5.6 正弦定理、余弦定理应用举例.ppt

【步步高】2011届高考数学一轮复习 第五章 平面向量 文 课件(打包9套)人教大纲版

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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第五章 平面向量 文 课件(打包9套)人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第五,平面,向量,课件,打包,大纲
内容简介:
弦定理、余弦定理应用举例 要点梳理 在三角形的 6个元素中要已知三个(除三角外) 才能求解,常见类型及其解法如表所示 . 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如 a,B,C) 正弦定量 由 A+B+C=180 ,求 角 A;由正弦定理求 出 b与 c. 在有解时只有一解 题型分类 深度剖析 两边和夹角 (如 a,b,C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边 c; 由正弦定理求出小 边所对的角;再由 A+B +C=180 求出另一角 . 在有解时只有一解 三边 (a,b,c) 余弦定理 由余弦定理求出角 A、 B;再利用 A+B +C=180 ,求出角 C. 在有解时只有一解 两边和其中 一边的对角 (如 a,b,A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角 B; 由 A+B+C=180 ,求出 角 C;再利用正弦定理 或余弦定理求 c. 可有两解,一解或无解 测量距离问题、高度问题、角度问题,计算面 积问题、航海问题、物理问题等 . ( 1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角 ,目标视线在水平视线 叫仰角 , 目标视线在水平视线 叫俯角(如图) . 上方 下方 (2)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 (如图) . ( 3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数 . 正北 基础自测 点的仰角是 60 ,0 ,则 于( ) 解析 由已知 0 , 0 , 0 +70 =130 . D 和 的距离相等 ,灯塔 0 ,灯塔 东 60 ,则灯塔 的( ) 0 0 0 0 解析 灯塔 A、 由已知得 0 , 0 , 则 =60 =10 . B , , ,则边 的高为( ) A. B. C. D. 解析 由余弦定理可得: 13223 323 23 i n,23s i 3(342c o . 若 A=60 ,b=16,此三角形面积 则 ) 析 由 S= =220 ,得 c=55. 由余弦定理得 62+55216 55 0 =2 401, a=49. ,3220D 65.(2009 湖南 )在锐角 ,B=2A, 则 的值等于 , . 解析 s co 3co 6,230,220,20,3,3,s,co ss i i ns i n2 )3,2( 题型分类 深度剖析 题型一 与距离有关的问题 要测量对岸 A、 取 相距 、 并测得 5 , 5 , 0 , 5 ,求 A、 分析题意,作出草图,综合运用正、 余弦定理求解 . 【 例 1】3思维启迪解 如图所示在 20 , 0 , D= 在 5 , 5 , 0 . 在 余弦定理,得 6605 k m )332375co 26()3(222之间的距离为A 、3B 求距离问题要注意: ( 1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所 求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若 有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求 解 . ( 2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可 用,就选择更便于计算的定理 . 探究提高知能迁移 1( 2009 海南 ,宁夏) 为了测量两山顶 M、 距离,飞机沿水平方向在 A、 B 两点进行测量, A、 B、 M、 内(如示意图) A、 设计一个方案,包括:指 出需要测量的数据 (用字母表示 ,并在图中标 出 );用文字和公式写出计算 M、 的步骤 . 解 方案一 :需要测量的数据有: 、 N 点的俯角 1、 1; 、 2、 2;A、 d(如图所示 ). 第一步:计算 第二步:计算 第三步:计算 ;)s s s c o s (2 1122 需要测量的数据有: 、 俯角 1、 1; 、 2、 2; A、 d(如图所示) . 第一步:计算 第二步:计算 第三步:计算 ;)s s s s c o s (2 2222 与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西 60 的方向 前进 40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得 塔顶的最大仰角为 30 ,求塔高 . 依题意画图,某人在 C 处 ,他沿 40米,此时 5 ,从 沿途测塔的仰角,只有 的距离最短时,仰角才最大,这是因为 角最大 塔高 须先求 要求 先求 或 . 【 例 2】思维启迪, 如图所示,某人在 沿 进, 0,此时 5 ,过点 E ,则 0 , 在 0, 0 , 35 , 80 =15 . 在 5 在 0 , 0 = 故所求的塔高为 ,s i ns i n, B C 0s 13(104 26220 ).)(33(310 米.)33(310 米 解斜三角形应用题的一般步骤是: ( 1)准确理解题意,分清已知与所求; ( 2)依题意画出示意图; ( 3)分析与问题有关的三角形; ( 4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角 形,逐步求解问题的答案; ( 5)注意方程思想的运用; ( 6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识 . 探究提高知能迁移 2 如图所示,测量河对岸的 塔高 以选与塔底 平面内的两个测点 ,现测得 , , CD=s,并 在点 的仰角为 ,求塔高 解 在 .)s i n (s i nt a nt a n,Rt)s i n (s i ns i ns i n,s i ns i n 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 (12分 )如图所示 ,在梯形 , , 0 , 5 ,求 由于 , 5 ,因此要 求 在 正弦定理求解 ,关键 是确定 在 , , 0 ,因此可用正弦定理求 出 依据 【 例 3】思维启迪 解 在 , , 0 . 80 - 于是 . 8分 同理,在 , , 5 ,解得 . 要利用正、余弦定理解决问题 ,需将 多边形分割成若干个三角形 注意 有利于应用正、余弦定理 . 分 109229229探究提高12分 解题示范 知能迁移 3 如图所示,已知半圆的直径 , 点 ,点 一个动点,以 点 圆心 四边形 最大值 . 解 设 ,四边形面积为 y, 则在 余弦定理得 =5 . 352,65,s i n (2)co 3s i a x面积的最大值为所以四边形时即当O P D C 方法与技巧 角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型 . 在一个 平面上利用三角函数求值 . 入法解决实际问题 . 思想方法 感悟总结 失误与防范 在解实际问题时,应正确理解如下角的含义 . 从指定方向线到目标方向线的水平角 . 从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角 . 坡面与水平面的二面角的度数 . 与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线上方时称为仰角,目标视线在水平视线 下方时称为俯角 . 一、选择题 00 得山下一塔顶与塔底的俯角分别 是 30 , 60 ,则塔高为( ) 解析 作出示意图如图, 由已知:在 00, 0 , 则 A2000 = 在 , 0 , 则 D200 ,32 0 030 时检测 见正西方向有相距 10海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时 后,看见一灯塔在船的南偏西 60 ,另一灯塔在船 的南偏西 75 ,则这艘船的速度是每小时( ) 海里 海里 解析 如图所示,依题意有 0 , 5 , 所以 5 , 从而 A=10, 在 , 于是这艘船的速度是 (海里 /小时) . C 知两座灯塔 与 海洋观察站 a 灯塔 的北偏东 20 , 灯塔 B 在观察站 0 , 则灯塔 的距离为( ) A.a B. a . a 析 利用余弦定理解 20 , 在 余弦定理得 20 =2 )21( 2 B 午 10时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 距塔 68海里的 下午 2时到达这座 灯塔的东南方向的 这只船的航行速度为( ) A. 海里 /小时 B. 海里 /小时 C. 海里 /小时 D. 海里 /小时 2617 6342217 234解析 如图所示,在 ,1 2 0s (26174,6342368小时海里案 A 货轮航行到 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 ,与灯塔 0 海里 ,随后货轮按北偏西 30 的方向航 行 30分钟后 ,又测得灯塔在货轮的东北 方向 ,则货轮的速度为( ) 海里 /小时 海里 /小时 海里 /小时 海里 /小时 )62( )26( )36( )36( 解析 由题意知 0, 05 , 5 , 答案 B ./)26(2021)26(10)0小时海里货轮航行的速度 , 0 , 00 车以 80 km/向 时摩托车以 50 km/h 的速度由 行驶 ,则运动开始 车的距 离最小 . 解析 如图所示,设 t 汽 车由 ,摩托车由 驶到 E,则 0t, 0t. 因为 00,所以 00 问题就是求 由余弦定理: 0 =(200+2 5000050 t =12 90000t+40 000. .,4370 最小时当 4370二、填空题 , B= ,当 时, = . 解析 S = , c=4. 由余弦定理 : b2=a2+=13, 321 a n,1312s i n,1312c o , , B=60 ,则 是 , . 解析 0 5s 62锐角45 13处观察乙船 ,乙船在它的北偏东 60 的方向 ,两船 相距 乙船正向北行驶 , 若甲船是乙船速度的 倍,则甲船应取方向 才能追上乙船;追上 时甲船行驶了 海里 . 解析 如图所示,设到 乙到 t,乙船的速度为 v, 则 BC= B=120 , B=a, 20 3,30,30,2120A )21(2 2222 北偏东 30 答题 扇形 心角 于 60 ,半径为 2,在弧 P,过 点 C,设 ,求 积的最大值及此时 的值 . 解 0 20 . 在 正弦定理得 ,s )i n (34,1200s i n (,633)62s 332332co 0s 0s 342取得最大值为时的面积为因此 C知 (1)求 +C)的值 ; (2)若 ,求 解 s A2co s1)co s (2s i n)1( 2 75325225co s i i n,53co s,)2(222222处 ,发现北偏东 45 方向 ,距离 A( n 处有一艘走私船,在 5 的 方向,距离 A 2 n 处的缉私船奉命以 10 n 此时,走私船 正以 10n
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