【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九编 立体几何 理 课件（打包十二套）苏教版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九编 立体几何 理 课件（打包十二套）苏教版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第九,立体几何,课件,打包,十二,12,苏教版
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（ 1） 两条异面直线所成的角 定义：设 a， 过空间任一点 a a,b b,则 a 与 b 所成的 叫做 a与 范围：两异面直线所成的角 的取值范围是 . 基础知识 自主学习 要点梳理 空间角与距离的运算 锐角或直角 2,0( 向量求法：设直线 a， a， b， 其夹 角为 ， 则有 = . （ 2） 直线与平面所成的角 定义：直线和平面所成的角 ， 是指直线与它在这 个平面内的射影所成的角 . 范围：直线和平面所成角 的取值范围是 . 向量求法：设直线 a， 平面的法向 量为 u， 直线与平面所成的角为 ， a与 ， 则有 = 或 =. |c o s|2,0 3） 二面角 二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法： （ ） 若 l 的两个面内与棱 则二面角的大小就是向量 与 的夹角 （ 如图 ） . （ ） 设 l 的两个面 ， 的法向量 ， 则向量 或其补角 ） 的大小就是二面角的平面角的大小 （ 如图 ） . 0， （ 1） 点面距离的求法 已知 的一条斜线段 ， 面 的法向量 ， 则 的距离为 = . （ 2） 线面距 、 面面距均可转化为点面距离 ， 用求点面距离的方法进行求解 . |,c |1.（ 2010 南通模拟 ） 在正方体 则 的值等于 . 解析 以 在直线分别为 立空间直角坐标系 ， 设正方体棱 长为 1， 易知 =（ 1， 1， 1） ， =（ 1， - ， 0） ， 故 = 从而 = 基础自测 1111,， 1 则点 . 解析 如图所示 ， 以点 点 ， 为 坐标系 ， 则 O（ ， ， 1） ， 1， 0， 1） ， 0， 0， 1） ， A（ 1， 0， 0） ，B（ 1， 1， 0） . =（ 1， 0， 1） ， =（ - ， ， 1） ， =（ 0， 1） ， =（ 0， 1， 0） . 212121211B 是平面 点 答案 ,0,0111111|11 m=（ 0， 1， 0） ， n=（ 0，1， 1） ， 则两平面所成的二面角为 . 解析 m,n = m,n 0 ,180 . 即 m,n =45 ,其补角为 135 , 两平面所成的二面角为 45 或 135 . 45 或 135 ,2221|、 直线 且都垂直于 ， ， ， ， 则该二面角的大小为 . 解析 由条件知 62+42+82+2 6 8 =（ 2 ） 2, =- , ( 0 ,180 ), =120 , =60 ， 二面角的大小为 60 . 6017, 22| 2222 17 21 【 例 1】 平面 且 B=90 的等腰直角三角形 , 若 AB=a， 求异面直线 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积 ， 而要求两向量的数量积 ， 必须把所求向量用空间的一组基向量来表示 即为基向量 . 解 如图所示 . 典型例题 深度剖析 分析 ,11 )()( 11 =0， = =又 . = =120 . 所以异面直线 与 0 角 . ,0,0 111| 11 11 ,2122211 如图所示 ， 在棱长为 2的 正方体 面 E、 求异面直线 成的角的余弦值 . 解 如图所示 ， 建立空间直角坐标系 ， 则 0，0， 2） ， F（ 1， 0， 0） ， O（ 1， 1， 0） ， E（ 0，2， 1） ， 设 ， =（ ,1） , =（ ,2） , =3 | |= ， | |= ， 1 5则 | | 1，515| 11 例 2】 在三棱锥 S 边长为 4的正三角形 ， 平面 平 面 C=2 ， M、 如图所示 . 求点 由平面 平面 C， C，可知本题可以取 为坐标原点 ， 分别以 B， 用向量法求解 . 3分析 解 取 ， 连接 C， C， O ， O . 平面 平面 平面 平面 C， 平面 O . 如图所示 ， 建立空间直角坐标系 O 则 B（ 0， 2 ， 0） ， C（ 0， 0） ， S（ 0， 0， 2 ） ， M（ 1， ， 0） ， N（ 0， ， ） . 323 23 =（ 3， ， 0） ， =（ 0， ） ， = （ ， 0） . 设 n=（ x,y,z） 为平面 n=3x+ y=0 n= z=0， 取 z=1， 则 x= ,y=- , n=（ ， - ， 1） . 点 d= 2 | 如图所示 ， 在长方体 ， 3， ， M、 C、 中点 ， 求异面直线 1 解 以 x，y， 坐标系 ， 则 0， 0， 2） ， B（ 0， 4， 0） ， M（ 3， 2，0） ， N（ 0， 4， 1） . =（ 2， 1） ， =（ 0， 4， . 设 n= （ x， y， z） ， n =0 n =0， y+z=0 4. 令 y=1,则 z=2,x= ， 即 n=( ， 1， 2)， |n|= . =（ 2） 在 故异面直线 1 . 则 | 1 例 3】 如图所示 ， 四棱锥 P ， 底面 底面 B=1， ， 点 点 （ 1） 点 试判断 平面 并说明理由； （ 2） 求证：无论点 都有 F ； （ 3） 当 5 . 分析 （ 1） 由 C ，从而可解答第 （ 1） 问 . （ 2） 可证 直来证明第（ 2） 问，也可转化为证明 =0. （ 3）设出 示出平面 从而利用求线面角的公式求出 解 （ 1） 当点 在 E、 C、 C . 又 面 而 面 平面 （ 2） 以 所示的空间直角坐标系 则 P（ 0， 0， 1） ， B（ 0， 1， 0） ， F（ 0， ， ） ， D（ ， 0， 0） . 设 BE=x， 则 E（ x， 1， 0） ， =（ x， 1， （ 0， ， ） =0， （ 3） 设平面 m=（ p,q,1） , 由 （ 2） 知 =（ ， 0， ， =（ x， 1， m =0 m =0， 2121 32121 m=（ ， 1- ， 1） . 313 =（ 0， 0， 1） ， 依题意 45 , 45 = 得 BE=x= 或 BE=x= （ 舍去 ） . 故 时 ， 5 . 23 3,|22,211)31(3112跟踪练习 3 如图所示 ， 在四棱锥 P 底面 侧棱 底面 ,， 2， （ 1） 求直线 （ 2） 在侧面 ， 使 平面 并求出 解 （ 1） 建立如图所示的空间直 角坐标系 ， 则 A、 B、 C、 D、 P、 E 的坐标为 A（ 0， 0， 0） 、 B（ ， 0， 0） 、 C（ ， 1， 0） 、 D（ 0， 1， 0） 、 P（ 0， 0， 2） 、 333E(0， ， 1)， 从而 =（ ， 1， 0） ， =（ ， 0， . 设 与 的夹角为 ， 则 = 21 3B,1473723|2） 由于 故可设 （ x,0,z） ,则 =（ ， 1， 由 平面 =0 =0， x= - x+ =0 z=1 即 ， 0， 1） ， 从而 B、 距离分别为 1， . 即 （ ， 1 （ 0,0,2） =0 （ ， 1 （ ， 1， 0） =0, 化简得 , 2121 3321,636363【 例 4】 （ 12分 ） （ 2008 海南 ） 如图 ， 已知点 B C D 的对角线 上 ， 0 . （ 1） 求 C 所成角的大小； （ 2） 求 A D 解 如图 ， 以 长建立空间直角坐标系 则 =（ 1， 0， 0） ， =（ 0,0,1） . 连结 B D . 在平面 D 延长 D 于 H. 设 =（ m,m,1） （ m 0） , 由已知 =60 ， 由 =| | | ， ， 可得 2m= 解题示范 A,H H C 解得 m= ， 所以 =（ ， 1） . 6分 （ 1） 因为 所以 =45 , 即 C 所成的角为 45 . 8分 （ 2） 平面 D =（ 0， 1， 0） 0 ， 180 ,所以 =60 . 可得 A D 0 . 12分 22 2, ,222111022022, ,212101122022 跟踪练习 4 如图所示 ， 是 O、 在的平面均垂直 ， O 的直径 ， C=6， （ 1） 求二面角 （ 2） 求直线 解 （ 1） 故 依题意可知 ， 5 . 即二面角 B 5 ; （ 2） 以 在直线为坐标轴 ， 建立空间直角坐 标系 （ 如图所示 ） ， 则 O（ 0, 0， 0） ， A（ 0， ， 0） ， B（ 3 ， 0， 0） ， D（ 0， ， 8） ， E（ 0， 0， 8） ， F（ 0， 3 ， 0） ， =（ ， ， 8） ， =（ 0， 3 ， . 2 2222 2 = 设异面直线 ， 则 =| |= 即直线 | 异面直线所成 角 ， 线面所成角 ， 二面角 ） 的计算 、 空间距离的计 算等内容 ， 在各地高考中 ， 立体几何大题的考查均 涉及本节内容 ， 并且在解答过程中 ， 大多提供了以 空间直角坐标系为基础的空间向量解法 . 将空间向量作为工具进行考查是江苏考纲的要求之 一 ， 由于空间向量的应用运算量较大 ， 通常需要建 立适当的空间直角坐标系来解 ， 因而试题的难度不 会太大 ， 如果考查到空间向量 ， 势必会涉及空间角 或距离的计算 ， 尤其是空间角的考查可能性大 . 思想方法 感悟提高 高考动态展望 这体现了转化的思想 ,主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角 . 简单 、 易掌握 表示两直线方向向量 ， 计算数量积 ， 若能建立空间直角坐标系 ，则更为方便 . 或找 （ 作 ）垂面 ， 将其转化为平面角 ， 或用向量求解 ， 或解直角三角形 . 方法规律总结 一 、 填空题 1.（ 2010 无锡模拟 ） 如图所示 ， 在三棱柱 底面 C = 0 ， 点 E、 B、 则直线 . 解析 以 建立空间直角坐标系 . 设 C= 则 2， 0， 2） ， E（ 0， 1， 0） ， F（ 0， 0， 1） 定时检测 则 =（ 0， 1） ， =（ 2， 0， 2） =2 = 0 . 答案 60 F 12.（ 2009 南京阶段检测 ） 正方体 ， E、 则点 1 . 解析 以 建立空间直角坐标系 ， 如图所示 ， 则 0， 0， 1） ， E(1， 0， )， D（ 0， 1， 0） ，F( ， 1， 0)， 0， 1， 1） . =(1， 0， - )， =（ 0， 1， 0） . 设平面 n=（ x,y,z） , 21211n =0 n =0， 令 z=2,则 x=1. n=（ 1， 0， 2） . 又 =（ ， 1， ， 点 1答案 则 z=0 y=0. 21| 1 2009 陕西文 ） 如图 ， 球 ， 圆 ， A、 1 上两点 ， 若 A、 ,则 . 解析 则 AB=r=2. 1A= ,故有 1以 . 232,3232)2(2 22212 224.（ 2009 北京文改编 ） 若正四棱柱 1， 0角 ， 由 . 解析 如图所示 ， 直线 成的角为 而 距离为 在 B 60 = ， 所以 . 3 335.（ 2008 福建理 ， 6） 如图所示 ， 在长方体 C=2， ， 则 角的正弦值为 . 解析 如图所示 ， 在平面 1作 垂足为 E， 连接 1E 答案 平面 2,512 122 2010 泰州一模 ） 正四棱锥 S 且 D,则直线 . 解析 如图所示 ,以 空间直角坐标系 O 设 O=B=OC=a, 则 A（ a,0,0） ,B（ 0,a,0） , C（ ,0） ,P(0,- ). 则 =（ 2a,0,0） , =（ ） , =（ a,a,0） . 2,2n,可求得 n=（ 0,1,1） , 则 ,n = ,n =60 , 直线 0 =30 . 答案 30 | 2 2010 宿迁模拟 ） 棱上的一点 ， 分别在 、 平面上引射线 如果 5 ， 0 ， 那么二面角 的大小为 . 解析 不妨设 PM=a， PN=b， 作 B 于 E， B 于 F， 如图： 45 ， a， b， 2222)()( =0 5 - 5 + ， 二面角 的大小为 90 . 答案 90 2222222 ,02222 8.（ 2008 全国 理 ， 11） 已知三棱柱 则 . 解析 设棱柱的侧棱与底面边长 均为 a, 如图 , 连接 a. 平面 a. 又在三棱柱 平面 点 连接 设 . 在 a. 四边形 a. 设 ， 则 = 答案 ,2 32121 2010 南通模拟 ） 在直三棱柱 底面是以 a，a， 1 点 要使平面 则 . 解析 以 在直线分别为 直角坐标系 . 0， 0， 3a） ， C（ 0， a， 0） ， E（ a， 0， b） ， D（ a， a， 3a） ， =（ a， - a， b） ， =（ a， 0， ， 222 222222 =（ a， a， 0） ， =0. =2a2+b（ =0， 得 b=a. 满足 两条件 ， 即可得 平面 答案 a 22221二 、 解答题 10.（ 2010 莆田模拟 ） 如图所示 ， 在几何 体 0 ， 且 B=2， ， 点 中点 解 以点 x， y， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 B（ 0， 0， 0） ， A（ 2， 0， 0） ， C（ 0， 2， 0） ， D（ 0， 2， 1） ， E（ 0， 0， 2） ， F（ 1， 0， 1） . =（ 0， 2， 1） ， =（ 1， 0） . 设平面 n=（ 2， a， b） ， n ， n ， n =0， n =0. 解得 a=1， b= n=（ 2， 1， . 设 ， 则法向量 的 夹角为 D （ 2， a， b） （ 1， 0） =0， （ 2， a， b） （ 0， 2， 1） =0. 即 ,故 . 11.（ 2010 烟台五校联考 ） 已知：正四棱柱 底面边长为 2 ， 侧棱长为 4，E、 B、 （ 1） 求证：平面 平面 （ 2） 求点 1 3232,3232)2,1,2()0,0,2(|)2( （ 1） 证明 建立如图所示的空间直角 坐标系 ， 则 D（ 0， 0， 0） ， B（ 2 ， 2 ， 0） ， E（ 2 ， ， 0） ， F（ ， 2 ， 0） ， 0， 0， 4） ， 2 ， 2 ， 4） . =（ - ， ， 0） ， =（ 2 ， 2 ， 0） ， =（ 0
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