中考专题复习之三角形的有关概念

1 中考专题复习之三角形的有关概念 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解 有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例 1】已知一个三角形中两条边的长分别是 、 ，且 ，那么这个三角形的周长 的取值范围是（ abL ） A、 B、bLa3 aL2)(2 C、 D、a262 b3 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在ABC 中，AC5，中线 AD7，则 AB 边的取值范围是（ ） A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这 也是一种常见的作辅助线的方法。 【例 2】如图，已知ABC 中，ABC45 0，ACB 610，延长 BC 至 E，使 CEAC，延长 CB 至 D，使 DBAB，求 DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE 的度数，即可求得DAE 的度数。 略解：ABDB，AC CE D ABC ，E ACB2121 DE （ ABCACB）53 0 DAE180 0（ DE）127 0 探索与创新： 【问题一】如图，已知点 A 在直线 外，点 B、C 在直线 上。ll （1）点 P 是ABC 内任一点，求证：P A； （2）试判断在ABC 外，又和点 A 在直线 的同侧，是否存在一点 Q，使BQCA，并证明你的结论。l nmll 问 题 一 图 CB A CB A 分析与结论： （1）连结 AP，易证明P A； （2）存在，怎样的角与A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造ABC 的外接O，易知弦 BC 所 对且顶点在弧 A B，和弧 A C 上的圆周角都与A 相等，因此点 Q 应在弓形 A B 和 A C 内，利用圆的有关性mn mn 质易证明（证明略）。 【问题二】如图，已知 P 是等边ABC 的 BC 边上任意一点，过 P 点分别作 AB、AC 的垂线 PE、PD，垂足为 E、D。问：AED 的周长与四边形 EBCD 的周长之间的关系？ 分析与结论： （1）DE 是AED 与四边形 EBCD 的公共边，只须证明 ADAE BE BC CD （2）既有等边三角形的条件，就有 600 的角可以利用；又有垂线，可造成含 300 角的 直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。 略解：在等边ABC 中，BC 60 0 例 2图 ED CB A 问 题 二 图 E DP CB A 2 又PEAB 于 E，PDAC 于 D BPECPD30 0 不妨设等边ABC 的边长为 1，BE ，CD ，那么：BP ，PC ， ，而 AExyx2y21x ，ADx1y AEAD 23)(yx 又BECDBC 1 ADAEBEBCCD 从而 ADAEDEBEBCCDDE 即AED 的周长等于四边形 EBCD 的周长。 评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。 跟踪训练： 一、填空题： 1、三角形的三边为 1， ，9，则 的取值范围是 。a 2、已知三角形两边的长分别为 1 和 2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。 3、在ABC 中，若C 2（AB），则C 度。 4、如果ABC 的一个外角等于 1500，且BC ，则A 。 5、如果ABC 中，ACB 90 0，CD 是 AB 边上的高，则与A 相等的角是 。 6、如图，在ABC 中，A80 0，ABC 和ACB 的外角平分线相交于点 D，那么BDC 。 7、如图，CE 平分ACB，且 CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD 的周长为 28 cm，则 DB 。 8、纸片ABC 中，A65 0，B 75 0，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内（如图），若120 0，则 2 的度数为 。 9、在ABC 中，A50 0，高 BE、CF 交于点 O，则BOC 。 10、若ABC 的三边分别为 、 、 ，要使整式 ，则整数 应为 。abc 0)(mcba 第 6题 图 FE D CB A 第 7题 图 E D C BA 第 8题 图 2 1 C B A 二、选择题： 1、若ABC 的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有（ ） A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个 2、在ABC 中，AB AC，D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 的度数为（ ） A、30 0 B、36 0 C、45 0 D、72 0 3、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（ ） A、7 B、11 C、7 或 11 D、不能确定 4、在ABC 中，B 50 0，ABAC，则A 的取值范围是（ ） A、0 0A180 0 B、0 0A80 0 C、50 0A130 0 D、80 0A130 0 5、若 、 、 是三角形的三个内角，而 ， ， ，那么 、 、 中，锐角的个数的 xyzxyz 3 错误判断是（ ） A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角 C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角 6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2 倍，且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 三、解答题： 1、有 5 根木条，其长度分别为 4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？ 2、长为 2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什 么？ 3、如图，在ABC 中，A96 0，延长 BC 到 D，ABC 与ACD 的平分线相交于 ， BC 与 CD1A1A 的平分线相交于 ，依此类推， BC 与 CD 的平分线相交于 ，则 的大小是多少？244A5A5 4、如图，已知 OA ，P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射线 ON 上运动），AON60 0，填空：a （1）当 OP 时，AOP 为等边三角形； （2）当 OP 时，AOP 为直角三角形； （3）当 OP 满足 时，AOP 为锐角三角形； （4）当 OP 满足 时，AOP 为钝角三角形。2A1 第 3题 图 DCB A a06 第 4题 图 NPO A 一、填空题： 1、 ；2、2；3、120 0；4、30 0 或 1200；5、DCB；6、50 0；7、8cm；79a 8、60 0；9、130 0；10、偶数。 二、选择题：CBCBCB 三、解答题： 1、6 种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12） 2、可以，设延伸部分为 ，则长为 ， ， 的三条线段中， 最长，aa23