【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九编 立体几何 理 课件（打包十二套）苏教版
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要点梳理 棱锥 、 棱台的表面积就是 . 圆锥 、 圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 . 各面面积之和矩形 扇形 扇环形 侧面积 与底面面积之和 空间几何体的表面积与体积 基础知识 自主学习 第九编 立体几何 柱 = ; 锥体的体积 台体的体积 （ S + +S） h. = ； 体积 V= . 131 4 34 1.（ 2009 陕西文 ， 11） 若正方体的棱长为 ， 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体 积为 . 解析 由题意可知 ， 此几何体是由同底面的两个正 四棱锥组成的 ， 底面正方形的边长为 1， 每一个正 四棱锥的高为 ， 所以 V= 2 21312 2 2.（ 2008 湖北高考 ） 用与球心距离为 1的平面去截球 ， 所得的截面面积为 ， 则球的体积为 . 解析 截面面积为 ， 则该小圆的半径为 1， 设球的半径为 R， 则 2+12=2， R= ， V= 在棱长为 4的正方体 1 且 则多面体 . 解析 四棱锥 P 6， 高, ,那么正方体的棱长等于 . 解析 设正方体的边长为 a,其外接球的直径为该正方体的体对角线 a,即 2r= a,r= a, V= ,解得 r=2. a= 3323343 3 43432 r【 例 1】 如图所示 ， 长方体 1 AB=a， BC=b， c， 并且 a b c 的表面自 1的最短线路的长 . 本题可将长方体表面展开 ， 利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答 . 解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能 ，如图所示 . 分析 典型例题 深度剖析 三个图形甲 、 乙 、 丙中 ,2)(,2)(,2)(222222222222222 a b c 0, 0. 故最短线路的长为 跟踪练习 1 如图 ， 已知三棱柱 ， 各侧面为全等矩形 ， 高为 8， 一质点自 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 . 解析 将两个三棱柱都沿 则最短路线为 l= =10. 10 22 86 【 例 2】 从 1999年开始 ， 上海市政府实施 “ 景观工程 ” ， 对现有平顶的民用住宅进行 “ 平改坡 ” ，计划将平顶屋顶改为尖顶 ， 并铺上彩色瓦片 方案 1：坡顶如图 （ a） 所示 ， 为侧面是等腰三角形的直三棱柱 ， 尖顶屋脊 两个坡面需铺上瓦片 . 方案 2：坡顶如图 （ b） 所示 ， 是从 （ a） 的两端削去两个相同的三棱锥而得 ， 尖顶屋脊 有 4个坡面需铺上瓦片 . 若房屋长 a， 宽 b， 屋脊高为 h， 哪种尖顶铺设的瓦片比较省 ？ 请说明理由 . 要比较两种尖顶铺设的瓦片的数量多少 ，只要比较 分析 解 过 E ， 连结 则 平面 所以 脊的高 ， 故 AE=h. 由 E 所以 设 x， 则 所以 S 2b DE=b S S x 所以 S x - b 分 b x,b=x,b 宽度的一半 ， 图 （ a） 尖顶铺设的瓦片数较省；若 长等于房屋宽度的一半 ， 两种尖顶铺设的瓦片数 相同；若 图 （ b） 尖顶 铺设的瓦片数较省 . ,22 21,22 ,22 22 22 .)(1)(1 22 跟踪练习 2 如图所示 ， 在多面体 已知 的正 方形 ， 且 角形 ， ， 则该多面体 的体积是多少 ？ 解 如图所示 ， 过 面 作面 面 ， . S 23212222 V=2= ,423142 例 3】 （ 14分 ） 如图所示 ， 在等腰梯形 ， 0 ， 将 沿 使 A、 求 形成的三棱锥的外接球的体积 . 易知折叠成的几何体是棱长为 1的正四面体 , 要求外接球的体积只要求出外接球的半径即可 . 分析 解 由已知条件知 ， 平面图形中 B=D=E=. 折叠后得到一个正四面体 . 2分 作 平面 垂足为 F， 取 ， 连接 过球心 H 平面 则垂足 6分 外接球半径可利用 得 . 8分 ， 在 根据三角形相似可知 ， 解题示范 23 ,36)33(1 2 12分 外接球体积为 14分 6363323864663 跟踪练习 3 如图所示 ,半径为 影部分以直径 旋转一周得 到一几何体 ,求该几何体的表面积 （ 其中 0 ） 及其体积 . 解 如图所示 , 过 1, 在半圆中可得 0 , 0 ,R, R, R, 4 O 侧 = R R= 3 231 23 323O 侧 = R R= O 侧 +O 侧 =4 旋转所得到的几何体的表面积为 又 圆锥 = 圆锥 = = （ O +O ） = 1 231 1 2323232311 2311 341 31 21 411 31 21 411 1 342165思想方法 感悟提高 高考动态展望 几何体的 （ 表 ） 面积 、 体积的计算 ， 通常出现在客观题中 ， 有时也在解答题中作为一个小题出现 ，难度多为中档题 （ 少数为容易题 ） . 方法规律总结 棱锥 、棱台与球的表面积的问题 ， 要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决 ， 这种题目难度不大 . 有关的计算公式无法运用 ， 或者虽然几何体并不复杂 ， 但条件中的已知元素彼此离散时 ， 我们可采用 “ 割 ” 、 “ 补 ”的技巧 ， 化复杂几何体为简单几何体 （ 柱 、 锥 、台 ） ， 或化离散为集中 ， 给解题提供便利 . （ 1） 几何体的 “ 分割 ” 几何体的 “ 分割 ” 即将已知的几何体按照结论的要求 ， 分割成若干个易求体积的几何体 ， 进而求之 . （ 2） 几何体的 “ 补形 ” 与分割一样 ， 有时为了计算方便 ， 可将几何体补成易求体积的几何体 ， 如长方体 、 正方体等 由台体的定义 ， 我们在有些情况下 ， 可以将台体补成锥体研究体积 . （ 3） 有关柱 、 锥 、 台 、 球的面积和体积的计算 ，应以公式为基础 ， 充分利用几何体中的直角三角 形 、 直角梯形求有关的几何元素 . 1.（ 2009 南京模拟 ） 一个正方体的体积是 8， 则这个正方体的内切球的表面积是 . 解析 设正方体的棱长为 a,则 , a=, 4 . 定时检测 42.（ 2009 盐城模拟 ） 两条直角边分别为 3 其底面积为 母线长为 解析 以直角边 3 高为 3 直角边 4 高为 4 6 母线长 5 9或 16 5 3.（ 2010 苏州调研 ） 如图所示 ， E、 是边长为 1的正方形 C、 沿线 则所围成的三棱 锥的体积为 . 解析 设 B、 D、 ， 则 1 = . 241312121212414.（ 2009 江西理 ） 正三棱柱 的球 ， 若 A、 ,则正三棱柱的体积为 . 解析 由 ,知 . | 2 . r=2 球心 d= = （ 2 ） 2 2 =8. 8 222 ,3 623223 ,3 32)3 62(4 2 43 2332111 5.（ 2010 扬州模拟 ） 如图所示 ， 已知一个 多面体的平面展开图由一个边长为 1的正方 形和 4个边长为 1的正三角形组成 ， 则该多 面体的体积是 . 解析 由题知该多面体为正四棱锥 ， 底面边长为 1，侧棱长为 1， 斜高为 ， 连接顶点和底面中心即为高 ， 可求高为 ， 所以体积 2223 131V 626.（ 2008 福建 ， 15） 若三棱锥的三个侧面两两垂直 ， 且侧棱长均为 ， 则其外接球的表面积是. 解析 三棱锥的三个侧面两两垂直 ,说明三棱锥的三条侧棱两两垂直 ,设其外接球的半径为 R, 则有 （ 2R） 2=（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2=9, 所以外接球的表面积为 S=4 . 39 3 3 37.（ 2010 常州模拟 ） 三棱锥 S 面 为直角顶点的等腰直角三角形 ，且 C=， 则三棱锥 S 解析 设侧棱长为 a， 则 a=2， a= ， 侧面积为 3 ,底面积为 22= , 表面积为 . 3333 2 221 3438.（ 2010 南京模拟 ） 一个正三棱锥的四个顶点都 在半径为 1的球面上 ， 其中底面的三个顶点在该球 的一个大圆上 ， 则该正三棱锥的体积是 . 解析 过 O 平面 ， 由已知得 连接 则 且 S=1， 易求底边长为 . 1)3(4 331 2 439.（ 2010 宿迁一模 ） 在半径为 25 它的面积是 49 则球心到这个截面的距离为 解析 由题意知圆 O 的半径为 7 则球心到这个截面的距离 = = 24（ . 24 22 725 二 、 解答题 10.（ 2010 济南模拟 ） 一个正三棱台的上 、 下底面边长分别是 3 是 （ 1） 求三棱台的斜高； （ 2） 求三棱台的侧面积和表面积 . 解 （ 1） 设 下底面正三角形的 中心 ， 如图所示 ， 则 ， 过 1则 2323过 1E ， 则 1O= ， 因 3= , 6= , 则 在 （ . （ 2） 设 c、 c 分别为上 、 下底的周长 ， h 为斜高 ， （ c+c ） h = （ 3 3+3 6） = （ , 3)2 3()23( 22221 2327 （ . 故三棱台斜高为 面积为 表面积为 43996433432327 22 3 2 327439911.（ 2010 广东东莞模拟 ） 如图所示 ， 在长 方体 C=1， 2， 且 （ 1） 求三棱锥 C （ 2） 求证： 平面 （ 1） 解 ， E S 1 1 = . 41214131312121121（ 2） 证明 连接 C， 底面 ， 平面 0 , 0 , ,2111 1， 平面 ， 面 面 平面 12.（ 2009 广东汕头模拟 ） 三棱锥 S 一条棱长为 a,其余棱长均为 1， 求 S 并
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