7.3 基本不等式.ppt

【步步高】2011届高考数学一轮复习 第七编 不等式 文 课件(打包6套)北师大版

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步步高 高考 数学 一轮 复习 温习 第七 不等式 课件 打包 北师大
资源描述:
【步步高】2011届高考数学一轮复习 第七编 不等式 文 课件(打包6套)北师大版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第七,不等式,课件,打包,北师大
内容简介:
要点梳理 (1)基本不等式成立的条件 :_. (2)等号成立的条件 :当且仅当 _时取等号 . 基本不等式 a0,b0 a=b 2基础知识 自主学习 (1)a2+_( a,b R). (2) _( a,. (3) (a,b R). (4) (a,b R). 设 a0,b0,则 a, ,几何平均 数为 _,基本不等式可叙述为: _ _. 2)2(222)2(22 2ba已知 x0,y0,则 (1)如果积 p,那么当且仅当 _时, x+y 有最 _值是 _.(简记:积定和最小) (2)如果和 x+p,那么当且仅当 _时 ,_值是 _.(简记:和定积最大) x=y 小 x=y 大 ( ) A. B. D. 解析 只有当 a、 成立, 21,0 2 222 ,22 不一定成立a=(),b= 则 |a+b|的最小 值 是 ( ) B. C. 析 a+b= | a+b|= ),( x x11),1,( 22 33.当 x1时,关于函数 下列叙述正确 的是 ( ) f(x)有最小值 2 f(x)有最大值 2 f(x)有最小值 3 f(x)有最大值 3 解析 x1, , ,11)(2111)1(11 .( 2008 浙江) 已知 a0, b0, 且 a+b=2, 则 ( ) 解析 由 a+b=2得 , =1,排除 A、 B. 又 ,可得 a2+. 2121C 2)2( 222)2(20, x(4 3 x(4当且仅当 3x=4 x= 时取得等号 . 31,34)2 343(31 2 1214332 题型一 利用基本不等式证明不等式 【 例 1】 已知 x0,y0,z0. 求证: 由题意,先局部运用基本不等式,再利 用不等式的性质即可得证 . 思维启迪 ()( 深度剖析 证明 x0,y0,z0, 当且仅当 x=y= ()(,02,02,02 利用基本不等式证明不等式是综合法证明 不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题 的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经 过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 . 探究提高 知能迁移 1 ( 1)证明: a4+b4+c4+ (2)已知 a0,b0,a+b=1,求证 : 证明 ( 1) a4+b4+c4+ 2(22 原不等式得证 . ( 2) a0,b0,a+b=1, 所以原不等式成立 . 利用基本不等式求最值 【 例 2】 求下列各题的最值 . ( 1)已知 x0,y0,lg x+lg y=1,求 的最 小值; ( 2) x0,求 的最小值; ( 3) 是常数,故可直接利用基本 不等式 . ( 3)由于 不是常数,故需变形 . 又 y0,lg x+lg y=1, 可得 0. 当且仅当 2y=5x,即 x=2,y=5时等号成立 . 方法二 由 x0,y0,lg x+lg y=1,可得 当且仅当 即 x=2,y=5时等号成立 . 10102105252m i n 2252m i n 10,22 2) x0, 等号成立的条件是 即 x=2, f(x)的最小值是 12. (3) 当且仅当 即 x=1时,等号成立 . 故 f(x)的最大值为 ,123122312)( 12 13)3(3423)3(343)3(3434)( 33 4(4)令 =t,则 t1 , 2,故 任取 t1, 1, 2且 g(g( g(t)在 1, 2上是减函数, f(x) 等号成立的条件是 =2. x= 1, 故 f(x)的最小值是 利用基本不等式求最值问题 ,基本方法 是借助条件化二元函数为一元函数 ,代换过程中应注 意元的范围 ,同时也要注意 “ 拆项 ” 、 “ 凑项 ” 的技 巧,特别要注意等号能否取到 . ,29252)2()( m i n 9 ) ,(2 知能迁移 2 ( 1)已知 x0,y0,且 求 x+y 的最小值; ( 2)已知 x0,y0, 当且仅当 时,上式等号成立, x=4,y=12时, (x+y)6. ,191 1)(,191 ) =1, 当且仅当 即 x=1时,上式等号成立, 故当 x=1时, . ,453)45 145(54 124 5 145 (3)由 2x+8,得 2x+8y=当且仅当 即 x=2 又 2x+8, x=12,y=6, 当 x=12,y=6时, x+8. ,1842210)4(2102810)28)(,182题型三 利用基本不等式解应用题 【 例 3】 (12分 )某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为 162平方米的 三级污水处理池 ,池的深度一定 (平面图如图所示 ), 如果池四周围墙建造单价为 400元 /米,中间两道隔 墙建造单价为 248元 /米 ,池底建造单价为 80元 /米 2, 水池所有墙的厚度忽略不计 . ( 1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低, 并求出最低总造价; ( 2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求 出最低总造价 . 思维启迪 设污水处理池的宽为 则长为 米 , 由题意可建立总造价与 进而通过求函数 的最值确定 解题示范 解 ( 1)设污水处理池的宽为 则长为 米 . 1分 )()()(元分则总造价8803896012100229619601210029613960121002961296116280224816222400当且仅当 (x0), 即 x=10时取等号 . 5分 当长为 为 10米时总造价最低,最低总造 价为 38 880元 . 6分 ( 2)由限制条件知 8分 161 6 2016016,8110)() 0 0)( g(x)有最小值, 10分 即 f(x)有最小值为 当长为 16米,宽为 米时, 总造价最低,为 38 882元 . 12分 ( 1)解应用题时,一定要注意变量的实 际意义,即变量的取值范围 . ( 2)在求函数最值时,除应用基本不等式外 ,有时会 出现基本不等式取不到 “ =” ,此时要考虑函数的单 调性 . ),16162(8110 时时当).(8823896012)818008110(2961 元8110探究提高 知能迁移 3 某学校拟建一块周长为 400 图所示,操场的两头是半圆形 ,中间区域是矩形 ,学 生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操 区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽? 解 设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m, 中间的矩形区域面积为 S,则半圆的周长为 因为操场周长为 400,所以 ,2 y,4 0 0222 把矩形的长和宽分别设计为 100 时, 矩形区域面积最大 . ,)()( )(),(时等号成立当且仅当解得由即200100200100400220002022212214000200040022了利用基本不等式 ,有时对给定的代 数式要进行适当变形 方法与技巧 383(31)38)(3(31)38(,380)2(21,2)1(2 感悟提高 下不等式在解题时使用更直接 . (1) (a0,且 a R),当且仅当 a=1时“ =” 成立 . (2) (a0,b0,a,b R),当且仅当 a=“ =” 成立 . 意 a0,a R,应用不等式 可 解决部分分式不等式的最值问题 x2时, 21 用基本不等式求最值 ,其失误的真正原因是其存在 前提“一正、二定、三相等”的忽视 等式求最值,这三个条件缺一不可 . 失误与防范 .)()()(.)()()()(4122121212112242222122122221212222)确保“一正” 多不等关系就不一定 成立 y2, b0,若 是 3 等比中项,则 的最小值为 ( ) D. 解析 由题意知 3a3 b=3,即 3a+b=3,所以 a+b=1. 因为 a0,b0, 当且仅当 a=号成立 . 3,4222)(11(11 x0, y0, x+y=,则 的最 小值是 ( ) B. D. 解析 由 x+y=,得 x+3y=, x+3y=1, 11 22 )(311(311 ( a2), ( 则 的最小值为 ( ) 析 ,45 5414 (54,45,5541545414)(D x(0,3) ,则 ( ) A.f(x)有最大值 B.f(x)有最小值 .f(x)有最大值 1 D.f(x)有最小值 1 解析 x(0,3), ), ( 0 , 4), 当且仅当 且 x(0,3), 即 x=2时取等号, 当 x=2时,函数 f(x)有最小值 1. ,1212)(22()()()()(1121111211112222()( 22111、填空题 a、 则 a+_. 解析 ,241 )()(,2922212222122111221241y=a0,且 a1) 的图像恒过定点 A,若点 y=mx+中 m,n0,则 的最小值为 _. 解析 由题知 A( 1, 1), m+n=1, m,n0. a,=0(a1),则 (a+1)(b+2) 的最小值为 _. 解析 =0, a+( a+1)(b+2)=a+b+2=6a+2b+1 ,114()(151616116861123146121146 a1, . 当且仅当 (=1,即 a=2时成立 . 最小值为 27. 答案 27 (6 答题 10.(1)求函数 y=x(x0, 的 最大值; (2)设 x函数 的最值 . 解 ( 1) x0,a2x, 当且仅当 时取等号,故函数的最大值为 125)(8222212221222 )()()(( 2) x x+10. 设 x+1=z0,则 x=且仅当 z=2,即 x=1时上式取等号 . x=1时 ,函数 ,无最大值 . )(4(21)已知 a0,b0,c0且 a+b+c=1. 求证 : ( 2)已知 a0,b0,求证: 证明 ( 1) a+b+c=1, =3+2+2+2=9. 等号成立的条件是 a=b=c,故 ;9111 22233111)()()( 22( 2) 方法一 .,0)(,0)(,00,0.)()()()1()1()(222222222即又知由方法二 a0,b0, 由不等式的性质 + 得: 同理.),(2)(2222 对生产的羊皮手套进行促销 年内 ,据测算年销售 量 S(万双)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 (x0),已知羊皮手套的固定投入为 3万元 , 每生产 1万元羊皮手套仍需再投入 16万元 .(年销售 收入 =年生产成本的 150%+年广告费的 50%) (1)试将羊皮手套的年利润 L(万元)表示为年广告 费 x(万元 )的函数; (2)当年广告费投入为多少万元时,此公司
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