【步步高】2013-2014学年高中数学 第2章2.3.3等比数列的前n项和(二)课件+配套训练（打包2套）苏教版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第2章2.3.3等比数列的前n项和(二)课件+配套训练（打包2套）苏教版必修5,步步高,学年,高中数学,等比数列,以及,课件,配套,训练,打包,苏教版,必修
- 内容简介：
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1 比数列的前 n 项和 (二 ) 一、基础过关 1在各项都为正数的等比数列 ，首项 3，前 3 项和为 21，则 _. 2等比数列 2n 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_. 3银行一年定期储蓄存款年息为 r，三年定期储蓄存款年息为 q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么 q 的值应略大于 _ 4等比数列 ，前 n 项和为 2， 6，则 _. 5一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10次着地时所经过的路程和是 _米 (结果保留到个位 ) 6已知 首项为 1 的等比数列， 前 n 项和，且 9数列 1前 5项和为 _ 7一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%25 m 吗？ 8在等比数列 ，已知 13140，求 二、能力提升 9数列 前 n 项和为 1， 1 3Sn(n1) ，则数列 通项公式为 _ 10某企业在今年年初贷款 a 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还 _万元 11某工厂月生产总值的平均增长率为 q，则该工厂的年平均增长率为 _ 12利用等比数列前 n 项和公式证明 1b 2 1 1a b ， 其中 n N*， a， b 是不为 0 的常数，且 a b. 三、探究与拓展 13已知 以 a 为首项， q 为公比的等比数列， n 项和 (1)当 q 的值； (2)当 证：对任意自然数 k， k， k， 答案 1 84 2 2 1 r)3 1 5 300 解 用 n 分钟上升的高度，由题意，得 1 45 因此，数列 首项 25，公比 q 45的等比数列 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 q 2 25 1 45 45 125 1 45 n 125. 故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m. 8解 q1. 由 13140 ， 10130 ， q 10 q 130， 12 0. 3， q 10(1 3) 40. 9 n34 n 2 n 5 5 1 11 (1 q)12 1 12证明 a0 ， b0 ， a b， . 左端 1b 2 1 ba n 1 ba n 11 ba1 1 ba n 1a b 1 1a b 右端 1b 2 1 1a b . 13 (1)解 由已知，得 1，因此 a， a(1 q a(1 q 当 可得 化简得 q 1 0. 3 解得 q 1 52 . (2)证明 若 q 1，则 各项均为 a，此时 k， k， 若 q1 ，由 m 2 即 a qmq 1 a qlq 1 2a qnq 1 ，整理得 2因此， k k 1( 2k 1 2k. 所以 k， k， ） 2. 3 等比数列的前 n 项和 ( 二 ) 【 学习要 求 】 1 熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题 2 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题 【 学法指导 】 1 解决与等比数列前 n 项和有关问题的关键在于 “ 基本量 ” 以及方程思想方法的灵活运用 2 运用等比数列前 n 项和解题时 要注意 “ 整体思想 ” 方法的灵活运用 3 利用等比数列的知识解决实际问题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型，明确首项 比 q ，以及项数 n 的实际含义，切忌含糊不清 . ） 填一填 知识要点、记下疑难点 1 等比数列 的前 n 项和为 公比 q 1 时， ；当 q 1 时， . 2 等比 数列前 n 项和的性质： (1) 连续 m 项的和 ( 如 S2 m S3 m S2 m) ，仍构成 数列 ( 注意： q 1 或 m 为奇数 ) (2) n q 为数列 的公比 ) a 11 q n1 q a 1 a n q 比 ） 填一填 知识要点、记下疑难点 3 已知数列 a n 的前 n 项和 S n a n 1( a 是不为零且 a 1 的常数 ) ，则数列 a n 的通项公式 a n _ _ _ _. 解析 当 n 2 时， a n S n S n 1 ( a 1) 1 ； ( a 1) a n 1 ， n N * 当 n 1 时， a 1 a 1 ， a n ( a 1) a n 1 ， n N * . ） 填一填 知识要点、记下疑难点 4 设等比数列 的前 n 项和为 3 ，则_. 解析 q 1 ，否则 S 66 a 13 2 3. S 6S 3 a 1 1 q 6 1 1 q 3 1 q 1 q 3 3 ， q 3 2. S 9S 6a 1 1 1 q1 1 231 22 73. 73 ） 问题情境 一件家用电器，现价 2 0 000 元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，一个月付款一次，共付 12 次，购买后一年还清，月利率为 ，按复利计算，那么每期付款多少元？要解决上述问题，需要了解复利的计算方法，这正是这一节的主要内容之一 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 探究点一 等比数列前 n 项和 探究 当公比 q 1 时，因为 0 ，所以 n 的正比例函数 ( 常数项为 0 的一次函数 ) 当 q 1 时， 数列 ， 的图象是正比例函数 y 象上一些孤立的点 当公比 q 1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sn q(1 1( 1) 设 A 1，则上式可以写为 ( 1) 由此可见， q 1 时，由等比数列前 n 项和 1 ， ， (2 ， ， (3 ， ， ， ( n ， 位于函数 y A ( 1) 的图象上 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 问题 1 若 a n 是等比数列，它的前 n 项和为 S n 3 n t ，则t _. 研一研 问题探究、课堂更高效 1 问题 2 若 a n 是等比数列，且前 n 项和为 S n 3 n 1 t ，则 t _. 解析 显然 q 1 ，此时应有 S n A ( q n 1) ， 又 S n 13 3n t ， t 13 . 13 ） 探究点二 等比数列前 n 项和的性质 问题 1 等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，公比为 q ， 求证： S m n S m n . 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 左边 S m n ( a 1 a 2 a m ) ( a m 1 a m 2 a m n ) S m ( a 1 a 2 a n S m ( a 1 a 2 a n ) S m n 右边， S m n S m q m S n . ） 问题 2 在等比数列 a n 中，若连续 m 项的和不等于 0 ，则它们仍组成等比数列 即 S m ， S 2 m S m ， S 3 m S 2 m ， 仍组成等比数列 请你证明上述结论 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 在等比数列 a n 中有 a m n a m q n ， S m a 1 a 2 a m ， S 2 m S m a m 1 a m 2 a 2 m a 1 q m a 2 q m a m q m ( a 1 a 2 a m ) q m S m q m . 同理 S 3 m S 2 m S m q 2 m ， ， 在 S m 0 时，有 S m ， S 2 m S m ， S 3 m S 2 m ， ， 仍组成等比数列 ） 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点三 分期付款模型 问题 在分期付款问题中，贷款 a 元，分 m 个月付清，月利率为 r ，每月还 x 元，想一想，每月付款金额 x 元应如何计算？ 下面给出了两种推导方法，请你补充完整： 方法一：每个月还款 x 元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作 ，则有： 经过 1 个月，还款 x 元后，剩余欠款为 ； 经过 2 个月，还款 x 元后，剩余欠款为 r ) x ； a (1 r ) x a (1 r ) 2 (1 r ) x x ） 研一研 问题探究、课堂更高效 经过 3 个月，还款 x 元后，剩余欠款为 r ) x ； 经过 m 个月，还款 x 元后，剩余欠款为 1(1 r ) x . 由于经过 m 个月后，欠款还清，故 0 ，从而有 a (1 r )m 即 x . a (1 r ) 3 (1 r ) 2 x (1 r ) x x a (1 r ) m ( 1 r ) m 1 (1 r ) m 2 (1 r ) 1 x x ( 1 r ) m 1 (1 r ) m 2 (1 r ) 1 1 rm1 rm 1 ） 研一研 问题探究、课堂更高效 方法二 ： 我们可以把该问题分开来看 ： 一方面 ， 每月付款 x 元 ， 共付 m 次 ， m 个月后各期付款到期后的本息和为 ： 期数 1 2 3 m 1 m 本息和 x 从而到期后 ( m 个月后 ) ， 银行共收到付款及利息为 ： 1 r m 1 另一方面贷款 a 元 ， m 个月后应偿还本息和为 ； 由于 m 个月后 ， 贷款全部付清 ， 所以有 1 r m 1 ， 故 x . x (1 r ) m 1 x (1 r ) m 2 x (1 r ) m 3 x(1 r) x x (1 r ) x (1 r ) 2 x (1 r ) m 1 a (1 r ) m a (1 r ) m 1 rm1 rm 1 ） 【 典型例 题 】 例 1 已知等比数列前 n 项，前 2 n 项，前 3 n 项的和分别为S n ， S 2 n ， S 3 n ，求证： n S n ( S 2 n S 3 n ) 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 方法一 设此等比数列的公比为 q ，首项为 a 1 ， 当 q 1 时， S n ， S 2 n 2 ， S 3 n 3 ， S 2n S 22 n n 2 a 21 4 n 2 a 21 5 n 2 a 21 ， S n ( S 2 n S 3 n ) (2 3 ) 5 n 2 a 21 ， S 2n S 22 n S n ( S 2 n S 3 n ) 当 q 1 时， S n a 11 q (1 q n ) ， S 2 n a 11 q (1 q 2 n ) ， S 3 n a 11 q (1 q 3 n ) ， S 2n S 22 n a 11 ( 1 q n ) 2 (1 q 2 n ) 2 ） a 11 ( 1 q n ) 2 ( 2 2 q n q 2 n ) 研一研 问题探究、课堂更高效 又 S n ( S 2 n S 3 n ) a 11 ( 1 q n ) 2 ( 2 2 q n q 2 n ) ， S 2n S 22 n S n ( S 2 n S 3 n ) 方法二 根据等比数列性质， 有 S 2 n S n q n S n S n (1 q n ) ， S 3 n S n q n S n q 2 n S n ， S 2n S 22 n S 2n S n (1 q n ) 2 S 2n (2 2 q n q 2 n ) ， S n ( S 2 n S 3 n ) S 2n (2 2 q n q 2 n ) S 2n S 22 n S n ( S 2 n S 3 n ) ） 小结 运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比 q 1 和q 1 两种情形，在解有关的方程 ( 组 ) 时，通常用约分或两式相除的方法进行消元 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 跟踪训练 1 已知 S n 是等比数列 a n 的前 n 项和， S 3 ， S 9 ，S 6 成等差数列，求证： a 2 ， a 8 ， a 5 成等差数列 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 若 q 1 ，则 S 3 3 a 1 ， S 9 9 a 1 ， S 6 6 a 1 ， S 3 S 6 9 a 1, 2 S 9 18 a 1 ， a 1 0 ， S 3 S 6 2 S 9 矛盾 ， q 1. 当 q 1 时， S 3 a 1 1 1 q ， S 6 a 1 1 q 6 1 q ， S 9 a 1 1 q 9 1 q . S 3 ， S 9 ， S 6 组成等差数列， S 3 S 6 2 S 9 ， a 1 1 1 q a 1 1 q 6 1 q 2 a 1 1 q 9 1 q . (1 q 3 ) (1 q 6 ) 2( 1 q 9 ) ， q 3 q 6 2 q 9 ， ） q 0 ， 1 q 3 2 q 6 . 研一研 问题探究、课堂更高效 2 q 6 q 3 1 0 ，解得 q 3 12 ( q 3 1 舍 ) a 2 a 5 a 2 (1 q 3 ) a 22 ， 2 a 8 2 a 2 q 6 2 a 2 12 2 a 22 ， a 2 a 5 2 a 8 . a 2 ， a 8 ， a 5 成等差数列 ） 例 2 设 a n 是等差数列 ， b n 12， 已知 ： b 1 b 2 b 3 218，b 1 b 2 b 3 18， 求等差数列的通项 a n . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设等差数列 a n 的公差为 d ， 数列 b n 是等比数列，公比 q 12d . b 1 b 2 b 3 b 32 18 ， b 2 12 . b 1 b 3 178b 1 b 3 14， b n 1b n 12d . ） 解得 b 1 18b 3 2或 b 1 2b 3 18. 研一研 问题探究、课堂更高效 当 b 1 18b 3 2时， q 2 16 ， q 4( q 40 ( n N*) ，公比 q ( 0,1) ，且 a 1 a 5 2 a 3 a 5 a 2 a 8 25 ，又 a 3 与 a 5 的等比中项为 2. ( 1) 求数列 a n 的通项公式； ( 2) 设 b n a n ，数列 b n 的前 n 项和为 S n ，当S 11S 22 S n 的值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) a 1 a 5 2 a 3 a 5 a 2 a 8 25 ， a 23 2 a 3 a 5 a 25 25 ， 又 a n 0 ， a 3 a 5 5. 又 a 3 与 a 5 的等比中项为 2 ， a 3 a 5 4 ，而 q ( 0,1 ) ， a 3 a 5 ， a 3 4 ， a 5 1. q 12 ， a 1 16 ， a n 16 12n 1 2 5 n . ( 2) b n a n 5 n ， b n 1 b n 1 ， ） b n 是以 b 1 4 为首项， 1 为公差的等差数列， 研一研 问题探究、课堂更高效 S n n 9 n 2 ， S 9 当 n 8 时， S 0 ；当 n 9 时， S 0 ；当 n 9 时， S 0. 当 n 8 或 9 时， S 11 S 22 S 33 S 大 ） 例 3 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿区计划从 2013 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10 % . ( 1) 以 2013 年为第一年，设第 n 年出口量为 求 ( 2) 因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2013 年最多出口多少吨？ ( 保留一位小数 ) 参考数据： 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a 1 a ，公比 q 1 10% a n a 0.9 n 1 ( n 1) ( 2) 10 年的出口总量 S 10 a 1 1 10 a (1 ） S 10 80 ， 10 a (1 0 0 ) 80 ，即 a 81 0 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 a 故 2013 年最多出口 小结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度 ） 跟踪训练 3 某家用电器一件现价 20 00 0 元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付 12 次，购买后一年还清，按复利计算，那么每期应付款多少？ ( 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设每期应付款 x 元，则第 1 期付款与到最后一次付款所生利息之和为 x (1 1；第 2 期付款与到最后一次付款所生利息之和为 x (1 0 0， ，第 12 期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为 x (1 1 x (1 0 x 1x . ） 又所购电器的现价及其利息之和为 20 000 1. 008 12 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 12 1 x 20 0 00 12 . 解得 x 160 12 1 1 76 0( 元 ) 即每期应付款 1 76 0 元 . ） 1 设 a n 是公比为 q 的等比数列， S n 是它的前 n 项和，若 S n 是等差数列，则 q _ _ _. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 S n S n 1 a n ，又 S n 是等差数列， 1 a n 为定值，即数列 a n 为常数列，
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