二次函数知识点总结[1][1]

二次函数知识点 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca何0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全0bc何 体实数 2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc何 bc 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 的性质：2yax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 的性质：2yaxc 上加下减。 3. 的性质：2yaxh 左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y 值 0 向下 何轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大xx 值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0c何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y 值 c 向下 何轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大x0x 值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0h何X=h 时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh 随 的增大而减小； 时， 有最小y 值 0 2 4. 的性质：2yaxhk 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk何 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax何 【( h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kO；4a+cO，其中正确结论的个数 为( ) A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直 线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直 到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例 5、已知抛物线 y= x2+x- 15 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程 的关系 例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 ， 两点)0,(1A),(2xB 9 ，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB)(21x (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)， 则 x1x2=3O，x 1ACO 例 7、 “已知函数 的图象经过点 A（c，2） ， cbxy21 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程， 并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结 论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ”，就可以列出两个 方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添 加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交 点的坐标等。 解答 （1）根据 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得cbxy21,321,2bc 解得 .,c 所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。.2312xy （2）在解析式中令 y=0，得 ，解得0.53,21xx 所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标),5 是 ).0,53( 10 令 x=3 代入解析式，得 ,25y 所以抛物线 的顶点坐标为312x),253( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。),( 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数； 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一 点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查 学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关 系如下表： x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一次函数表152,0kb 达式为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x-400=-（x-25） 2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在 “当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函 数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳 的甲、乙两名学生拿绳的手间