【步步高】2013-2014学年高中数学 3.2.3指数函数与对数函数的关系课件+训练（打包2套）新人教B版必修1
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【步步高】2013-2014学年高中数学 3.2.3指数函数与对数函数的关系课件+训练（打包2套）新人教B版必修1,步步高,学年,高中数学,指数函数,对数,函数,关系,瓜葛,课件,训练,打包,新人,必修
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1 数函数与对数函数的关系 一、基础过关 1函数 y 3x( 1 B y x0) C y 3 C f(2x) 2x R) D f(2x) ln x(x0) 3已知函数 y 其反函数的图象有交点，设交点的横坐标为 有 ( ) A a1 且 B 01 且 01 4已知 a0 且 a1 ，函数 y y x)的图象可能是 ( ) 5函数 函数 3x，当 x 从 1 增加到 m 时，函数的增量分别是 填 “” ， “ ” 或 “2 时恒有 |y|1，则 a 的取值范围 是 _ 12设方程 2x x 3 0 的根为 a，方程 x 3 0 的根为 b，求 a b 的值 三、探究与拓展 13已知函数 f(x) x 1)(a1) (1)求函数 f(x)的定义域、值域； (2)求函数 f(x)的反函数 f 1(x)； (3)判断函数 f 1(x)的单调性 3 答案 1 C 3，所以 ，即 x2，所以函数 y 2 的定义域为 (2， ) 8解 y 12x a 的反函数为 y 2x 2a 应与函数 y 3 同一函数， 2a 3，且 2 b， a 32， b 2. 9 B 10 B 11 12， 1)(1,2 12解 将方程整理得 2x x 3， x 3. 如图可知， a 是指数函数 y 2y x 3 交点 A 的横坐标， b 是对数函数 y 图象与直线 y x 3 交点 B 的横坐标 由于函数 y 2x与 y 为反函数， 所以它们的图象关于直线 y x 对称， 由题意可得出 A、 B 两点也关于直线 y x 对称， 于是 A、 B 两点的坐标为 A(a， b)， B(b， a) 而 A、 B 都在直线 y x 3 上， b a 3(A 点坐标代入 )， 或 a b 3(B 点坐标代入 )， 故 a b 3. 13解 (1)要使 f(x)有意义，需 2x 10，所以 x12，故函数 f(x)的定义域为 (12， ) ，值域为 R. (2)由 f(x) x 1)，得 2x 1 x 1212，所以 f 1(x) 1212(x R) . (3) 函数 f 1(x)在 R 上是增函数证明如下：任取 R，且 ， f 1(f 1( 函数 f 1(x)在 R 上是增函数 3 . 2 . 3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1 . 了 解 反函数的概念及互为反函数图象间的关系 ; 2 . 掌握对数函数与指数函数互为反函数 . 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系 , 归纳出互为反函数的概念 , 通过指数函数图象与对数函数图象的关系 ,总结出互为反函数的图象间的关系 , 体会从特殊到一般的思维过程 . . 当一个函数是一一映射时 , 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 , 而把这个函数的自变量作为新的函数的 我们称这两个函数 即 y f ( x ) 的反函数通常用 表示 . 2 . 对数函数 y lo 指数函数 y 它们的图象关于 对称 . 3 . 互为反函数的图象关于直线 对称 ; 互为反函数的图象同增同减 . 变量 因变量 . 互为反函数 . y f 1(x) 互为反函数 直线 y x y x 4 . 当 a 1 时 ,在区间 1 , ) 内 , 指数函数 y x 的增加 ,函数值的增长速度 , 而对数函数 y a x 增长的速度 渐加快 逐渐变得很缓慢 . 问题情境 设 a 为大于 0 且不为 1 的常数 ,对于等式 s ,若以 t 为自变量可得指数函数 y 若以 s 为自变量可得对数函数 y 那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题 . 探究点 一 指数函数与对数函数的关系 导引 为了探究这两个函数之间的关系 , 我们用列表法画出函数 y 2x及 y 图象 . 题 1 函数 y 2 x 及 y lo g 2 x 的定义域和值域分别是什么 ,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 函数 y 2 x 的定义域为 R, 值域为 ( 0, ); 函数 y 0, ), 值域为 R. 函数 y 2 x 的定义域和值域分别是函数 y x 的值域和定义域 . 问题 2 在列表画函数 y 2 x 的图象时 , 当 x 分别取 3, 2, 1 ,0 ,1 ,2 ,3 这 6 个数值时 , 对应的 y 值分别是什么？ 答 y 值分别是 : 18 , 14 , 12 , 1 , 2 , 4 , 8 . 问题 3 在列表画函数 y x 的图象时 , 当 x 分别取18 ,14 ,12 ,1 ,2 ,4 ,8 时 , 对应的 y 值分别是什么？ 答 y 值分别是 : 3, 2, 1 , 0 , 1 , 2 , 3 . 问题 4 综合 问题 2 、 问题 3 的结果 ,你有什么感悟？ 在列表画 y lo g 2 x 的图象时 , 可以把 y 2 x 的对应值表里的 x 和 y 的数值对换 , 就得到 y lo g 2 x 的对应值表 . 问题 5 观察画出的函数 y 2 x 及 y lo g 2 x 的图象 , 能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答 函数 y 2 x 与 y lo g 2 x 的图象关于直线 y x 对称 . 问题 6 我们说函数 y 2x 与 y x 互为反函数 , 它们的图象关于直线 y x 对称 , 那么对于一般的指数函数 y a x 与对数函数 y a x 又如何？ 答 对数函数 y a x 与指数函数 y a x 互为反函数 . 它们的图象关于直线 y x 对称 . 探究点 二 互为反函数的概念 问题 1 对数函数 y a x 与指数函数 y a x 是一一映射吗？为什么？ 是一一映射 , 因为对数函数 y a x 与指数函数 y a x 都是单调函数 , 所以不同的 x 值总有不同的 y 值与之对应 , 不同的 y 值也总有不同的 x 值与之对应 . 问题 2 对数函数 y lo g a x 与指数函数 y a x 互为反函数 , 更一般地 , 如何定义互为反函数的概念？ 答 当一个函数是一一映射时 , 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量 , 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量 , 我们称这两个函数互为反函数 . 函数 y f ( x ) 的反函数通常用 y f 1( x ) 表示 . 问题 3 如何求函数 y 5 x ( x R) 的反函数？ 把 y 作为自变量 , x 作为 y 的函数 , 则 x y R. 通常自变量用 x 表示 , 函数用 y 表示 , 则反函数为 y x R. 例 1 写出下列函数的反函数 : ( 1) y lg x ; ( 2) y x ; ( 3) y 23x. ( 1 ) y x ( x 0 ) 的底数为 10, 它的反函数为指数函数 y 10 x ( x R ) . ( 2 ) y lo g x ( x 0 ) 的底数为 13 , 它的反函数为指数函数 y 13 x ( x R ) . ( 3) y 23x ( x R) 的底数为 23 , 它的反函数为对数函数 y x ( x 0) . 13 13 23 小结 求 给定 解 析 式的函数的反函数的步骤 : ( 1) 求出原函数的值域 , 这就是反函数的定义域 ; ( 2) 从 y f ( x ) 中 解 出 x ; ( 3) x 、 y 互换并注明反函数的定义域 . 踪训练 1 求下列函数的反函数 : ( 1) y 3 x 1 ; ( 2) y 1 ( x R) ; ( 3) y x 1 ( x 0) ; ( 4 ) y 2 x 3x 1( x R , x 1) . ( 1 ) 由 y 3 x 1, 得 x 13 ( y 1 ) , 即所求反函数为 y 13 ( x 1 ) ; ( 2 ) 函数 y x 3 1 的值域为 R, x 3 y 1, x 3 y 1 , 所以反函数为 y 3 x 1 ( x R) ; ( 3 ) 函数 y x 1 ( x 0) 的值域为 y 1 , x y 1, 得 x ( y 1) 2 , 所以反函数为 y ( x 1) 2 ( x 1 ) . ( 4 ) 因 y 2 x 3x 1 2 x 2 5x 1 2 5x 1 , 所以 y 2, 由 5x 1 y 2, 得 x 1 5y 2 y 3y 2 , 所以反函数为 y x 3x 2 ( x 2) . 例 2 已知函数 f ( x ) a x k 的图象过点 ( 1 ,3 ) ,其反函数 y f 1 ( x )的图象过 ( 2 ,0 ) 点 ,则 f ( x ) 的表达式为 _ _. 析 y f 1 ( x ) 的图象过点 ( 2 , 0 ) , y f ( x ) 的图象过点 ( 0 , 2 ) . 2 a 0 k , k 1. f ( x ) a x 1. 又 y f ( x ) 的图象过点 ( 1 , 3 ) , 3 a 1 1, a 2. f ( x ) 2 x 1. 小结 由互为反函数的图象关于直线 y x 对称可知 : 若点 ( a , b )在 y f ( x ) 的图象上 , 则点 ( b , a ) 必在 y f 1 ( x ) 的图象上 . f ( x ) 2 x 1 跟踪训练 2 函数 y lo g a ( x 1 ) ( a 0 且 a 1) 的反函数的图象经过点 ( 1 ,4 ) ,求 a 的值 . 根据反函数的概念 , 知函数 y lo g a ( x 1 ) ( a 0 且 a 1)的图象经过点 ( 4 ,1 ) , 1 lo g a 3 , a 3. 探究点 三 指数函数与对数函数的增长差异 问题 1 观察函数 y 2 x 与 y x 的图象 ,指出两个函数的增长有怎样的差异？ 根据图象 , 可以看到 , 在区间 1, ) 内 , 指数函数 y 2 x 随着 x 的增长 , 函数值的增长速度逐渐加快 , 而对数函数 y x 的增长的速度逐渐变得很缓慢 . 问题 2 你能列表对底数大于 1 的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？ y a 1) y l ( a 1) 图象 定义域 R ( 0, ) 值域 ( 0, ) R 性质 当 x 0 时 , y 1; 当 x 1 时 , y 0; 当 00 , a 1 ,函数 f ( x ) g ( x ) f 1( x ) 和 g 1( x ) .若 lg a lg b 0 ,则 f 1( x ) 和 g 1( x ) 的图象 ( ) A . 关于 x 轴对称 B y 轴对称 C . 关于原点对称 D . 关于 y x 对称 析 由 a l g b 0, 得 a 1b , 所以函数 f ( x ) g (
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