变式教学的内涵与案例浅说(广州7中陈世明)

变式教学的内涵与案例浅说 我的数学教学观 广州七中 陈世明 一、变式教学的内涵 变题、变形、变法 1.变题：一题多变与一题多解 （1）历史回顾：重视、常用 （2）现实状况：淡化、少用 （3）功能浅说：培养发散思维；构建知识网络；达成融会贯通 （4）点滴感想：数学教学不等同于解题教学，数学教学也不仅仅是为了追求考试的高分数 （当然追求考试的高分数很重要，我们靠它生存的） ，数学教学除了追求考试的高分数的同 时，应该还有更高的追求，日本著名数学教育家米山国藏说过:学生在学校学的数学知识， 毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯 有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼 点等(若有的话)，却随时随地发生作用，使他们终生受益。 （5）一个例子（一道公务员考题）：61、52、63、94、46、 。（换位思考） 关于如何变题，是一个比较大的研究专题，由于时间有限，今天暂不展开。 2.变形：公式的变形应用与解题过程中的恒等变形 （1）聚焦课堂：公式的变形应用老师们都比较注意，在公式的教学中，一般都会强调公式 的“三用”：正用、逆用和变形用。然而对解题过程中的恒等变形却没有引起足够的重视， 尤其是实施新课程以来，课本对恒等变形的能力要求很低，比如初中的因式分解，高中三 角恒等式的证明等，导致学生的恒等变形的的能力直线下降，老师们常说现在的学生解题 能力很差，与其说学生的解题能力差，倒不如说学生的恒等变形的能力差。 （2）功能浅说：变形是简解、巧解、妙解、美解的发生器和生长点，是培养创新意识与创 新能力的重要载体。 （3）例子微观： 例 1（2014 年广州一模（理）题）已知函数 （其中 为自然对21exfx 数的底数） （1）求函数 的单调区间；()fx （2）定义：若函数 在区间 上的取值范围为 ，则称区间 为h,st,st,st 函数 的“域同区间” 试问函数 在 上是否存在“域同区间”？若存在，hx()fx1, 求出所有符合条件的“域同区间” ；若不存在，请说明理由 解（标准答案）：（1）从略； （2）假设函数 在 上存在“域同区间” ，()fx1,()stt 由（1）知函数 在 上是增函数， 所以 即(),.fst 2(1)e,.stt 也就是方程 有两个大于 1 的相异实根2()x 设 ，则 2()1e1xgx2()exg 设 ，则 h()xhx 因为在 上有 ，所以 在 上单调递增(,)0h 1, 因为 ， ，123e 即存在唯一的 ，使得 0,x0x 当 时， ，即函数 在 上是减函数；,hg()gx01, 当 时， ，即函数 在 上是增函数0xx 因为 ， ， ，1g0()12()e 所以函数 在区间 上只有一个零点()x, 这与方程 有两个大于 1 的相异实根相矛盾，所以假设不成立2e 所以函数 在 上不存在“域同区间” ()fx1, 巧解：同标准解法得：也就是方程 有两个大于 1 的相异2()ex 实根，也即 ， 有两个大于 1 的相异xex 2)( 1xex 实根，易见这是不可能的， 故函数 在 上不存在“域同区间” ()fx1, 可见，一个适当的变形，就可生长出巧解、妙解，不仅省时省 力，而且价值连城！ 例 2（2011 年山东高考题）已知动直线 与椭圆 ： 交于lC 213xy 两不同点，且 的面积 ，其中 为坐标原点12,PxyQOPQ6OPQS （）证明： 和 均为定值；21x21y 2013 学年度下期广州市高一教研活动发言提纲 （）设线段 的中点为 ，求 的最大值；PQMOPQ （）椭圆 上是否存在三点 ，使得 ？若存在，C,DEG62ODEGOESS 判断 的形状；若不存在，请说明理由DEG 该题结构简洁、通俗易懂、形式优美、内涵深刻，是一道十分优美的高考解几题其 标准答案给出的解法虽然是通法，但带给我们的除了“解析几何题”等价于“大计算量” 恐惧感外，并没有体现出该题的“内在美” ，相反的让人“望题生厌” ，下面来看该题的一 种优美解法： 解：（）因为 ，所以12,PxyQ 2 2)(1,sin2 OQPOSOPQ 212221 )( yxyx 121yx 又 ，所以 ，6OPQS6121 又由柯西不等式得 ，)(212121 yxyx 所以 6)(221yx 当且仅当 时，等号成立021 因为点 在椭圆 ： 上，所以12,PxyQC213xy ， ，从而由均值不等式得231132 ，232 12111 yxyx 所以 6)(121 当且仅当 时，等号成立3 22yx 由、得 ，即不等式的等号成立，于是由不等式的等6)(2121 号成立的条件得 ， ，故 和 均为定值2x2y21x21y （）由（）知 ， ，所以311 2121212122 )()()()(4 yxyxPQOM ，022 所以 ，所以 ，当且仅当54PQOM25PQOM ， 时，等号成立故 的最大值为 25OMPQ （）假设椭圆 上是否存在三点 ，使得C),(),(),(543yxGEyxD 成立，则由（）知： ， ， 62ODEGOESS32433254 ，所以 ，又 为不同的三点，所325x3x54 ),(),(),(543yxEyx 以在 中，只能有两个相等另一个为其相反数，不妨设 ， ，则由54, 434x 椭圆的对称性知 或 三点共线，这与 矛盾故椭圆 CGOD,E, 26OEGD 上不存在满足条件的三点 , 上述优美解法的获得正是从三角形面积公式的变形开始的，途中既没有联立方程组的 繁琐运算，又避免了分类讨论特别是这种解法不仅揭示了该题的本质结构特征及其“内 在美” ，而且也充分体现了用代数手段去研究几何图形性质的方法的多样性，令人拍手称绝。 一个优美的解法之所以优美，不仅仅是简解、美解了原题，而且往往还可以将原题加以推 广，得到更一般的问题，由上述优美解法很容易地得到下列 命题 已知动直线 与椭圆 ： 交于 两lC)0(12bayx12,PxyQ 不同点，且 的面积 ，其中 为坐标原点， 为线段 的中点则OPQabOPQ M （） ， ；21x221y （） M 例 3（2011 年广东高考题）设 ,数列 na满足 ，0bb11(2)nnba （）求数列 的通项公式； （）证明：对于一切正整数 ，n1.2nba 大众反响：2011 年广东题很难，文科题像理科题，而理科题像竞赛题 2013 学年度下期广州市高一教研活动发言提纲 实事求是：第（）理应不难，该题应难在第（）问，但第（）问，当 时，2b 原不等式等价于 ，用公式 nab1(na12)(nnb21nab ） （）变形后，又等价于 ，22121 nnn b 再用均值不等式去证还难吗？若不给出公式（） ，本题才称得上真正的难题。那如何求 解呢？还是恒等变形，妙解如下： 当 时，由第（）问的求解过程可知：2 12121)( nnnn bbbba ，所以 ，不等式获证2 1b2n 121nnna 事实上，公式（）也可以通过这种恒等变形而得到： （1）当 或 或 时，公式（）显然成立；0ab （2）当 且 且 时， 1211 nnnn ababababa )(12nn 综上所述，公式（）成立获证 （4）舆论导向：在解题教学中，尤其在高三复习中，专家们一再强调：“注重通性通 法，淡化特殊技巧” ，一谈巧解、妙解、简解，老师们一般都是反对声一片或怨声载道，学 生怎么能想得到呀！ （5）考场回放：在重大考试中，凡是得高分的考生，有几个是用通性通法去解决难题 的，若题题都用通性通法去求解，就算题题都会解，可能时间也不够用。 （6）个人浅见：在解题教学中，注重“通性通法” ，但决不忘记“特殊技巧” ，理由有 三：特殊技巧能展现数学美，体会到成就感，从而导致对数学美的追求，对数学产 生浓厚 兴趣； 特殊技巧并非都是高不可攀，若从不谈特殊技巧，本来并不是什么技巧的一般技术 也变成了技巧，反之，谈的多了、经常用了本是很强的技巧就变成了很平凡的技术。正如 “世上本没有路，但走的人多了也就成了路” 。 例如：证明不等式 。学生想到了，由于 ，所以只721412nk nk1)( 需证 ，这是显然的！)1(72412kk 又如：证明不等式 。学生联想到，1243n 1n ，所以只要证 ，只要证)()2()12( n 2 ，只要证 ，只要证n n1 1)()1(n ，这又是显然的！21 世界著名数学难题的解决，有哪个不是靠的技巧！例如：陈景润的“ ”、费马2 大定理的证明、庞加莱猜想的解决等无一不是靠的技巧，而且都是非常高深的技巧。若从 不谈技巧的教学，未来怎么能出数学家，尽管数学家是极少数人，但还是需要我们数学老 师去培养。 3.变法：改变概念、公式、定理的生成或证明的方法 （1）两类课堂： “体现”新课程理念的课堂教学：创设情境、合作探究、学生主体与教师主导（实 际上以老师为主的多） ； 学案教学：把概念、公式、定理的关键字词抽出来，让学生填空，老师既不讲（或 很少讲）概念、公式、定理是如何生成的，也不讲概念、公式、定理的证明，让学生一填 了之，然后就是大规模的习题演练。 （2）三点反思： 对新课程理念的教学现已有了不少的质疑声：创设情境（尤其是一些稀奇古怪的情 景设计）有必要吗？每个教学内容都适合学生探究吗？老师讲的越少越好吗？ 学案教学有其好的一面，但学案教学将数学中火热的思考变成了冰冷的死水一潭， 甚至使数学学科变成了一门不讲理的学科，这样的数学教学是十分危险的，因此，学案教 学也开始遭到了有责任心、有良心的专家（包括数学家）们的反对！ 面对这种形势，我们在教学中能做些什么？能不能有些改变？ 二、案例浅说 案例一：关于圆锥曲线概念的教学 关于圆锥曲线的教学一直是人们关注的焦点，更是各种赛课、说课、研讨课、试教课 等公开课及教研课题的首选内容之一，在教学中，一般都遵循“椭圆双曲线抛物线” 这一教材思路，各个击破，因而在引出各种圆锥曲线的概念时，基本上都是从现实生活中 的例子去设计教学情境然而，数学发展史表明，数学的向前发展，一方面来自现实社会 发展的需要，另一方面是源于数学内部的矛盾运动那么能否从数学内部出发，比较自然 的生成各种圆锥曲线的概念？2010 年我在教学这部分内容时，根据这一思想进行了一堂研 究性学习课，该堂课是这样展开的： 师：在平面内，到一个定点的距离等于常数的点的轨迹是什么？ 生（异口同声的）：圆！ 师：很好！ 2013 学年度下期广州市高一教研活动发言提纲 师：我们异想天开的来想一想：在平面内，如果有一个动点到两个定点的距离满足某个 条件，那么这个动点的轨迹可不可以还是圆？ 生：议论纷纷，但无结果。 师：若动点 到两个定点 的距离相等，即 ，那么动点 的轨迹是什么？PBA, PBA 生（异口同声的）：线段 的垂直平分线！ 师：若动点 到两个定点 的距离满足 ，, 2 ， （ ，且 ） ，那么动点 的轨迹分别是什么？PBA2101P 师：电脑演示，轨迹均为圆。 至此，圆的第二定义也就诞生了：平面内，到两个定点的距离的比为一个不等于 1 的常 数的点的轨迹叫做圆接下来，进行变式，提出一个个问题：平面内，到两个定点的距离 的和、差、积为一个常数，动点的轨迹又将是什么？进一步变式，若把一个定点改成定直 线呢？就这样在同学们议论纷纷的声音中，在充满期待的向往里，在数学内部的矛盾作用 下，各种圆锥曲线的概念自然的诞生了！ 案例二：关于直线与平面平行的判定定理的教学 “直线与平面平行的判定定理”是空间直线与平面的位置关系的第一个定理，新课标教 材对这一定理的证明不作要求然而，我们在教学中发现，许多老师在教学该定理时，不 仅既不讲该定理的证明也不探究该定理的生成过程，而且对该定理为真所必要的说明也只 字不提，只是将该定理中的一些关键字词抽出来“一填了之” ，然后就是大规模的定理应 用事实上，按新课程标准，对定理不要求证明，并不等于不作说明，若对定理为真所必 要的说明也没有了，那么数学就变成了一门不讲理的学科了，这样的数学教学将是十分危 险的！其实该定理的证明并不难，若不去证明只说明其为真则更易，我在教学该定理时是 如下处理的（教学实录）： 师：要判定直线 与平面 平行，只要判定a 生：直线 与平面 没有公共点 师：那如何判定直线 与平面 没有公共点呢？（学生一脸茫然，不知所措！大约 1 分钟后） 师：不好办吧！请同学们回忆一下，我们已经知道直线 与“？”一定是没有公共点a 的？（大约 1 分钟后） 生 1：直线 与和它异面的直线 一定是没有公共点的或直线 与和它平行的直线ab 也一定是没有公共点的！b 师：很好！这样一来，我们不妨大胆的来猜一猜：若直线 与平面 内的一条直线 异面，能否推出直线 与平面 没有公共点？a 生（部分）：能吧？ 生（部分）：不能！ 师：生 2 你来说一说为什么不能？ 生 2：这很简单，举一个反例就成了！如图 1， 与 是异面ab 直线，但 与 有公共点a 师：真妙！要否定一个结论，只要举一个反例就成了同学们清楚了吗？ b图 1 生：清楚了！ 师：若直线 与平面 内的一条直线 平行呢？又能否推出直线 与平面 没有公共aba 点？（巡堂发现：同学们在画各种图形，也想举一个反例来否定上述结论，但均 没有成功，大约 2 分钟后） 生：能！（很肯定的） 师：为什么？ 生：没有找到反例！ 师：没有找到反例就能说明直线 与平面 没有公共点？假若那样的反例大家都没有a 找到呢？ 生：是啊！ 师：因此，要肯定一个结论，一定要说明理由才行！生 3，你来说说理由看？ 生 3：还没想好！（其余同学在积极思考） 师：如图 2，由 ，可推出什么结论？ba/ 生 3：过 可确定一个平面 , 师：很好!大家看，在确定了平面 后，直线 与平a 面 就“天各一方” （学生大笑）！但它们并不“孤单” （学生又笑） ，因为 与 有一条公共直线 相连，真所谓“天各一方一线牵”啊！就好像“台湾与b 大陆天各一方由空中航线相连”一样（课堂气氛达到高潮） 这样一来，要说明 直线 与平面 没有公共点，只要说明a 生：直线 与直线 没有公共点即可！而 ，所以直线 与直线 没有公共点，从ba/ab 而直线 与平面 没有公共点，故 师：太好了！这样一来，我们就得到了一个什么结论？ 生：如果直线 与平面 内的一条直线 平行，那么直线 与平面 平行 师：如图 3，也能推出 吗？/a 生（恍然大悟的）：不能！ 师：没想到吧！前述结论应修改为 生：如果平平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 那么这条直线与这个平面平行 师：很好！这就是我们今天要学的“直线与平面平行的判定定理” （下面的课从略） 在上述定理的教学过程中，从学生熟知的“直线 与和它异面的直线 一定是没有公ab 共点或直线 与和它平行的直线 也一定是没有公共点”出发，通过“猜想实验（画ab 图）概括”等过程，比较自然的得出结论尤其是通过“天各一方一线牵”的 “艺术化”处理后，定理为真的事实已一目了然，对定理是否再需证明已不是很重要了 实践反复证明，重结果、轻过程的数学教学是十分危险的，轻者导致结果易忘、易走弯 路；重者数学让人生厌、危及人的发展既重结果、又重过程、更重发现，才是正确的数 学教学观，这也是新课标对每一位中学数学教师的期望 案例三：关于等比数列前 项和的公式的教学n 大家知道， “错位相减”是推导等比数列前 项和公式的核心技术，并由此出发得到了 “错位相减求和法” 然而如何想到“错位相减”来推导等比数列前 项和公式，长期以来n 困扰着广大的中学教师，至今仍有不少老师在研究这一问题，并在核心期刊上发表研究成 b图 2图 3 2013 学年度下期广州市高一教研活动发言提纲 果（我见过这一问题的论文不下 10 篇） 。既然如此，我们不禁要问：有没有可以替代“错 位相减法”的方法？我最近考虑了这一问题。 1等比数列前 项和公式的新推导n 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，则a1qnnS （1）当 时， ；（2）当 时， ，于是q1Sn1),321(kqaknSnaa321 aan )()()( 14321 综上所述， qn1n)(1,)(1qnS， 2形如 型的数列前 项和的新求法nba 例 4（2012 辽宁理）已知等差数列 满足 ， na021086a （）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和na1n 解析：（） ，解法从略；n2 （）设数列 的前 项和为 由（）知， ，所以1nanSna2 12na 令 ，则整理，得nnn BA2)(11 ，即 ，比较两边的系数，得BA2 nA24 ，解得 ，从而40, ，所以12nann2)(-11)(n2)1()246()24()0(31231 nnn aS 12n 3一般结论 定理 若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，na)0(dnb)1(q 则数列 的前 项的和 nb )(11211 nnn bdaqS 4拓广应用 例 5 已知 ，求数列 的前 项的和 。1 2)(nnannS 解析：令 ，则整理，得nnn CBABA)2()2(11 2 ，比较两边的系数，得nn )(3343)2( 2 ，解得 ，从而 034CBA2716,94,3CBA ，所以nnnna )()2(1)2(1 。nnaS21n)(27694376 案例四：关于不等式选讲的教学从一个简单不等式到两个 著名不等式 1一个简单不等式 设 ，则 ，当且仅当 时，等号成立Rx020x 2从简单不等式出发 （1）取特值：令 ，则得),(Rbax 定理 1 若 ，则 ba, 22 当且仅当 时，等号成立 不等式是一个优美的不等式，它具有特征：每一项的次数是 ；变元的个数是 ；22 右边的系数是 简称为“三个不同的 ”2 （2）类比：类比猜想具有“三个不同的 ”的特征的不等式，易得3 2013 学年度下期广州市高一教研活动发言提纲 abca33 类比得出的结论不一定正确，上述不等式成立还需证明，证明后即得（推广了书上结 论） 定理 2 若 ，且 ，则 Rc, 0cabca33 当且仅当 或 时，等号成立0baba 不等式、统称为基本不等式 再进一步猜想具有“三个不同的 ”的特征的不等式，即得4 若 ，则 dc, abcdc4 当且仅当 时等号成立ba （3）加强条件：设 ，则由不等式、，易得Rcba, b2 当且仅当 时，等号成立a 不等式即为二元均值不等式 3c 当且仅当 时，等号成立b 不等式即为三元均值不等式 （4）推广： 定理 3 设 ，则 )2,(,*21 nNRan niiiia11 当且仅当 时，等号成立na21 不等式即为著名的（ 元）均值不等式 （5）变式： 变式：从不等式出发：设 ，易得Rcba, 2ba 33 2cbac 变式：从不等式、出发：分别可得 ab12 3cba 将不等式、和、分别连起来得（不等式链）： ab122ba 3cba322c 推广即得： 定理 4 设 ，则 )2,(,*21 nNRn iiniiinii aa111 当且仅当 时，等号成立na2 不等式即为：调和平均 几何平均 算术平均 平方平均 变式：从不等式出发：可得 ， nii niiaa11 niiniia11 由此即得 定理 5（最值定理） （1）若 个正数的积是一个定值，则当且仅当这 个正数相等nn 时，它们的和有最小值； （2）若 个正数