）求数列 1n 项和公式 . 7 【思路分析 】本小题主要 考查等差数 列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项求和的应用 . 第一问利用方程思想解决； 项相消法 的方 法求解 . （）由 21可知： 2( 3 2 1 ) 22n n n+ + ?= = +. 6分 所以 1 1 1 1 1()( 2 ) 2 2nS n n n n= = -+. 8分 所以1 2 3 11 1 1 1 1 S S + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1()2 1 3 2 4 3 5 1 1 2n n n n= - + - + - + + - + + 21 1 1 1 1 3 5()2 1 2 1 2 4 ( 1 ) ( 2 )n n n+= + - - =+ + + +. 所以数列 1n 项和为 2354 ( 1)( 2 )+. 12 分 17. 【安徽省黄山市 2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分 12分） 已知函数 23 s i n c o s c o sf x x x x m ()的图象过点 ( ,0)12M. （）求 m 的值； （）在 ，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c .若 c o s + c o s = 2 c o b C a B，求 () 解： （ ） 由 3 1 1( ) s i n 2 (1 c o s 2 ) s i n ( 2 )2 2 6 2f x x x m x m 3 分 8 因为 点 ( ,0)12M 在函数 ()以 1s i n ( 2 ) 01 2 6 2m 解得： 12m 5分 18. 【 2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 （本小题满分 12 分） 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数根据 此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 求出表中 M 、 p 及图中 a 的值； 若该校高一学生有 360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间 15,20 内的人数； 学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在 25,30 区间的学生发放价值 80 元的学习用品，对参加活动次数在 20,25 区间的学生发放价值 60 元的学习用品，对参加活动次数在 15,20 区间的学生发放价值 40元的学习用品，对参加活动次数在 10,15 区间的学生发放价值 20元的学习用品，在所取样本中，任意取出 2人，并设 X 为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求 X 的分布列与数学期望 () 【思路分析】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法 . 【解析】 由题可知 5 ， 12 m 1 又 5 1 2 1 解得 20M ， ， 2m ， 则 15,20) 组的频率与组距之比 a 为 (4分 ) 由知，参加服务次数在区间 15,20) 上的人数为 360 16人 . (6分 ) 所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为 0元、 20元、 40元、 60元，则 2 2 25 1 2 22201 0 6 6 1 7 7( 0 )1 9 0 1 9 0C C ， 分组 频数 频率 10,15) 5 15,20) 12 n 20,25) m p 25,30) 1 计 M 1 10 15 20 25 300 1 1 1 1 1 15 1 2 1 2 2 2 12206 0 2 4 2 8 6( 2 0 )1 9 0 1 9 0C C C C C ， 1 1 1 15 2 1 2 12201 0 1 2 2 2( 4 0 )1 9 0 1 9 0C C C ， 11512205( 6 0 )190. 所以 X 的分布列为： X 0 20 40 60 P 77190 86190 22190 5190 (10分 ) ( ) 0 ( 0 ) 2 0 ( 2 0 ) 4 0 ( 4 0 ) 6 0 ( 6 0 )E X P P P P 7 7 8 6 2 2 5 2 9 00 2 0 4 0 6 01 9 0 1 9 0 1 9 0 1 9 0 1 9 (12分 ) 19. 【河北省唐山市 2011 2012学年度高三年级第二次模拟 考试】 如图，在四棱锥 ， 底面 D ， 222 （ I）求证：平面 平面 （ 若二面角 3，求直线 【思路分析】本题考查面面垂直的证明，二面角和线面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。第一问要先证线面垂直，再证面面垂直；第二问利用向量法求解。 解：（） 面 面 2， 2， 2， 又 C， 面 面 平面 面 4 分 （）如图，以 、 、 分别为x 轴、 y 轴、 z 轴正向，建立空间直角坐标系，则 C(0， 0， 0)， A(1， 1， 0)， B(1， 1， 0) 设 P(0， 0， a)（ a 0）， 则 E ( 1 2 ， 1 2 ， a 2 )， 6分 (1， 1， 0)， (0， 0， a)， ( 1 2 ， 1 2 ， a 2 )， 取 m (1， 1， 0)，则 m m 0， D A C E P B x y z D A C E P B 10 设 n (x， y， z)为面 n n 0， 即 x y 0，x y 0， 取 x a， y a， z 2，则 n (a， a， 2)， 依题意， |m， n| |m n|m|n| 2 63 ，则 a 2 10分 于是 n (2， 2， 2)， (1， 1， 2) 设 直线 ， 则 |A ， n| | n|_|n| 23 ， 即直线 3 12分 20. 【广州市 2013 届高三年级 1月调研测试】 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 221 : 1 0a 的右焦点与抛物线 22 :4C y x 的焦点 F 重合 , 椭圆1 , 53 (1)求椭圆1 (2) 若过点 1,0A 的直线与椭圆1 、 N 两点，求使 F M F N F R成立的动点 R 的轨迹方程； (3) 若点 R 满足条件（ 2），点 T 是圆 2 211 上的动点，求 最大值 . (本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识 , 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能 力和创新意识 ) 11 又 1c ，且 2 2 2 2 1a b c b ， 4分 解得 224, 3. 椭圆12143. 5分 解法 2: 抛物线 22 :4C y x的焦点 F 的坐标为 1,0 ， 设点 P 的坐标为 000000. 53 2 200251 9 . 1分 点 P 在抛物线 22 :4C y x上 , 2004 解得023x , 0 263y . 点 P 的坐标为 2 2 6,33. 2分 点 P 在椭圆 221 :1上， 2248193. 3分 又 1c ，且 2 2 2 2 1a b c b ， 4分 解得 224, 3. 椭圆12143. 5分 (2)解法 1：设点 M 11, 22,N x y、 ,R x y ， 则 1 1 2 21 , , 1 , , 1 ,F M x y F N x y F R x y . 1 2 1 22,F M F N x x y y . F M F N F R, 12 1 2 1 22 1 ,x x x y y y . 6分 M 、 N 在椭圆1 2 2 2 21 1 2 21 , 1 4 3x y x y 上面两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 043x x x x y y y y . 把式代入式得 1 2 1 21 043x x x y y y . 当12，得 1212314x y . 7分 设 中点为 Q ，则 Q 的坐标为 1,22. M 、 N 、 Q 、 A 四点共线， 即 121221 312x x . 8分 把式代入式，得 3134， 化简得 224 3 4 3 0y x x . 9分 当12，可得点 R 的坐标为 3,0 ， 经检验，点 3,0R 在曲线 224 3 4 3 0y x x 上 . 动点 R 的轨迹方程为 224 3 4 3 0y x x . 10分 解法 2：当直线 斜率存在时，设直线 方程为 1y k x， 由 22 1143y k 消去 y ，得 2 2 2 23 4 8 4 1 2 0k x k x k . 设点 M 11, 22,N x y、 ,R x y ， 则 212 2834k , 13 1 2 1 2 1 2 261 1 2 34 ky y k x k x k x x k . 6分 1 1 2 21 , , 1 , , 1 ,F M x y F N x y F R x y . 1 2 1 22,F M F N x x y y . F M F N F R, 1 2 1 22 1 ,x x x y y y . 212 281 34kx x x k , 2634ky k . 7分 得 314 ， 8分 把代入化简得 224 3 4 3 0y x x . (*) 9分 当直线 斜率不存在时，设直线 方程为 1x , 依题意 , 可得点 R 的坐标为 3,0 ， 经检验，点 3,0R 在曲线 224 3 4 3 0y x x 上 . 动点 R 的轨迹方程为 224 3 4 3 0y x x . 10分 14 当 3x 时 , 4, 13 分 此时 , 4 1 5 . 21. 【原创题】 （本小题满分 14分） 已知 221( ) l n , 02f x x a x a . （ I）求函数 f（ x）的最小值； （ （ i）设 0 , : ( ) ( ) ;t a f a t f a t 证 明 （ 12( ) ( )f x f x，且12,明：122.x x a 1 【步步高】（江西版） 2013届高三数学 名校强化模拟测试卷 02 理 （教师版） 第 一选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【江西省临川一中 2012 届高三信息卷数学】 设全集 U=R,若集合 M= 32 22 N= 3则 )( = A （ 3， 2） B（ 3， 0） （， 1）（ 4， +） （ 3， 1） 2. 【四川省成都市高 2013 级（高三）一诊模拟】 如 图，在复平面内，复数 1z ，2z 对应的向量分别是 则复数12 ） 3. 【 2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试 (三） 】 已知函数 1 2 , 02 1 , 0）的焦点 、 |=2|6，则 p= 。 14.【原创题】 根据上面的程序框图，要使得输出的结果在区间 1,0上，则输入的 值范围是 _ 答案： 2， 52 解析：由程序框图可得输出值 y x 0，4 2x， x0 ， 若 y 1,0，则 1 ，x 0， 或 14 2x0 ，x0 ， 解得 2 x 52. 15. 【陕西省五校 2012届高三第三次联考】 （ 1） 圆 1 2 c o s ,:1 2 s i n , （ 为参数）的极坐标方程为 （ 2） 对于实数 , 12x ， 12y ，则 21的最大值 【答案】 6 【解析】 12x ， 12y ， 2 1 = 1 2 ( 1 ) 1 2 1 2 + 2 2 = 6 .x y x y x y 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 7 16. 【 2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试 (三 )】 已知数列 前 , = 1 , = - ( ( )n n nS a S n a n n n N (I)求数列 通项公式； (+12=n 数列 前 【思路分析】本题考查递推关系式、等差数列的通项公式以及数列的前 查学生利用基本量思想和方程思想的解题能力。利用转化，解决 递推公式为数列 的前 n 项和 通项 关 系 ： 11( 1 )( 2 )n n . 通 过 纽 带 ：1 2)n n S n （，根据题目求解特点，如需消掉用已知递推式，把 n 换成（ n+1）得到递推式，两式相减即可 需把1n n S 带入递推式即可 要注意公式1n n S 成立的条件 本题第一问利用思路一求解；第二问利用列项相消法求解 . 17. 【 改编题 】 已知函数 23 s i n c o s c o sf x x x x m ()的图象过点 ( ,0)12M 8 （ ）求 m 的值； （ ）在 ，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c 若 c o s + c o s = 2 c o b C a B， 求 () 【思路分析】本题考查三角化简、求值和不等式恒成立问题。 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到 s i n )y A x B （ 的形式，然后借助题目中给定的 定 x. 本题第二问利用正弦定理对边进行转换，再利用角的范围确定 角 。 18. 【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】 （本小题满分 12分） 决赛采用 7 战 4 胜制，即两队中有一队胜 4 场则整个比赛结束假设 2013 年总决赛在甲、乙两个球队间进行，根据以往总决赛的战绩，甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是 12，记需要比赛的场数为 X. （ I）求 求 （ 解析：（）依题意可知： 的最小值为 4. 当 4时，整个比赛只需比赛 4 场就结束，这意味着甲连胜 4 场或乙连胜 4 场，于是由互斥事件的概率计算公式可得 444 114 2 ( )28P X C . 5分 9 （）4,5,6,当5时，意味着甲在第 5场获胜，前 4场中有 3场获胜，或乙在第 5场获胜，前 4场中有 3场获胜，显然这两种情况是互斥的，所以 3 3 4 34 1 1 1 15 2 ( ) ( ) ;2 2 2 4P X C 依此可得： 3 3 5 353 3 6 361 1 1 56 2 ( ) ( ) ,2 2 2 161 1 1 57 2 ( ) ( ) ;2 2 2 16P X C 6 7 学期望1 1 5 5 934 5 6 7 16 16 16 12分 19. 【北京市朝阳区 2012届高三年级第二次综合练习】 在如图所示的几何体中，四边形 正方形， 面 /B ， = 4 , = 2 , = 1A B A E E F （ ）若点 M 在线段 ，且满足 14A, 求证： /面 （ ）求证： 面 （ ）求二面角 B D 的余弦值 【思路分析】 本题考查线面垂直、线面平行的证明、二面角等综合问题。 考查学生的空间想象能力和计 算能力 。第一问借助线面平行的判定定理证明；第二问和第三问借助空间向量法求解 . 证明：（）过 M 作 C 于 N ，连结 则 ，又 14C，所以 14B. 又 14B， 所以 ，且 N ， 所以四边形 平行四边形， 所以 平面 平面 所以 /面 4 分 E C B D M A F E D C M A F B N 10 （）因为 面 D ，故 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 -A 由已知可得 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 4 , 0 , 0 ) , ( 4 , 4 , 0 ) , ( 0 , 4 , 0 ) ,A B C D(0 , 0 , 2 ), (1 , 0 , 2 )显然 = ( 1 , 0 , 2 ) , = ( 0 , 4 , 0 ) , = ( 4 , 0 , - 2 )A F B C E B. 则 = 0 , = 0A F B C A F E B， 所以 ,A F B C A F E B. 即 ,A F B C A F E B，故 面 （）因为 所以 定平面 由已知 得， = ( 0 , 4 , 0 ) , = ( 3 , 0 , - 2 )B C F B， = ( 4, 4, 0) 9 分 因为 面 所以 C . 由已知可得 C 且 =B A ， 所以 面 故 平面 一个法向量 . 设平面 一个法向量是 ()n x,y,z . 由 0,0, 4 0,3 2 0, 即32 y x,z x,令 2x ，则 (2,2,3)n . 所以 2 1 7c o s 17, nn n C. 由题意知二面角 角， 故二面角 余弦值为 2 1717. 14 分 20. 【河北省 唐山市 2012 201 3学年度高三年级期末考试 】 设圆 ： 2 4的焦 点 与抛物线 11 （ I）求圆 （）过点 M （ 0）作圆 分别交于点 A， ， D，求经过A， B， C， 的方程 解： （）设圆 x 1)2 r 0） 将 4 (x 1)2 所以 x 1 r（舍去），或 x 1 r 圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当 1 r 0，即 r 1 故所求圆 x 1)2 1 4 分 （）设过点 M( 1， 0)与 圆 点为 T 连结 1， 2，所以 30 6分 直线 方程为 x 3y 1，与 4 4 3y 4 0 记直线与抛物线的两个交点为 A( B(则 4 3， 4， 3( 2 10 8 分 从而 垂直平分线的方程为 y 2 3 3(x 5) 令 y 0得， x 7由圆与抛物线的对称性可知圆 (7， 0) 10 分 | ( ( (1 3)( 4 8 2 又点 B 的距离 d 7 0 12 4，所以圆 (4 2)2 42 4 3 因此圆 x 7)2 48 12分 21. 【 原创题 】 已知函数 22( ) l n ( 0 )af x a x x （ ）若曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线与直线 20垂直，求实数 a 的值； （ ）讨论函数 () （ ）当 ( ,0)a 时，记函 数 ()求证： 21( ) 【思路分析】 本题考查导数的几何含义、函数的最值和函数的单调区间，考查学生利用导数B C F A D M x y O T 12 法求解函数性质的解题能力。解题时须注意求导的准确性和明确函数的定义域；本题的第一问利用导数的几何含义直接解答；求解函数的单调区间，一般方法是利用求导的思路进行解答，例如本题的第二问，需要对参数 类标准是 a 与 0的比较，注意体会分类标准是如何得到的 而借助函数的最值求解 a 的取值范围 . （ 2）当 0a 时， 因为 0x ， 由 ( ) 0 得 ( )( 2 ) 0x a x a ，解得 2 ； 由 ( ) 0 得 ( )( 2 ) 0x a x a ，解得 02 . 所以函数 () 0, 2a 上单调递减，在 2,a 上单调递增 . 9 分 （ （ ）知， 当 ( ,0)a 时，函数 () 且 22( ) ( 2 ) l n ( 2 ) 2 l n ( 2 ) 32ag a f a a a a a a . 2( ) l n ( 2 ) 3 l n ( 2 ) 22g a a a ， 令 ( ) 0 ，得 21 . 当 a 变化时， ， a 21( , e )2 211( e ,0)2 13 0 极大值 21是 () ,0) 上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是 ()最大值点 . 所以 2 2 2 21 1 1 1( e ) e l n 2 ( e ) 3 ( e )2 2 2 2最 大 值g a g 2 2 2 21 3 1e l n e e 2 . 所以， 当 ( ,0)a 时， 21( ) 立 . 14 分 1 【步步高】（江西版） 2013届高三数学 名校强化模拟测试卷 03 理 （教师版） 第 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【山西省 2012年高考考前适应性训练考试】 已知集合 1| 0| 2 则 （ ） A 01| B 10| C ,11| 0x D 11| 2. 【江西省 2013届十所重点中学第一次联考】 已知 2( ) 3 5f x a x b x a b 是偶函数，且其定义域为 6 1, ，则 （ ） A 17 B 1 C 1 D 7 3. 【天津市新华中学 2011年度第一学期第二次月考】 设5a , 25()b , 4c ，则 A. acb B. bca C. abc D. 2 4. 【改编题】 若 (0, )2， 且 14， 则 值等于 ( ) A. 22B. 33C. 2 D . 3 5. 【山西省 2012年高考考前适应性训练考试】 下列四个命题中的 假命题 为（ ） A Rx ， 1e B Rx ， 1e C 00x ， 10 D 00x ， 11 【 2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】 在正项等比数列 知1 2 3 4a a a ，4 5 6 12a a a ，11324n n na a a，则 n A. 11 B. 12 C. 14 D. 16 7. 【湖北省 武汉外国语学校 、 钟祥一中 2012 届高三 4 月联考 】 已知从点 ( 2,1) 发出的一束光线，经 x 轴反射后，反射光线恰好平分圆： 22 2 2 1 0x y x y 的圆周，则反射光线所在的 直线方程为（ ） 3 A 0123 B 0123 C 0132 D 0132 8. 【山东省济南市 2013届第 一 次模拟考试】 已知实数 , 1 2 2x y x y ，且 11y ，则 2z x y的最大值 A. 6 B. 5 C. 4 D. .【原创改编题】甲、乙两人在奥运会射箭预选赛的一次射击中各射靶 5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 差小于乙的成绩的极差 4 10. 【山西省 2012年高考考前适应性训练考试】 已知定义在 (足：),0 ,1,2),1 ,0,2)(22且 )()2( ， 252)( 方程 )()( 在区间 3上的所有实根之和为（ ） B. C. 12 D. 第卷共 2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 二。填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分。 11. 【天津一中 2012 2013 学年高三 数学一月考】曲线 1与直线 y=x和 y=3 所围成的平面图形的面积为 _. 5 12. 【 2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试 (二 ） 】 已知如下等式： 则由上述等式可归纳得到 =_( N ) 13. 【 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 (二 )】抛物线 2 4的焦点为 F ，则经过点 F 、 )4,4(M 且与抛物线的准线相切的圆的个 数为 【答案】 2 【解析】抛物线 2 4的焦点为 (1,0)F ，其准线为 过点 F 且与抛物线的准线相切，根据抛物线的定义可知圆心必落在抛物线上。 又 (1,0)F 、 )4,4(M 在圆上，并且 物线上，因直线 垂直平分线过圆心，故此时问题转化为求直线 抛物线的交点个数，即为存在 几个圆，显然直线 个交点，故满足条件的圆有 2个 14. 【 原创题 】 执行如图所示的程序框图，若输出的 6，则图中判断框内处应填 15. （ 1）【 北京市朝阳区 2012届 高 三年级第二次综合练习 】 在 平面 直角坐标系 ， 直线 l 的参数方程为 ,4（ t 为参数）以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4 2 s i n ( )4，则直线 l 和曲线 C 的公共点有 个 . （ 2） 【 改编题 】 设 ( ) | 3 | | 4 | .f x x x 若存在实数 ) 1f x ， 则 实数 . 7 【答案】 ( ， 2) 1 2 ， ) 【解析】 f(x) |x 3| |x 4|7 2x， x 3，1， 3 x4 ，2x 7， x 4作函数 y f(x)的图象， 函数 y 1 的图象是过点(0， 1)的直线当且 仅当函数 y f(x)与直线 y 有公共点时，存在题设的 x 由图象知 ， ， 2) 1 2 ， ) 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.【山东省济南市 2012届第二次模拟考试】 在 ，角 A,B,a,b,c,且满足 525A ,C =3. （ 1） 求 （ 2） 若 c=1,求 a、 17. 【 2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】 数列 n 项和是 1 12. 求数列 记 23 ，数列21的前 n 项和为明： 316. 【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列 的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧 . 3 O x y 4 1 y 1 y 1 a 1 2 a 2 8 【试题解析】 解： (1)由题 111 12 1 12 -可得1111 022n n na a a ，则1 13. (3分 ) 当 1n 时 111 12，则1 23a ，则 3为首项， 13为公比的等比数列， 因此 111 2 1 2()3 3 3na a q . (6分 ) (2) 2 233l o g l o g 3 24 ， (8 分 ) 所以21 1 1 1 1 1 1()2 2 ( 2 ) 4 ( 2 ) 8 2b n n n n n n ， (10分 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3( ) ( 1 )8 1 3 2 4 1 1 2 8 2 1 2 1 6nT n n n n n n 18. 【北京市 西城区 2012届高三下学期二模试卷】 甲、乙两人 参加某种选拔测试 在备选的 10道 题中，甲答对其中 每道题的概率都是53，乙能答对其中的 5 道 题 规定每次考试都从备选的 10道 题中随机抽出 3 道 题进行测试， 答对一题加 10分，答 错一题（不答视为答错）减 5 分，至少得 15分才能入选 （）求乙得分的分布列和数学期望； （） 求甲、乙两人 中 至少有一人入选的概率 （ ） 解：设乙答题所得分数为 X ，则 X 的可能取值为 15, 0,15, 30 1分 35310C 1( 1 5 )C 1 2 ； 2155310( 0 )C 1 2 ； 1255310( 1 5 )C 1 2 ； 35310C 1( 3 0 )C 1 2 5分 乙得分的分布列 如下： 9 X 15 0 15 30 P 121125125121 6 分 1 5 5 1 1 5( 1 5 ) 0 1 5 3 01 2 1 2 1 2 1 2 2 7分 （）由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选，记甲入选为事件 A ，乙入选为事件 B . 则 2 2 33 3 2 3 8 1( ) C ( ) ( ) ( )5 5 5 1 2 5 ， 10 分 5 1 1() 1 2 1 2 2 11分 故 甲乙两人至少有一人入选的概率 4 4 1 1 0 31 ( ) 11 2 5 2 1 2 5P P A B 12分 19. 【山东省济南市 2013届第 一 次模拟考试】 （本小题满分 12分） 如图 ,在直角梯形 ， C=12， P 的中点， E， F， C、 D 折起，使得 面 (1) 求证：平面 面 (2) 求二面角 (3) 求三棱椎 体积 . 解 (1) 证明 :方法一 : 面 1分 10 面 2分 平面 平面 面 3分 方法二：略（向量法） 20.【 江西省南昌二中 2012届高三考前最后冲刺】 设 1： 点2： (y 3)2 1的两条切线，交直线 l： y 3于 A， (1)求圆 到抛物线 (2)是否存在点 P，使线段 1在点 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【思路 分析】本题考查抛物线的定义、切线方程和探索性问题，考查学生的转化能力和计算能力 . 【解答】 (1)因为抛物线 y 14， 所以圆心 1准线的距离为 14 114. (2)设点 抛物线 处的切线交直线 ， 再设 A， B， 过点 P(抛物线 y 2x0(x 当 1时，过点 P(1,1)与圆 y 1 158(x 1)， 可得 1715， 1， 1， 当 1时， 过点 P( 1,1)与圆 B 为： y 1 158(x 1) 11 可得 1， 1715， 1， 所以 10. 设切线 y k1(x y k2(x 将 y 3分别代入 ， ， 得 32) ； x03 x03) 从而 2(3) 11 又 | 3|1 1， 即 (1)2(3)(3)2 1 0. 同理， (1)2(3)(3)2 1 0. 所以 1)2(3)(3)2 1 0的两个不相等 的根，从而 1 ， 11 .， 因为 2 所以 2(3 113即12 11 进而得 8， 4 在点 4 8， 2 2) 21. 【 2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 已知函数 32 , ( 1 )()l n , ( 1 )x a x b x x x 的 图 像 在 点 ( 2, ( 2)f处的切线方程为1 6 2 0 0 . 求实数 a 、 b 的值； 曲线 ()y f x 上存在两点 M 、 N ，使得 以坐标原点 O 为直角顶点 的直角三角形，且斜边 中点在 y 轴上，求实数 c 的取值范围； 当 时，讨论关于 x 的方程 ()f x ()kR 的实根个数 . 【思路分析】 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体 涉及到用导数来研究函数的单调性、极值 以及函数零点的情况 . 由得 32, ( 1 )()l n , ( 1 )x x x x ，根据条件 M ， N 的横坐标互为相反数，不妨 设32( , )M t t t， ( , ( )N t f t ， ( 0)t . 若 1t ，则 32()f t t t ， 由 是直角得， 0N，即 2 3 2 3 2( ) ( ) 0t t t t t ， 即 4210 若 1t ，则 ( ) t c t . 由于 中点在 y 轴上，且 90，所以 N 点不可能在 x 轴上，即 1t . 同理有 0N，即 2 3 2( ) l n 0t t t c t ， 12 1( 1) ，由于函数 1()( 1) ( 1)t的值域是 (0, ) ，实数 c 的取值范围是 (0, ) 即为所求 . (7分 ) 方程 ()f x ，即 32, ( 1 )l n , ( 1 )x x x x ，可知 0一定是方程的根， 所以仅就 0x 时进行研 究：方程等价于 2 , ( 1 0 )( 1 )x x x xk ex 且. 构造函数 2 , ( 1 0 )() ( 1 )x x x ex 且对于 10且 部分，函数 2()k x x x 的图像是开口向下的抛物线的一部分，当 12x时取得最大值 14，其值 域是 1( , 0 ) ( 0 , 4； 对于 1x 部分，函数 令2) 0e e x ，得 ， 所以函数 ()1, )e 上单调递增，在 ( , )e 上单调递减，所以 ()时取得最大值 1，其值域是 0,1 ， (1) 0k ，并且当 x 无限增大时，其图像在 x 轴上方 向右无限接近 x 轴但永远也达不到 x 轴 . (10 分 ) 因此可画出函数 () 41 /2 x ) 当 1k 时，方程 ()f x 只有唯一实根 0； 当 1k 时，方程 ()f x 有两个实根 0和 e ； 当 1 14 k时，方程 ()f x 有三个实根； 当 14k时，方程 ()f x 有四个实根； 当 104k时，方程 ()f x 有五个实根； 当 0k 时，方程 ()f x 有两个实根 0和 1； 当 0k 时，方程 ()f x 有两个实根 . (14 分 ) 1 【步步高】（江西版） 2013届高三数学 名校强化模拟测试卷 04 文 第 一选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【江西省重点中学协作体 2012届高三第二次联考】 若 Ri 2)3( ，则实数 ） A. 32 B. 23C. 3 D. 332. 【湖北省黄冈中学 2012 届高三五月模拟考试】 设集合 1,0,1M ， , 2 则使M N a 的值是 A 1 B 0 C 1 D 1或 1 3. 【湖北八校 2013 届高三第 一 次联考】 已知函数413| l o g 1 | 2 , | | 11() , | | 11x ，则( (27)（ ） D. 4 4. 【山 西 省 2012 2013 年度高三第二次诊断考试】 122等于 A 4 B 4 C 23 D 23 2 5. 【江西省八所重点高中 2012 届高三 4 月高考模拟联考】 设 n 项和，若 4 5 71 0 , 1 5 , 2 1S S S ,则7 ） A. ,7（ B. 3,4 C. 4,7 D. 3,7 6. 【原创题】 一组数据 3， 4， 5， ,，这组数据的中位数是 m,则过点 P（ ,42s t s t）和 Q（ m,m）的直线与直线 4 的位置关系是（ ） 7. 【河南省郑州市 2013届高三第 一 次质量预测】 个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主 )视图是直角三角形 ,侧 (左 )视 图是半圆， 俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是 (单位 A. 2B. 3C. 4D. 【答案】 A 【解析】依题意得知，该几何体是一个圆锥的一半（沿圆锥的轴剖开），其中该圆锥的底面半径等于 1、高等于 3，因此该几何体的体积等于211 132 3 2 ，选 A. 8. 【山东省济南市 2012届高三二模】 过双曲线 221(a0,b0)的左焦 点 F，作圆 3 2224的切线，切点为 E，延长 双曲线右支于点 P，若 双 曲线的离心率为（ ） A. 72B. 104C. 102D. 749. 【河南省郑州市 2012届高三第二次质量预测】 已知函数 31 lo x x，若 0x 是函数 = ( )y f x 的零点，且 100 ，则 1() 10. 【 2013年浙江省高考 测试卷】 设数列 ） A若 2*4,n N，则 B若 2*21,n n na a a n N ，则 C若 *2 , ,a m n N ，则 D若 *3 1 2 ,n n n na a a a n N ，则 a 为等比数列 【答案】 C 【解析】本题利用特例法，举出反例很快就能排除解出 A若 2*4,n N，我们可以假设数列 2， ，则 4 B若 2*21,n n na a a n N ，我们可以假设数列 0，则 D若 *3 1 2 ,n n n na a a a n N ，我们可以假设数列 0，则 C若 *2 , ,a m n N ，则 们可 以如下给出证明：后一项与前一项之比为： 11 2 22（常数）， *,m n N 第卷 二。填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分。 11. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中 2012届高三 4月联考】已知向量 (1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) ，若 ( ) /( 3 )k a b a b，则实数 k 的取值为 . 12. 【北京东 城区普通校 2012 2013学年高三第一学期联考】 若 0 , 0 , 2a b a b ， 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 , 成 立 的是 （写出所有正确命题的编号） 1； 2； 222； 333； 11213 【内江市 2013 届高中三年级第一次模拟考试试题】右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损。则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 5 【答案】 45【解析】 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 905x 甲；当 甲的平均成绩等于乙的平均成绩时，被污数字 a=8，即 98分，所以只有被污的分数是 99分时，乙的平均成绩才大于甲的平均成绩，当 甲的平均成绩超过乙的平均成绩时概率为 8410 5P 14. 【 湖北省黄冈中学 2012 届高三 5月模拟考试数学】试题直线 4 4 0kx y k （ ） 与抛物线 2交于 A 、 B 两点，若 | | 4，则弦 中点到直线 1 02x的距离 等于 . 15. 【 原创题 】 执行右面的程序框图，如果输入的 x 是 7，那么输出的 y 为 【答案】 解析】依题意得知，当输入的 x 是 7 时，注意到 7 2 5 3 ，且 7 2 2 3 不大于 3 ， 因此执行完题 中的程序 框图后，输出的 7 2 22 c o s 2 c o s 23y . 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16【江西省 2012届高三高考压轴数学】（ 12 分） 6 已知函 数2 1( ) 3 s i n c o s c o s 2f x x x x ， （ 1）求函数 () （ 2）设 的内角 ,对边分别 , , ,c , ( ) 0，若 ) 2 A ，求 , 【思路分析】本题考查三角函数的性质和解三角形问题，考查学生的转化能力和整体思想的解题能力 .（ 1）利用二倍角公 式和降幂公式将函数的解析式化简为“三个一”的结构形式，然后求解函数的性质；（ 2）利用第一问的结论和已知条件求解角 C，然后借助正弦定理求解三角形的边 . 17. 【云南玉溪一中 2013届第四次月考试卷】 （本题 12分）在等差数列 31a ，其前 n 项和为比数列 11b ，公比为 q ，且 1222 22. （ 1）求 （ 2）设数列 n ，求 n 项和（ 2）由（ 1）可知， 332 ， 7 所以 1 2 2 1 13 3 3 1n n n n n . 故 2 1 1 1 1 1 2 1 2113 2 2 3 1 3 1 3 1n nT n n n n . 18. 【山东省济南市 2012届第 二次模拟考试】 (本小题满分 12 分 ) 山东省体育高考方案于 2012 年 2 月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试， 某校对高三 1 班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50 分
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