【步步高】2011届高考数学一轮复习 第三编 导数及其应用课件 理 （打包7套）新人教A版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第三编 导数及其应用课件 理 （打包7套）新人教A版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第三,导数,及其,应用,利用,运用,课件,打包,新人
- 内容简介：
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变化率与导数、导数的计算 第三编 导数及其应用 要点梳理 y=f(x)从 函数 y=f(x)从 ， 若 x= y=f（ 则平均变化率可表示为 . 1212 )()(基础知识 自主学习 y=f（ x）在 x=（ 1）定义 称函数 y=f（ x）在 x= 为函数 y=f（ x）在x=作 f （ y| x= 即 f( = . （ 2）几何意义 函数 f(x)在点 f( 几何意义是在曲线 y=f（ x）上点 处的 线方程为 . )()( 00l i m0 )()( 00l i m0(x0,f( 切线的斜率 f( f(x)的导函数 称函数 f( x)= 为 f（ x）的导函 数，导函数有时也记作 y. )()(l 导函数 f（ x） =c f( x)= f(x)=n Q*) f( x)= f(x)=x f( x)= f(x)=x f( x)= f(x)= f( x)= x 0 x a(a 0) （ 1） f（ x） g(x) = ; (2) f(x) g(x) = ; (3) = ( g(x)0). 复合函数 y=f(g(x)的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为 y = ，即 y对 导数等于 的导数与 的导数的乘积 . f(x)=f( x)= f(x)= f( x)= f(x)=ln x f( x)= (a 0,且 a1) x) g( x) f( x)g(x)+f(x)g( x) )()( 2)()()()()(y u y对 u u对 x x u x 基础自测 y=的图象上取一点（ 1， 2）及附近一点 （ 1+ x， 2+ y），则 为 （ ） A. x+ +2 B. . x+2 析 y=（ 1+ x） 2+1 x)2+2 x, = x+2. C x1x1x1y=x在 x=0和 x= 附近的平均变化率为 k1, k1,（ ） 解析 y=x, y =(x) =x, k1=1， k2= =0， 2A y=在点 （ 1， 处的切线方程为（ ） 3x+2 4x+3 析 由 y =3 1， 的值为 故切线方程为 y+1=-3( 即 y=. B y=f(x)在 (x) -f(x)恒成立 ， 且常数 a,a b,则下列不等式一定成立的是 （ ） b) bf(a) a) bf(b) a) bf(b) b) bf(a) 解析 令 g(x)=xf(x), g (x)=(x)+f(x) 0. g(x)在 a b, g（ a) g(b),即 af(a) bf(b). B 为曲线 C： y=x+3上的点 ， 且曲线 处切线倾斜角的取值范围是 0， ， 则点 （ ） A. B. 0 C. 0， 1 D. 解析 y=x+3， y =2x+2. 曲线在点 P(x0,切线倾斜角的取值范围是 0, , 曲线在点 k 1. 0 2 1, . A 4 21,1 1,21421题型一 利用导数的定义求函数的导数 【 例 1】 求函数 y= 在 率 . 紧扣定义 进行 计算 . 解 )()( 00思维启迪 11)( 2020 11)(211)()(211)(11)(2020020202020202020 深度剖析 探究提高 求函数 f（ x） 平均变化率的步骤： 求函数值的增量 f = f（ - f（ ； 计算平均变化率 解这类题目仅仅是简单套用公式 ， 解答过程相对简 单 ， 只要注意运算过程就可以了 . .)()(1212知能迁移 1 利用导数定义 ， 求函数 在 x=1处 的导数 . 解 方法一 （ 导数定义法 ） 1111l i m,11111,1110方法二 （ 导函数的函数值法 ） 11l i m,1,10 导数的运算 【 例 2】 求下列函数的导数 . （ 1） y=2x3+ （ 2） y= ； （ 3） y=(x+1)(x+2)(x+3)； （ 4） y= (1 ） ； （ 5） . 如式子能化简的 ， 可先化简 ， 再利用导数公式和运算法则求导 . 25 s 2 1111思维启迪 解 （ 1） y =6. ss i s i n()()(,s i ns i n)2(23225232323232521(3)方法一 y=(x+2)(x+3) =1x+6， y=3 2x+11. 方法二 y = (x+1)(x+2) (x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) = (x+1) (x+2)+(x+1)(x+2) (x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =32x+11. .)1(2)1()1(2)12(,12)1)(1(111111)5(22 s i co s(2( 求函数的导数要准确地把函数分割为基本 函数的和 、 差 、 积 、 商及其复合运算 ， 再利用运算法 则求导数 要仔细分析函数解析式的 结构特征 ， 紧扣求导法则 ， 联系基本函数求导公式 . 对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形 ， 如 （ 3） 小题 ;对于比较复杂的函数 ， 如果直接套用求导 法则 ， 会使求导过程繁琐冗长 ， 且易出错 ， 此时 ， 可 将解析式进行合理变形 ， 转化为较易求导的结构形 式 ， 再求导数 ， 如 （ 2） 、 （ 4） 、 （ 5） 都是如此 必须注意变形的等价性 ， 避免不必要的运算失误 . 探究提高 知能迁移 2 求下列函数的导数 . （ 1） y=5； (2)y=(23x+1)； （ 3） y= . 解 (1)y =(5) =(5 -(4x) +(1) =10(2) y=(23x+1)=6 y =(6 =(6 +2( -(3x) -(1) =18.)s i n(1c o ss i ns i nc o s)s i n()c o c o s()s i n)(s i s i n()s i n)(c o s()s i n()c o s()3(222【 例 3】 求下列复合函数的导数 . (1)y=(2; (2)y= ; (3)y=2x+ ） ; (4)y=x+5). 3x3思维启迪 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过 怎样的顺序复合而成 ;求导时 ,可设出中间变量 ,注意 要逐层求导不能遗漏 ,每一步对谁求导 ,不能混淆 . 解 (1)设 u=2 y=(2由 y=u=2合而成 , y =f (u) u (x)=( (2 =52 =100(2. （ 2） 设 u=3则 y= 由 y=u 与 u=3 x3 (21)3()()()(212121 由复合函数的定义可知 ， 中间变量的选择 应是基本函数的结构 ， 解这类问题的关键是正确分析 函数的复合层次 ， 一般是从最外层开始 ， 由外向内 ， 一层一层地分析 ， 把复合函数分解成若干个常见的基 本函数 ， 逐步确定复合过程 . 探究提高 (3)设 y=u2,u=v,v=2x+ , （ 4）设 y=ln u,u=2x+5,则 32c 3 24s i n (2)32c o s ()32s i n (4 )52(52 1 求下列复合函数的导数 . (1)y= ; (2)y=x ; (3) 解 (1)y =4(1 = . 3)31(1x12 3c o s ( 1(9x)0)(3s 3)3(2222 导数的几何意义 【 例 4】 （ 12分 ） 已知曲线方程为 y=（ 1） 求过 A（ 2， 4） 点且与曲线相切的直线方程； （ 2） 求过 B（ 3， 5） 点且与曲线相切的直线方程 . （ 1） 即求在 （ 2） 设出切点求切线方程 . 解 （ 1） y= 过 y= 且 2分 由 y= y =2x, y |x=2=4, 4分 因此所求直线的方程为 ( 即 4. 6分 思维启迪 （ 2） 方法一 设过 B（ 3， 5） 与 曲线 y=方程为 k(即 y= 8分 y=y= , =0. 整理得 :(0, k=2或 k=10. 10分 所求的直线方程为 2,10. 12分 方法二 设切点 x0, 由 y=y =2x, x= 8分 由已知 =2又 代入上式整理得 :或 , 10分 切点坐标为 (1,1),(5,25), 所求直线方程为 2,10. 12分 003520|y探究提高 （ 1） 解决此类问题一定要分清 “ 在某点 处的切线 ” ， 还是 “ 过某点的切线 ” 的问法 . （ 2） 解决 “ 过某点的切线 ” 问题 ， 一般是设出切点 坐标为 P（ ， 然后求其切线斜率 k=f ( 写出其切线方程 在某点处的切线 ” 就是指 “ 某 点 ” 为切点 . （ 3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当 曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且 只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确 . 知能迁移 4 已知曲线 . (1)求曲线在 x=2处的切线方程； (2)求曲线过点 （ 2， 4） 的切线方程 . 解 （ 1） y = 在点 P（ 2， 4） 处的切线的斜率 k=y |x=2=4. 曲线在点 P（ 2， 4） 处的切线方程为 ( 即 4. 3431 3 2） 设曲线 与过点 P（ 2， 4） 的切线 相切于点 ， 则切线的斜率 k=y |x=x = . 切线方程为 3431 3 431,( 300 ,()3431( 02030 020 点 P（ 2， 4） 在切线上 ， 4= 即 ()(=0,解得 1或 , 故所求的切线方程为 4或 =0. ,34322 3020 43 2030 )(1(4)1(,04400020202030 特别要注意 f (f( 是 不一 样的 ， f (表函数 f(x)在 x= ， 不一定 为 0；而 (f( 是函 数值 f(导数 ， 而函数 值 f( 一 个常量 ， 其导数 一 定为0， 即 (f( =0. 一 般 要遵 循先化简 ， 再 求导的基本原则 ， 求导时 ， 不但 要重 视求导法 则 的应用 ， 而且要 特别注意求导法 则 对求导的 制约作 用 ， 在实 施化简时 ， 首先必须注意变换的等价性 ， 避免不必 要 的运 算失误 . 思想方法 感悟提高 求复合函数的导数 ， 一般是运用复合函数的求导法 则 ， 将问题转化为基本函数的导数解决 . （ 1） 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的 ， 适当选定中间变量； （ 2） 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 ， 而其中特别要注意的是中间变量的关系； （ 3） 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则 ，求出各函数的导数 ， 并把中间变量转换成自变量的函数； （ 4） 复合函数的求导熟练以后 ， 中间步骤可以省略 ，不必再写出函数的复合过程 . 失误与防范 要注意到 这里的 防止与乘法公式混淆 . 要分清点 点的切 线的区别 ， 前者只有一条 ， 而后者包括了前者 . 这和研究直线与二次曲线相切时有差别 . 一 、 选择题 如果由始点起经过 移为 ， 那么速度为零的时刻是 （ ） 秒末 解析 v=s （ t） =， 令 v=0， 得 ,. 2331 23 D ,22331 23 定时检测 是曲线 y= 则点 ） B. C. D. 解析 过点 P作 y=且与曲线 y=切 ， 设 P（ x0,x ,则 k=y |x= 2 =1, 或 (舍去 ). P(1,1), 222B 20 ,101211| y=x+4垂直 ， 则 方程为 （ ） =0 y+3=0 解析 y =4,得 x=1,即切点为 （ 1， 1） ， 所以过该点的切线方程为 (整理得 4. A y= 2， 处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为 （ ） A. D. 解析 点 （ 2， 在曲线上 ， 切线的斜率 k=y |x=2=ex|x=2= 切线的方程为 e2( 即 . 与两坐标轴的交点坐标为 （ 0， ， （ 1， 0） ， S = D 5.（ 2009 全国 理 ， 9） 已知直线 y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切 ， 则 （ ） 析 设直线 y=x+1与曲线 y=ln(x+a)的切点为（ x0,则 +x0,y0=ln(x0+a),又 y = 即 x0+a=1.又 y0=ln(x0+a), , 1, a=2. B ,1 ,11|00 2009 安徽文 ， 9） 设函数 其中 ， 则导数 f (1)的取值范围是 （ ） A. 2 B. ， C. ， 2 D. ， 2 解析 由已知 f (x)= x, D ,232c o i n)( 125,02 33 (2,1)3s i n (22,43333s i o i n)1(f，f又 二 、 填空题 函数 f(x)的图象是折线段 其中 A，B, 0， 4） ,（ 2， 0） ,（ 6， 4） ，则 f（ f（ 0） = ； . （ 用数字作答 ） ()1( 由 A（ 0， 4） ， B（ 2， 0） 可得线段 线的方程为 f(x)= (0 x 2)的方程为 f(x)=2 x 6). (0 x 2), x 6), 所以 f(0)=4,f(4)=2. f (1)=答案 2 以 f(x)= ()1( 2009 福建理 ， 14） 若曲线 f(x)=ln 则实数 . 解析 f (x)=5 ,x( 0,+), 由题知 5 =0在 （ 0， + ） 上有解 . 即 a=- 在 （ 0， + ） 上有解 . x( 0,+), ( -, 0). a( -, 0). (-, 0) .（ 2009 江苏 ， 9） 在平面直角坐标系 点 ： y=上 ， 且在第二象限内 ， 已知曲线 处的切线斜率为 2， 则点 . 解析 设 P（ x0,(0),
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