【步步高】2011届高考数学一轮复习 第十四章 导 数 理 课件（打包6套）人教大纲版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第十四章 导 数 理 课件（打包6套）人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第十四,课件,打包,大纲
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备课资讯 2 4 构造可导函数证明不 等式 利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证 明不等式是函数、导数、不等式综合题的一个难 点，也是近几年高考的热点解题技巧是构造辅助 函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的 单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不 等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不 等式的关键 一、直接作差构造函数证明不等式 【 例 1 】 已知函数 f( x ) 12ln x 求证：在区间 (1 ， ) 上，函数 f( x ) 的图象在函数 g ( x ) 23图象的下方 证明 设 F ( x ) g ( x ) f( x ) ，即 F ( x ) 232x ， 则 F ( x ) 2 x 1x( x 1 ) ( 2 x 1 )x. 当 x 1 时， F ( x ) ( x 1 ) ( 2 x 1 )x0 ， 从而 F ( x ) 在 (1 ， ) 上为增函数， F ( x ) F (1) 160 ， 当 x 1 时， g ( x ) f( x )0 ，即 f( x )1 证明 令 h ( x ) x 1) ，则 h ( x ) 3 2 x 1x 13 ( x 1 )2x 1在 x (0 ， ) 上恒正， 所以函数 h ( x ) 在 (0 ， ) 上单调递增 当 x (0 ， ) 时，恒有 h ( x ) h (0) 0 ， 即 x 1)0 ， x 1) 对任意正整数 n ，取 x 1n( 0 ， ) ， 则有 1n 11 点评 我们知道，当 F ( x ) 在 a ， b 上单调递增时，则x a 时，有 F ( x ) F ( a ) 如果 f( a ) ( a ) ，要证明当x a 时， f( x ) ( x ) ，那么只要令 F ( x ) f( x ) ( x )就可 以利用 F ( x ) 的单调递增性来推导也就是说在F ( x ) 可导的前提下，只要证明 F ( x )0 即可 三、从条件特征入手构造函数证明不等式 【 例 3 】 若函数 y f( x ) 在 R 上可导且满足不等式 ( x ) f( x ) 恒成立，且常数 a 、 b 满足 a b ，求 证： a ) b ) 证明 由已知 ( x ) f( x )0 ， 构造函数 F ( x ) x ) ， 则 F ( x ) ( x ) f( x )0 ， 从而 F ( x ) 在 R 上为增函数 a b ， F ( a ) F ( b ) ，即 a ) b ) 点评 由条件移项后左边为 ( x ) f( x ) ，容易想 到是一个积的导数，从而可以构造函数 F ( x ) x ) , 求导即可完成证明若题目中的条件改为 ( x
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